2025-2026学年广西壮族自治区来宾市高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区来宾市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C.2.已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对A，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误；对B，因为，所以共面，故B正确；对C，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误；对D，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误；故选：B.3.已知集合，，则的元素个数为（）A.7 B.3 C.8 D.6【答案】A【解析】，同号或中至少有一个为0，又，的元素满足，当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：．，共7个元素．故选：A．4.圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设该圆的标准方程为，将代入方程，可得，解得，得到圆的标准方程为，故C正确.故选：C.5.在四面体中，点满足，为的中点，若，则（）A.3 B. C.4 D.【答案】B【解析】由题意知，因为，所以，则.故选：B.6.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度如图所示，则下列结论错误的是（）备注：同比增长速度A.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大B.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为C.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于D.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的60%分位数为【答案】D【解析】由图可知，2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度均为正数，所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大，A正确；2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为，B正确；因为，所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于，C正确；因为，所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的分位数为，D错误.故选：D.7.如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，连接，取的中点，连接，易得，则所求的投影向量为在上的投影向量，易得，则，所以在上的投影向量为.故选：C.8.若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直线为过点的动直线，曲线，即为半圆，圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图，当直线与半圆相切时，有，解得；当直线过点时，有，即；因为直线与半圆有两个不同的交点，所以，则取值范围是.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，函数定义域为，关于原点对称，且，则是偶函数，故A错误，对于B，由正弦函数性质得是奇函数，在上单调递增，故B正确，对于C，当时，，由指数函数性质得在上单调递增，当时，，则，而，可得，此时是奇函数，当时，，则，而，可得，此时是奇函数，故C正确.对于D，由正切函数性质得在上单调递减，故D错误.故选：BC.10.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（）A.平面B.平面C.平面与平面夹角的余弦值为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，所以，，.设平面的一个法向量为，则令，得，得.因为，所以，又平面，所以平面，A正确；因为，所以，所以平面，B正确；易得平面的一个法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值为，C错误；点到平面的距离为，D正确.故选：ABD.11.已知圆，下列说法正确的是（）A.若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为B.圆上有4个点到直线的距离为C.若圆与圆没有公切线，则的取值范围为D.过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点【答案】AB.【解析】圆的方程为，该圆的圆心为，半径．选项A：，点在圆内，则圆心到过点直线的距离，，故A正确；选项B：圆心到直线的距离，又圆的半径为3，圆上有4个点到直线的距离为，故B正确；选项C：圆的圆心为，半径为，，圆与圆没有公切线，两圆内含，，即，解得16，的取值范围为，故C错误；选项D：设，则以为直径的圆为，整理得，直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程，得，整理得，令，解得，直线必过定点，故D错误．故选：．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的共轭复数是__________.【答案】或【解析】因为，所以的共轭复数是.故答案为：.13.甲､乙两人独立破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是，，且密码被两人成功破译的概率为，则__________.【答案】或【解析】由题意得，解得.故答案为：.14.已知圆，在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，所以是函数的一个对称中心，圆的圆心为，半径为，由对称性可知，要使的图象仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，只需满足直线右边的第一个最值点在圆内或在圆上，第二个最值点在圆外，由正弦函数性质可知，函数的周期，所以函数在直线右边的第一个最值点为，第二个最值点为，所以，结合解得，即的取值范围为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线，.（1）若，求a；（2）若在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求a；（3）若，求与之间距离.解：（1）由题意得，得.（2）易得.对，令，则，得.对，令，则，得.所以由题意得，得.（3）由题意得，解得，则：，可化为，所以与之间的距离为.16.已知圆.（1）求m的取值范围；（2）已知直线与圆交于两点，且.①求；②求过点的圆的切线方程.解：（1）（方法一）由题意得，则，得，所以的取值范围为.（方法二）由，得，所以的取值范围为.（2）①由题意得到的距离，则圆的半径为，得.②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为.当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即.由，得，所以所求的切线方程为，即.综上，过点的圆的切线方程为或.17.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，求的最小值.解：（1）因为，所以，由两角和差的余弦公式得，则，由正弦定理得，因为，所以，可得，解得.（2）由三角形面积公式得，因为的面积为，所以，化简得，由余弦定理得，则，可得，由基本不等式得，当且仅当时取等，得到，解得，即的最小值为.18.如图1，在高为的直三棱柱中，为棱的中点，沿平面切割后得到四棱锥，如图分别为棱的中点，．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：分别为棱的中点，，又平面，平面，所以平面.（2）证明：在直三棱柱中，平面，平面，所以，因为，为中点，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面（3）解：如图所示：以为原点，为轴，为轴，过且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系在中，因为直三棱柱的高为，所以，且,因此，所以，由那么，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，设直线与平面所成角为,,所以直线与平面所成角的正弦值.19.已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）写出圆与圆的一条公切线方程；（不需要写出解题过程）（3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.解：（1）线段的中垂线方程为，即，所以圆心在直线上，又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心.解方程组得即.因为圆的半径，所以圆的标准方程为.（2）因为，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，如图，两圆的一条公切线为；圆与圆的方程相减得公切线；两圆的连心线所在直线方程为，即，所以直线与交点为，则另外一条公切线过点，设，因为原点到的距离为4，所以，解得，所以，即.综上，两圆的公切线方程有或或.（3）显然当直线的斜率不存在时，只要直线与圆交于两点，根据对称性恒有.当直线的斜率存在时，设经过点的直线与圆交于两点.由得，所以，且，由，得，即，所以，整理得将代入上式可得直线即，该直线恒过点，所以存在满足条件的定点.广西壮族自治区来宾市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C.2.已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对A，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误；对B，因为，所以共面，故B正确；对C，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误；对D，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误；故选：B.3.已知集合，，则的元素个数为（）A.7 B.3 C.8 D.6【答案】A【解析】，同号或中至少有一个为0，又，的元素满足，当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：；当时，可以取得，此时为：．，共7个元素．故选：A．4.圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设该圆的标准方程为，将代入方程，可得，解得，得到圆的标准方程为，故C正确.故选：C.5.在四面体中，点满足，为的中点，若，则（）A.3 B. C.4 D.【答案】B【解析】由题意知，因为，所以，则.故选：B.6.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度如图所示，则下列结论错误的是（）备注：同比增长速度A.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大B.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为C.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于D.2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的60%分位数为【答案】D【解析】由图可知，2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度均为正数，所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大，A正确；2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为，B正确；因为，所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于，C正确；因为，所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的分位数为，D错误.故选：D.7.如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，连接，取的中点，连接，易得，则所求的投影向量为在上的投影向量，易得，则，所以在上的投影向量为.故选：C.8.若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直线为过点的动直线，曲线，即为半圆，圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图，当直线与半圆相切时，有，解得；当直线过点时，有，即；因为直线与半圆有两个不同的交点，所以，则取值范围是.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，函数定义域为，关于原点对称，且，则是偶函数，故A错误，对于B，由正弦函数性质得是奇函数，在上单调递增，故B正确，对于C，当时，，由指数函数性质得在上单调递增，当时，，则，而，可得，此时是奇函数，当时，，则，而，可得，此时是奇函数，故C正确.对于D，由正切函数性质得在上单调递减，故D错误.故选：BC.10.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（）A.平面B.平面C.平面与平面夹角的余弦值为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，所以，，.设平面的一个法向量为，则令，得，得.因为，所以，又平面，所以平面，A正确；因为，所以，所以平面，B正确；易得平面的一个法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值为，C错误；点到平面的距离为，D正确.故选：ABD.11.已知圆，下列说法正确的是（）A.若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为B.圆上有4个点到直线的距离为C.若圆与圆没有公切线，则的取值范围为D.过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点【答案】AB.【解析】圆的方程为，该圆的圆心为，半径．选项A：，点在圆内，则圆心到过点直线的距离，，故A正确；选项B：圆心到直线的距离，又圆的半径为3，圆上有4个点到直线的距离为，故B正确；选项C：圆的圆心为，半径为，，圆与圆没有公切线，两圆内含，，即，解得16，的取值范围为，故C错误；选项D：设，则以为直径的圆为，整理得，直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程，得，整理得，令，解得，直线必过定点，故D错误．故选：．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的共轭复数是__________.【答案】或【解析】因为，所以的共轭复数是.故答案为：.13.甲､乙两人独立破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是，，且密码被两人成功破译的概率为，则__________.【答案】或【解析】由题意得，解得.故答案为：.14.已知圆，在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，所以是函数的一个对称中心，圆的圆心为，半径为，由对称性可知，要使的图象仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，只需满足直线右边的第一个最值点在圆内或在圆上，第二个最值点在圆外，由正弦函数性质可知，函数的周期，所以函数在直线右边的第一个最值点为，第二个最值点为，所以，结合解得，即的取值范围为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线，.（1）若，求a；（2）若在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求a；（3）若，求与之间距离.解：（1）由题意得，得.（2）易得.对，令，则，得.对，令，则，得.所以由题意得，得.（3）由题意得，解得，则：，可化为，所以与之间的距离为.16.已知圆.（1）求m的取值范围；（2）已知直线与圆交于两点，且.①求；②求过点的圆的切线方程.解：（1）（方法一）由题意得，则，得，所以的取值范围为.（方法二）由，得，所以的取值范围为.（2）①由题意得到的距离，则圆的半径为，得.②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为.当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即.由，得，所以所求的切线方程为，即.综上，过点的圆的切线方程为或.17.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，求的最小值.解：（1）因为，所以，由两角和差的余弦公式得，则，由正弦定理得，因为，所以，可得，解得.（2）由三角形面积公式得，因为的面积为，所以，化简得，由