七年级数学上册《有理数的乘法》第一课时教学设计（北师大版）

七年级数学上册《有理数的乘法》第一课时教学设计（北师大版）一、教学内容分析第一段：课标深度解构本节课位于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，是学生从非负数运算扩展到有理数运算的关键一步，承载着发展学生运算能力和符号意识的核心任务。从知识图谱看，它上承有理数的加减法，下启有理数的除法、乘方乃至整个代数式的运算，是构建有理数运算体系的基石。课标要求“掌握有理数的乘法运算”，这不仅指技能层面的“会算”，更蕴含着对运算律的初步感知与运用，以及对“负负得正”这一核心法则的算理理解。这一过程本质上是数学建模的初步体验：将实际问题（如连续变化、方向相反）抽象为带有符号的乘法算式，再通过逻辑推理（归纳、概括）得出一般法则。其素养价值深远，通过探究符号法则的生成过程，能培养学生敢于质疑、严谨求实的科学精神；理解法则的合理性，有助于建立对数学规则内在和谐与逻辑自洽的审美感知，从而增强学习数学的信心。第二段：学情诊断与对策学生已熟练掌握了非负数的乘法运算和有理数的加减法，具备了利用数轴表示数和初步的分类讨论意识。其生活经验中虽有“相反意义量”的积累，但将“负号”与“乘法”结合，尤其是“两个负数相乘得正”是认知上的巨大跨越，极易产生“为何负负得正”的困惑与抵触。可能的认知误区包括：机械记忆法则而忽视算理；在复杂符号判断时顾此失彼；将加减法中的符号处理规则错误迁移到乘法中。针对此，教学将通过“情境感知—特例归纳—逻辑说理—模型巩固”的路径搭建脚手架。课堂中，我将通过追问“你是怎么想的？”、观察小组讨论中的观点交锋、分析板演中的典型错误等方式进行动态学情评估。对于理解较快的学生，引导他们尝试解释法则的合理性或设计应用问题；对于存在困难的学生，提供更多直观模型（如温度连续变化、负债模型）和具体的、循序渐进的练习范例，确保每位学生都能在各自的基础上获得有意义的进展。二、教学目标知识目标：学生能准确叙述有理数乘法的运算法则，重点理解“符号法则”的确定方法；能熟练运用法则进行两个有理数的乘法运算，明确运算步骤为先定符号，再算绝对值；初步感知乘法运算律在有理数范围内依然成立。能力目标：学生能够从具体情境或算式中，通过观察、比较、归纳等思维活动，自主或合作探究出有理数的乘法法则，发展抽象概括和归纳推理能力；能够在解决含有负数的乘法问题时，准确地进行符号处理和数值计算，提升运算的准确性与熟练度。情感态度与价值观目标：学生在探究“负负得正”这一看似反直觉的规则时，能体验数学逻辑的确定性与和谐美，克服对负数的畏难情绪，逐步建立起对数学理性之美的欣赏和对数学规则严谨性的尊重。科学（学科）思维目标：重点发展学生的数学建模思维与归纳推理思维。引导他们将现实世界中的“相反方向”和“连续变化”问题，抽象为数学符号语言（乘法算式）；通过分析一系列具体算式的共性，归纳出普适性的符号法则，经历从特殊到一般的完整思维过程。评价与元认知目标：引导学生建立“先观符号，后算绝对值”的程序化自查习惯；鼓励学生在练习后，通过对比答案、复述计算步骤的方式进行自我监控；在小组讨论中，能对他人的解题过程或归纳结论进行基于规则的简单评价。三、教学重点与难点教学重点：有理数乘法的运算法则，特别是异号两数相乘和两个负数相乘的符号法则。确立依据在于，该法则是整个有理数乘法运算的基石，是后续学习除法、乘方及混合运算的逻辑起点。从学业评价角度看，对法则的理解与应用是考查运算能力的核心，贯穿于各类试题之中，其掌握的熟练与准确度直接决定运算结果的正确性。教学难点：理解“负负得正”的算理，并能灵活、准确地应用于复杂情境的计算。难点成因在于，这一规则与学生已有的非负数乘法经验及部分生活直觉相悖，抽象性较强。学生容易在符号判断上出现混淆，例如将(2)×(3)误算为6。突破的关键在于，不满足于强行记忆，而是通过多角度、直观化的实例（如数轴上点的连续反向运动、负债的抵消等）和从正数乘法到含负乘法的逻辑延展，帮助学生建构对法则合理性的认同。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：精心设计的多媒体课件，包含生活情境动画（如温度连续下降、物体反向运动）、探究活动表格、分层练习题组。1.2学习材料：设计并印制《课堂学习任务单》，内含探究记录区、分层练习区和自我反思区。2.学生准备2.1知识预备：复习有理数的概念、绝对值的意义及非负数的乘法。2.2学习用具：准备好练习本、笔和作图工具（如直尺）。3.环境布置3.1板书规划：左侧主板书预留用于推导并呈现有理数乘法法则；右侧副板书用于记录学生探究中的关键发现和典型解题过程。五、教学过程第一、导入环节1.情境设疑，激活旧知：“同学们，我们先来看一个生活中的小问题：如果水库水位每天下降5厘米，那么3天后的水位总变化量是多少？谁能用一个算式表示？”（预设学生列式：(5)×3或5×(3)）。“非常好，这里出现了负数与正数相乘。我们学过正数乘正数，那负数乘正数、负数乘负数，结果到底应该怎么确定呢？今天，我们就一起来当一回‘数学法则发现者’，揭开有理数乘法的奥秘。”1.1提出问题，明确路径：“本节课，我们将沿着‘回顾旧知—实例探究—归纳规律—验证应用’的路径，共同寻找并理解有理数乘法的运算规则。请大家带着这个问题，开启我们的探索之旅。”六、教学过程第二、新授环节任务一：非负数乘法回顾与情境意义感知教师活动：首先，我会带领学生快速回顾“3×4=12”的意义，强调它既可表示“3个4相加”，也可在具体情境中表示“速度、时间与路程”等关系。接着，呈现导入中的水位问题：“若规定水位上升为正，下降为负。水位每天下降5厘米，记为5厘米/天。那么，3天后的水位变化是多少？”引导学生将问题转化为乘法算式(5)×3。追问：“这个算式的结果，从实际意义上看，应该是正还是负？绝对值又是多少？谁能结合‘下降’和‘3天’来解释？”通过此问，将学生的生活经验与数学算式建立初步联系。学生活动：学生回忆并齐声回答非负数乘法的意义。思考水位问题，尝试用数学语言描述情境，得出算式(5)×3。根据“下降”、“3天”等关键词，推理出结果应为“下降15厘米”，即15。他们会尝试表述：“因为每天下降5厘米，3天总共下降15厘米，所以结果是15。”即时评价标准：1.能否正确地将实际情境转化为带符号的乘法算式。2.解释计算结果时，能否清晰地将“符号”与“实际意义”（方向、增减）对应起来。3.语言表达是否逻辑清晰。形成知识、思维、方法清单：★1.乘法意义的扩展：乘法不仅可以表示“几个相同加数的和”，在有理数范围还可以表示“一个量的连续、均匀变化”。▲2.情境抽象：将“下降”、“反向”等生活语言抽象为数学符号“”，是建立数学模型的第一步。3.初步感知：从(5)×3=15这个特例中，学生能直观感受到“负数乘正数，积为负，绝对值等于两数绝对值之积”。任务二：探究异号两数相乘的规律教师活动：“刚才我们解决了负数乘正数。现在反过来，如果水位每天上升5厘米（+5），但时间是‘3天前’（如果我们把‘以后’记为正，‘以前’记为负，即3天），那么现在的水位与3天前相比如何变化？”引导学生列式5×(3)。提问：“‘3天前’的水位比现在低还是高？变化量是多少？”鼓励学生用语言或画示意图说明。然后，呈现一组算式，引导学生计算并观察：3×(2)=?，(4)×5=?，(1/2)×6=?“大家观察这几组算式，被乘数、乘数、积的符号和绝对值之间，是不是藏着什么规律呢？请和同桌讨论一下。”学生活动：学生思考逆向时间问题，可能经历短暂困惑后，理解“3天前水位更低”，得出5×(3)=15。计算或分析教师给出的算式，小组内积极讨论符号和绝对值的变化规律。他们会尝试总结：“一个正数和一个负数相乘，积是负的；积的绝对值就是把两个数的绝对值乘起来。”即时评价标准：1.是否能理解“时间方向”（以前/以后）的负号表示，并成功建模。2.小组讨论时，是否能围绕“符号”和“绝对值”两个维度进行分析。3.归纳的结论是否准确、简洁。形成知识、思维、方法清单：★4.异号相乘法则：异号两数相乘，积为负数；积的绝对值等于两数绝对值的积。5.多角度建模：通过“变化速率×时间”和“被乘数×乘数”两种视角，理解算式的意义，巩固符号与意义的关联。▲6.分类讨论意识：在探究有理数运算时，自然而然地按照“同号”、“异号”进行分类研究，这是处理复杂情况的重要数学思想。任务三：探究两个负数相乘的规律（突破难点）教师活动：这是攻克难点的核心环节。我将说：“最难，也是最神奇的部分来了：两个负数相乘，比如(5)×(3)，结果会怎样？”不急于给答案，而是搭建认知阶梯。首先，引导学生观察并续写以下基于“规律”的算式序列：(5)×3=15(5)×2=10(5)×1=5(5)×0=0(5)×(1)=?(5)×(2)=?(5)×(3)=?提问：“观察前四个算式，随着乘数从3减少到0，积有什么变化规律？（预设：积每次增加5）。如果这个规律继续成立，那么下一个积应该是多少？”同时，辅以数轴模型或“负债”生活模型（如“每天偿还债务5元”可视为收入+5，“3天前”的财务情况）进行直观解释。“从这些例子中，关于两个负数相乘，你能得出什么猜想？”学生活动：学生被算式序列的规律所吸引，积极计算并观察。他们能清晰发现积等差的规律，并顺理成章地推算出(5)×(1)=5，(5)×(2)=10，(5)×(3)=15。在生活模型的帮助下，尝试理解其合理性。与同伴兴奋地交流：“看！负数乘负数，居然得正了！”并最终尝试概括：“两个负数相乘，积是正数，绝对值也是两数绝对值相乘。”即时评价标准：1.能否准确发现并描述算式序列中的变化规律（递增/递减）。2.能否根据规律进行合理的数学猜想与预测。3.是否表现出对“负负得正”这一结论从惊讶到尝试理解的态度转变。形成知识、思维、方法清单：★7.同号（负负）相乘法则：两个负数相乘，积为正数；积的绝对值等于两数绝对值的积。★8.归纳推理的运用：通过观察已知算式的规律，对未知结果做出合理推断，这是数学发现的重要方法。9.规律一致性原则：数学规则追求在已有体系下的延续与自洽。从(5)×3到(5)×(3)，我们要求乘法运算保持某种“规律”（如积的等差变化），这使得“负负得正”成为必然且合理的选择，而非强行规定。任务四：归纳与表述有理数乘法法则教师活动：“经过刚才的探索，我们已经有了很多发现。现在，请大家作为‘数学发言人’，尝试把我们发现的关于有理数乘法的所有规则，整合成一条完整、简洁的法则。”组织学生先小组内整合，再全班分享。我会将学生的表述关键词记录在副板书上。最后，引导学生阅读教材上的规范表述，并与自己的表述进行对比、优化。强调法则的核心：“有理数乘法，先确定积的符号，再计算积的绝对值。”并板书完整的法则和步骤。学生活动：小组合作，梳理前面三个任务中得出的结论（正正得正、正负得负、负正得负、负负得正），尝试用精炼的语言概括。可能有的组按“同号”、“异号”分类总结，有的组直接总结符号法则。在教师引导下，完善表述，并齐声朗读规范法则，加深记忆。即时评价标准：1.小组归纳的法则是否完整覆盖了各种情况（同号、异号、含零）。2.表述是否具有条理性和数学的简洁性。3.是否理解“先定符号，后算绝对值”这一操作流程的重要性。形成知识、思维、方法清单：★10.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。★11.运算程序：进行有理数乘法运算时，应遵循“一观符号，二算绝对值”的两步法，这是保证运算准确性的关键操作流程。12.数学语言的规范化：个人发现需要转化为准确、简洁、通用的数学语言，这是与更广泛数学共同体交流的基础。任务五：法则的初步应用与验证教师活动：现在进入“练兵场”。首先，出示一组直接应用法则的计算题，如：(7)×4，5×(2/5)，(0.6)×(5)，(8)×0。请几位同学板演，要求他们边写边口述计算步骤（特别是符号的判断）。提问：“在计算5×(2/5)时，除了直接用法则，还有更简便的看法吗？（提示：可先确定符号为负，再将5与2/5相约分）”。接着，设计一个简单的小组竞赛活动：“请每个小组快速编一道含有两个有理数乘法的实际问题，并写出算式和答案，看看哪个小组编得又对又快又有趣。”学生活动：学生独立完成计算题，观察板演过程并进行对比。板演的学生大声说出“异号得负，绝对值相乘…”的过程。思考教师关于约分的提示，体会灵活运算。在编题活动中，小组脑力激荡，联系温度、海拔、财务等情境，创作题目并计算验证，体验“学以致用”的乐趣。即时评价标准：1.计算过程是否严格遵循“先定号，后算值”的程序，结果是否正确。2.板演时，口头表述的步骤是否清晰、完整。3.小组编题是否合理，算式与答案是否匹配。形成知识、思维、方法清单：★13.法则的直接应用：通过基础计算，固化运算程序，形成初步技能。14.运算的灵活性：在遵循法则的前提下，可以根据数字特点（如分数、小数）进行简便运算，如先约分、化小数分数等。▲15.逆向应用与建模：根据法则自编应用题，是检验理解和应用能力的更高层次，实现了从“解题”到“出题”的角色转换，深化模型观念。第三、当堂巩固训练本环节设计分层、变式的训练体系，满足不同层次学生的需求，并提供即时反馈。基础层（全员通关）：计算：①(9)×6②(14)×(5)③7×(1.2)④(3/4)×(8/9)⑤0×(2014)。目标是熟练运用法则进行准确计算。学生完成后，通过同桌互换批改、集体核对答案的方式进行快速反馈。我会巡视，重点关照基础薄弱学生的完成情况，并做个别指导。综合层（跳一跳够得着）：1.填空：若ab>0，则a,b两数符号关系是______；若ab<0，则______。2.计算：(1)×2×(3)×4×(5)（关注连续乘法的符号判定）。这一层旨在引导学生综合运用法则，并进行简单的逻辑推理。完成后，请学生讲解解题思路，特别是连续乘法符号的判定策略：“大家数一数有几个负数？负数的个数和最终结果的符号有什么关系？这为我们下节课埋下了一个有趣的伏笔。”挑战层（学有余力）：已知|a|=5，|b|=2，且a+b<0，求a×b的值。此题涉及绝对值、加法符号判断与乘法的综合运用，富有挑战性。将请完成的学生上台分享其分类讨论的思维过程，树立榜样，开拓其他学生思路。第四、课堂小结“旅程即将到站，让我们一起来清点一下今天的收获。”引导学生从以下三个方面进行自主总结：知识整合：“请用一句话说出有理数乘法的法则核心。”“计算(3)×(4)的步骤是什么？”鼓励学生用思维导图或关键词在任务单上梳理。方法提炼：“回顾一下，我们今天是如何发现这个法则的？（从实际例子出发观察特例寻找规律归纳概括验证应用）这种从特殊到一般的思想方法，在以后的学习中还会经常用到。”作业布置：公布分层作业：1.必做（基础）：教材对应练习题，巩固法则。2.选做（拓展）：（1）思考：(1)×(1)=1，(1)×(1)×(1)=?多个有理数相乘，符号如何确定？（2）寻找一个生活中能用(2)×(3)=6解释的实际例子。并预告下节课：“明天我们将一起探索有理数乘法的运算律，看看这些老朋友（交换律、结合律、分配律）在有理数的世界里是否依然‘健在’。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.教科书本节后“随堂练习”及习题2.9中第1、2题。旨在巩固有理数乘法法则的基本应用，确保运算的准确性。2.整理本节课的课堂笔记，用不同颜色的笔标出有理数乘法法则和运算步骤。拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.情境应用题：某气象站观测到，某地的气温随时间变化规律如下：如果每小时气温下降2℃，记作2℃/小时。请回答：（1）3小时后气温变化了多少℃？（列式并计算）（2）2小时前的气温比现在高还是低？变化了多少℃？（列式并计算）2.规律探究题：计算下列各式，并思考：①(2)×1，(2)×2，(2)×3，(2)×4…②2×(3)，1×(3)，0×(3)，(1)×(3)，(2)×(3)…你发现了积的变化与乘数变化之间有什么联系？探究性/创造性作业（选做）：1.数学小论文（雏形）：以“我来说说‘负负得正’”为题，写一段200字左右的短文。你可以尝试用至少两种不同的方式（如算式规律、生活模型、数轴等）来解释为什么“负负得正”，并谈谈你对这一规则的理解和感受。2.创意设计题：设计一个棋盘游戏或卡片游戏规则，让参与者在游戏中必须运用有理数乘法的知识来决定得分或行进步骤。简要描述游戏规则，并给出一个游戏回合的示例。七、本节知识清单及拓展★1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。这是运算的“根本大法”，必须理解其来源并熟记于心。★2.运算程序（两步法）：第一步：定符号（依据法则）；第二步：算绝对值（将两数的绝对值相乘，进行数值计算）。这是保证计算过程清晰、结果准确的操作规范。3.乘法意义的扩展：在有理数范围内，乘法a×b不仅可以理解为b个a相加（当b为正整数时），更广泛地可以表示一个量a的连续、均匀变化，b表示变化的时间或倍数，其符号代表方向。▲4.“负负得正”的直观理解：可以从多个角度体会其合理性：（1）算式规律延续：如(5)×(3,2,1,0,1,2…)，积呈现等差规律，迫使(5)×(1)=5；（2）相反数的相反数：(a)×(b)可视为a×b的“相反数的相反数”；（3）生活模型：如“每天还债5元（收入+5）”，则“3天前（3天）”的资产比现在少15元，即(+5)×(3)=15；反之，“每天欠债5元（支出5）”，“3天前”的资产比现在多15元，即(5)×(3)=15。5.异号相乘法则：是“同号得正，异号得负”的直接应用。关键在于理解结果的负号代表了两个相反方向作用的综合效应。6.与0相乘：任何数与0相乘都得0。这是一个非常重要的特性，它不依赖于该数的符号，体现了0在乘法中的“归零”作用。7.运算中的易错点：（1）符号判断错误，尤其是两个负数相乘误得负；（2）绝对值的计算错误，如分数、小数的乘法运算失误；（3）步骤混乱，符号和绝对值计算混杂。★8.归纳推理方法：本节课探索法则的核心思维方法。通过观察多个具体、特殊的算式（实例），寻找其共同特征和变化规律，进而概括出适用于一般情况的结论（法则）。9.分类讨论思想：在研究有理数乘法时，自然地将乘数分为“同号”、“异号”和“含零”三类情况进行研究，这是一种处理复杂、多种可能性问题的有效策略。▲10.多个有理数相乘的符号规律（前瞻）：观察(1)×(2)×(3)与(1)×(2)×3的结果，可以发现：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。这个规律是乘法法则的推广。八、教学反思(一)教学目标达成度评估本节课预设的知识与技能目标基本达成。通过课堂观察和当堂巩固练习的反馈，绝大多数学生能准确复述法则并完成基础计算。“先定符号，后算绝对值”的程序意识在多数学生的解题步骤中得以体现。然而，在综合层练习中，部分学生对涉及绝对值和符号综合判断的题目表现出犹豫，说明其对法则的理解仍处于“操作模仿”层面，向“意义理解”的深度转化需在后续练习中持续加强。能力与思维目标方面，学生在任务二、三的探究活动中表现活跃，能够跟随教师引导进行观察和归纳，但自主提出有效猜想的能力存在差异，这符合七年级学生的认知发展规律。情感目标在突破“负负得正”难点时有所体现，部分学生眼中闪现出发现规律的惊喜之光，但数学理性美的持久感受，无疑需要更多这样的成功探究体验来累积。(二)核心环节有效性剖析导入与任务一有效链接了学生经验，将抽象的运算与现实变化对接，激发了探究的必要性。“任务二、三”的探究序列设计，尤其是利用算式规律推导“负负得正”，是本节课的设计亮点。它成功地将一个看似“规定”的内容，转化为可通过已有数学逻辑（规律一致性）进行“发现”的对象，显著降低了学生的认知负荷和抵触情绪。学生在此环节的参与度最高，思维集中。任务四的归纳与表述环节，由学生尝试总结再到教材规范对照，既尊重了学生的创造，又实现了数学语言的规范化，过渡自然。当堂巩固的分层设计满足了不同需求，但时间稍显紧张，挑战层题目的讲评不够充分，可考虑将部分基础层练习移至课后，为课堂深度互动留出更多时间。(三)学生表现的差异化审视课堂上，学生的表现清晰地分为几个层次：约三成的“引领者”思维敏捷，能迅速发现规律，并乐于在挑战题中尝试分类讨论；约五成的“跟进者”在清晰的脚手架引导下能顺利理解并掌握，是课堂的主体，他们的困惑点（如连续乘法符号判断）正是课堂讲评的重点；还有约两成的“困难者”则表现出对符号意义的生疏和计算步骤的混乱。对于后者，除了课堂巡视时的个别指导，我在任务单设计上可以做得更细