新疆阿勒泰地区布尔津县高级中学2026届高一数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

新疆阿勒泰地区布尔津县高级中学2026届高一数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列的通项公式，前n项和为，若，则的最大值是（）A．5 B．10 C．15 D．202．已知向量，且，则().A． B．C． D．3．下列表达式正确的是（）①，②若，则③若，则④若，则A．①② B．②③ C．①③ D．③④4．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（）A．8 B．6 C．4 D．165．已知一个扇形的圆心角为，半径为1．则它的弧长为（）A． B． C． D．6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是()A． B． C．3 D．7．同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是单调递增函数”的一个函数可以是（）A． B．C． D．8．已知数列的前项和为，满足，则通项公式等于()．A． B． C． D．9．给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）.A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的标准差为__________.12．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．13．已知，则____________.14．已知，，则________．15．函数在内的单调递增区间为____.16．若是三角形的内角，且，则等于_____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18．直线的方程为.(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的值；(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围.19．已知向量，．（I）若，共线，求的值．（II）若，求的值；（III）当时，求与夹角的余弦值．20．设数列的前n项和为，满足，，．（1）若，求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式；21．在中，角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

将的通项公式分解因式，判断正负分界处，进而推断的最大最小值得到答案.【详解】数列的通项公式当时，当或是最大值为或最小值为或的最大值为故答案为B【点睛】本题考查了前n项和为的最值问题，将其转化为通项公式的正负问题是解题的关键.2、D【解析】

运用平面向量的加法的几何意义，结合等式，把其中的向量都转化为以为起点的向量的形式，即可求出的表示.【详解】,,故本题选D.【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义，属于基础题.3、D【解析】

根据基本不等式、不等式的性质即可【详解】对于①，.当，即时取，而，.即①不成立。对于②若，则，若，显然不成立。对于③若，则，则正确。对于④若，则，则，正确。所以选择D【点睛】本题主要考查了基本不等式以及不等式的性质，基本不等式一定要满足一正二定三相等。属于中等题。4、A【解析】

直接利用扇形的面积公式求解.【详解】扇形的弧长l=8，半径r=2，由扇形的面积公式可知，该扇形的面积S=1故选A【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5、C【解析】

直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.【详解】由扇形弧长公式得：本题正确选项：【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.6、A【解析】

根据正弦和角公式化简得是正三角形，再将平面四边形OACB面积表示成的三角函数，利用三角函数求得最值.【详解】由已知得：即所以即又因为所以所以又因为所以是等边三角形.所以在中，由余弦定理得且因为平面四边形OACB面积为当时，有最大值，此时平面四边形OACB面积有最大值，故选A.【点睛】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.7、D【解析】

利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论．【详解】A,对于y＝cos（），它的周期为4π，故不满足条件．B,对于y＝sin（2x），在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上不是单调递增函数，故不满足条件．C,对于y＝cos（2x），当x时，函数y，不是最值，故不满足②它的图象关于直线x对称，故不满足条件．D,对于y＝sin（2x），它的周期为π，当x时，函数y＝1，是函数的最大值，满足它的图象关于直线x对称；且在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上是单调递增函数，满足条件．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．8、C【解析】

代入求得；根据可证得数列为等比数列，从而利用等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，当且时，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列本题正确选项：【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用得到数列为等比数列，属于常规题型.9、B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.10、A【解析】试题分析：直三棱柱的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以中，，所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距离相等，所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中，，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为，故选A.考点：组合体的结构特征；球的体积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、11【解析】

根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．【详解】根据题意，一组样本数据，且，平均数，则其方差，则其标准差，故答案为：11.【点睛】本题主要考查平均数、方差与标准差，属于基础题.样本方差，标准差.12、【解析】

先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．【详解】向量，，，，若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，即，且，求得，且．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．13、【解析】

由已知结合同角三角函数基本关系式可得，然后分子分母同时除以求解．【详解】，．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题．14、【解析】

由二倍角求得α，则tanα可求．【详解】由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵,∴sinα≠0,则,即.∴.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题.15、【解析】

将函数进行化简为，求出其单调增区间再结合，可得结论.【详解】解：，递增区间为：，可得，在范围内单调递增区间为。故答案为：.【点睛】本题考查了正弦函数的单调区间，属于基础题。16、【解析】∵是三角形的内角，且，∴故答案为点睛：本题是一道易错题，在上，，分两种情况：若，则；若，则有两种情况锐角或钝角.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；（2）.【解析】试题分析：(1)由于为等差数列，根据已知条件求出的第一项和第三项求得数列的公差，即得数列的通项公式，移项可得数列的通项公式；（2）由（1）可知,通过分组求和根据等差数列和等比数列的前项和公式求得的前项和.试题解析:（1）设数列的公差为，∵，∴，∴，∴．（2）考点：等差数列的通项公式及数列求和.18、(1)0或2；(2).【解析】

（1）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，可根据直线截距式，利用截距相等构造方程求得结果；（2）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果.【详解】（1）当过坐标原点时，，解得：，满足题意当不过坐标原点时，即时若，即时，，不符合题意若，即时，方程可整理为：，解得：综上所述：或（2）当，即时，，不经过第二象限，满足题意当，即时，方程可整理为：，解得：综上所述：的取值范围为：【点睛】本题考查直线方程的应用，涉及到直线截距式方程、由图象确定参数范围等知识；易错点是在截距相等时，忽略经过坐标原点的情况，造成丢根.19、（I）;（II）;（III）【解析】

（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，则有，结合向量数量积的坐标可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根据题意，由x的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得、和的值，结合，计算可得答案．解：（I）∵与共线，∴，（II）∵，∴，∴（III）∵，∵，，∴，又∵，∴．20、（1）；（2）【解析】

（1）根据递推公式，得到，累加即可计算出的结果；（2）分类讨论：为奇数、为偶数，然后在求和时分奇偶项分别求和即可得到对应的的通项公式.【详解】（1）因为，所以，所以上式叠加可得：，所以，又因为时符合的情况，所以；（2）因为，，所以，所以，又因为，所以，所以，因为，所以，当时，，当时，，当时，，当时，,所以.【点睛】本题考查数列的综合应用,难度较难.(1)利用递推公式求解数列通项公式时，对于的情况，一定要注意验证是否满足时的通项公式，此处决定数列通项公式是否需要