2026高一数学寒假自学课（苏教版）12.3 复数的几何意义（原卷版）

12.3复数的几何意义

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第一步：导

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握

第二步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练考点强知识：核心题型举一反三精准练

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：复数的坐标表示

1、任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，而有序实数对与平面直角坐标系

中的点是一一对应�的=．�因+此𝑏，可以用直角坐标系中的(点�,�)来表示复数(�,�)

2、把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，�x(�轴,�叫)做实轴，y�轴=叫�做+虚𝑏轴。

3、复平面内的点与以原点为起点、以为终点的向量一一对应，所以复数也可以

用向量来表示。�(�,�)�(�,�)���=�+𝑏

��

4、向量的模也叫作复数的模（或绝对值）,

22

注意：���=�+𝑏�=�+𝑏=�+�

1、复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．

2、复数的模表示复平面内的点到原点的距离．

�=�+𝑏��(�,�)

（2026高三上·广东·学业考试）已知复数z12i，则z在复平面上所对应的点为（）

A．1,2B．1,2C．2,1D．2,1

知识点2：复数加减法的几何意义

1、以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数

所对应的�1向,�2量．对应的�向�1量,�是�2．��1��2�����1+

�2�1−�2�2�1

3、根据复数加减法的几何意义有以下性质：

(1)

(2)若�1−�2≤�1+�2,即≤平�1行+四|边�2形|对角线相等，则此平行四边形为矩形。

(3)若�1+�2=,|�则1此−�平2|行四边形为菱形

(4)若�1=|�2且|，则此平行四边形为正方形

注意：�1=|�2|�1+�2=|�1−�2|

两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离

（24-25高一下·北京·期中）若复数z满足zi3，则在复平面内，复数z对应的点组成图形的周长为（）

A．2πB．4πC．6πD．8π

题型一复数的坐标表示

例1.（25-26高三上·北京房山·期末）已知复数z满足zi1i，则在复平面内z对应点的坐标为（）

A．1,1B．1,1C．1,1D．(1,-1)

【变式1-1】（25-26高三上·北京·月考）复数zii（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面上所对应点的

坐标为（）

A．(1,-1)B．1,1C．1,1D．1,1

【变式1-2】（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）复数z在复平面内对应的点为1,1，则z4（）

A．4B．4iC．4D．4i

【变式1-3】（25-26高三上·湖北黄冈·月考）若复数z在复平面内对应的点的坐标为3,3，则iz.

题型二实轴虚轴上点对应的复数

例2.（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知mR，复平面内表示复数m25m6m2mi的点在虚

轴上，则m．

【变式2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数za22aa2a2i对应的点在虚轴

上，则a的值为（）

A．a0或a2B．a0C．a1且a2D．a1或a2

【变式2-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数z11bibR在复平面内对应的点在直线xy10

上，则复数z2bi在复平面对应的点在（）

A．实轴正半轴B．实轴负半轴C．虚轴正半轴D．虚轴负半轴

2

【变式2-3】（24-25高三下·广东惠州·月考）在复平面内，复数z与对应的点关于实轴对称，则z（）

1i

A．12iB．1iC．1iD．1i

题型三复数所在象限

例3.（2026·河北·模拟预测）复数zi3在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【变式3-1】（25-26高三上·湖南·月考）设复数z22i，则z在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第一、三象限D．第二、四象限

【变式3-2】（2025·浙江·一模）设复数z153i,z22i,i为虚数单位，则复数z1z2在复平面内对应的点

位于（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【变式3-3】（25-26高三上·四川·开学考试）设复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则复数zi在复平

面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

题型四根据复数象限求参数

a

例4.（24-25高一下·上海·期末）设a，bR，若复数z=(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点

bi

位于第四象限，则（）

A．a0，b0B．a0，b0

C．a0，b0D．a0，b0

【变式4-1】（24-25高一下·河北·期末）已知i为虚数单位，若复数zm23m42m1imR在复平

面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（）

1

A．1,4B．,4

2

1

C．,14,D．,4,

2

2

【变式4-2】（24-25高一下·河南南阳·月考）设xR，若复数zlog1x3ilog2x3在复平面内的

2

对应点在第三象限，则x的取值集合为．

14mi

【变式4-3】（24-25高一下·山西晋城·期中）已知mR，复数z在复平面内对应的点位于第四象

mi

限，则实数m的取值范围是．

题型五复数的模的几何意义

例5.（24-25高一下·江苏连云港·期中）设zC，满足条件z3的点Z的集合表示的图形的面积

为．

【变式5-1】（24-25高一下·广东广州·期末）设zC，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足

1z2条件点Z的集合构成图形的面积为.

【变式5-2】（多选）（24-25高三上·山西大同·期末）已知复数z1,z2，下列说法正确的是（）

22

A．若z1z2，则z1z2B．z1z2z1z2

C．z1z2z1z2D．z1z2z1z2

【变式5-3】（多选）（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数z，则下列说法正确的是（）

A．若z1，则z1B．若z1，则z1

C．若ziR，则z的虚部为1D．若z1，则1z2i3

题型六复数加减的几何意义

例6.（2025·广东·模拟预测）若复数z满足|zi||zi|2，那么|z1|的最大值是（）

A．1B．2C．2D．5

【变式6-1】（多选）（2024·全国·模拟预测）若z1z1，则（）

A．zRB．z1z1C．zz0D．zzz2

【变式6-2】（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数z满足|z5i|1，则|zi|的最小值为.

【变式6-3】（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知复数z1,z2所对应的向量分别为OZ1，OZ2，其中

O为坐标原点，则下列说法正确的有（）

A．若z1z20，则z1z2

B．若z1z2z1z2，则z1z20

C．若z1z20，则OZ1OZ2

22

D．若z1z20，则OZ1OZ2

1．（25-26高三上·北京丰台·期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,-1)，则zz（）

A．0B．1C．2D．2

2．（云南省2025年秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试题）已知i为虚数单位，则复数

z1020i在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

1i

3．（25-26高三上·河南·月考）已知i为虚数单位，复数z与复数在复平面内对应的点关于实轴对称，

2i

则z（）

1111

A．iB．i

2222

1111

C．iD．i

2222

4．（25-26高三上·山东滨州·期末）已知复数z满足zi12i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点

位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5．（25-26高三上·河南·开学考试）设复数z1a2i,z213ai，其中aR，若z1z2在复平面内对应的点

位于第四象限，则a的取值范围为（）

223

A．,1B．,C．,D．1,

332

6．（2025高三·全国·专题练习）已知复数z满足zz2iz3aiaR，且z所对应的点在第二象限，求实

数a的取值范围．

7．（25-26