八年级数学分式学习导学案

八年级数学分式学习导学案一、学习目标同学们，通过本章的学习，我们将一起探索分式的世界。希望大家在学习结束后，能够：1.理解分式的概念，明确分式与整式的区别，掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件。2.掌握分式的基本性质，并能运用基本性质进行分式的约分和通分。3.熟练进行分式的加、减、乘、除四则运算，以及简单的混合运算。4.初步了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的简单分式方程，并能运用分式知识解决一些简单的实际问题。5.在学习过程中，体会类比（分数与分式）、转化等数学思想方法，提高运算能力和解决问题的能力。二、温故知新：从分数到分式在小学，我们学习了分数。例如，表示把一个整体平均分成3份，取其中的2份。这里的3和2都是整数。现在，请大家思考：如果我们将3换成一个含有字母的整式，比如`x`，那么`2/x`表示什么呢？它还是分数吗？思考与发现：1.观察下列代数式，它们有什么共同特征？与我们学过的整式有什么不同？`(1/a)`，`(m+n)/(m-n)`，`(x²-1)/(x+2)`，`(3)/(y-5)`2.这些代数式都具有的形式，其中A、B是，并且B中含有。三、新知探究：分式的概念（一）分式的定义一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子`A/B`叫做分式（fraction）。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。注意：*分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，同时也含有括号的作用。*分式与整式的根本区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含有字母（整式可以看作分母为1的分式，但通常不这样强调）。牛刀小试1：下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？(1)`5x-7`(2)`3x²-1`(3)`(x²y)/2`(4)`(7)/(x-y)`(5)`(5b)/(3a)`(6)`-5`(7)`(x²+1)/(x²-1)`（二）分式有意义、无意义的条件分数中，分母不能为零。类似地，分式中，分母也不能为零。*当分式的分母B≠0时，分式`A/B`才有意义。*当分式的分母B=0时，分式`A/B`无意义。思考：分式`A/B`有意义，只与分母有关，与分子有关吗？牛刀小试2：1.当x取何值时，分式`(x+1)/(x-2)`有意义？2.当x取何值时，分式`(3)/(x²-4)`无意义？（三）分式的值为零的条件分式的值为零，是指分式在有意义的前提下，分子的值为零。即：当分式的分子A=0，且分母B≠0时，分式`A/B`的值为零。警示：“分式的值为零”包含两个条件：分子为零，且分母不为零，二者缺一不可！牛刀小试3：当x取何值时，分式`(x²-9)/(x+3)`的值为零？四、深化理解：分式的基本性质我们知道，分数的基本性质是：分数的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变。分式也有类似的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为：`A/B=(A×C)/(B×C)`，`A/B=(A÷C)/(B÷C)`(其中C是不等于零的整式)核心要义：“同乘（或同除）”、“同一个”、“不为零的整式”。（一）分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的结果通常要化成最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。约分步骤：1.找出分子、分母的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂）。2.将分子、分母同时除以公因式。牛刀小试4：约分：(1)`(6ab²)/(8b³)`(2)`(x²-4)/(x+2)`(3)`(a²+2a+1)/(a²-1)`（二）分式的通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的方法：1.取各分母系数的最小公倍数。2.凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。3.同底数幂取次数最高的。牛刀小试5：通分：(1)`1/(2x³y)`与`1/(3xy²)`(2)`1/(x²-4)`与`x/(x+2)`五、技能提升：分式的运算（一）分式的乘除1.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。`(A/B)×(C/D)=(A×C)/(B×D)`2.分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。`(A/B)÷(C/D)=(A/B)×(D/C)=(A×D)/(B×C)`运算技巧：分式乘除运算的结果要化为最简分式或整式。在运算过程中，可以先约分再相乘，这样更简便。牛刀小试6：计算：(1)`(2a/b²)×(b/4a³)`(2)`(x²-1)/(x²+2x)÷(x-1)/x`（二）分式的加减1.同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。`(A/C)±(B/C)=(A±B)/C`2.异分母分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。`(A/B)±(C/D)=(AD)/(BD)±(BC)/(BD)=(AD±BC)/BD`运算技巧：分式加减运算的结果也要化为最简分式或整式。分子是多项式时，相加减要加括号。牛刀小试7：计算：(1)`(3a/b)+(a/b)-(2a/b)`(2)`1/(x+1)+2/(x²-1)`六、实际应用：分式方程初步分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的基本思路：去分母，将分式方程转化为整式方程。解分式方程的一般步骤：1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。2.解这个整式方程。3.验根：把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则这个根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根（是增根，应舍去）。注意：解分式方程必须验根！牛刀小试8：解下列分式方程：(1)`1/x=2/(x+3)`(2)`(x-2)/(x+2)-1=16/(x²-4)`七、知识梳理与总结1.分式的概念：形如`A/B`(A、B是整式，B中含字母且B≠0)。2.分式有意义：B≠0；分式无意义：B=0；分式值为0：A=0且B≠0。3.分式的基本性质：`A/B=(A×C)/(B×C)=(A÷C)/(B÷C)`(C≠0的整式)。4.分式运算：约分、通分是基础；乘除、加减要遵循法则，结果要最简。5.分式方程：分母含未知数，求解必须验根。八、自我检测与评价1.若分式`(x-1)/(x+2)`的值为零，则x的值是（）A.1B.-1C.2D.-22.下列分式中，最简分式是（）A.`(x²-1)/(x-1)`B.`(x+1)/(x²+1)`C.`(x²-2xy+y²)/(x-y)`D.`(x²-36)/(2x+12)`3.计算：`(2a)/(a²-9)-1/(a-3)`4.解方程：`3/(x-1)=4/x`5.先化简