统计学基础练习题及参考答案

统计学基础练习题及参考答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1.设随机变量X服从参数为λ=3的泊松分布，则A.  B.  C.  D.答案：C解析：泊松分布概率质量函数为P(2.若样本,…,独立同分布于N(A.  B.  C.  D.n答案：B解析：由独立同分布性质，Var(3.在假设检验中，若显著性水平α减小，则A.第一类错误概率减小，第二类错误概率减小B.第一类错误概率减小，第二类错误概率增大C.第一类错误概率增大，第二类错误概率减小D.第一类错误概率增大，第二类错误概率增大答案：B解析：α减小意味着拒绝域缩小，更易接受原假设，故第一类错误概率减小，第二类错误概率增大。4.设随机变量X的密度函数为f(x)A.  B.  C.  D.答案：B解析：E(5.对于简单线性回归模型=++，若~NA.NB.NC.ND.答案：A解析：经典线性回归理论给出~N(,6.设X~，则EA.0  B.10  C.1  D.不存在答案：A解析：t分布关于0对称，且自由度大于1时期望存在且为0。7.若,~N(A.  B.  C.N(0,2答案：B解析：独立标准正态平方和服从自由度为2的卡方分布。8.设总体比例p=0.3，从中有放回抽取n=A.N(0.3C.N(0.3答案：B解析：由中心极限定理，p^9.在单因素方差分析中，若组数为3，每组样本量均为10，则误差自由度为A.27  B.29  C.30  D.2答案：A解析：总自由度N−1=29，组间自由度10.设随机变量X的矩母函数为(t)=A.2  B.3  C.4  D.5答案：B解析：E(二、填空题（每题5分，共30分）11.若X~Bin(答案：0.31744解析：P(12.设样本,…答案：解析：标准误s/13.若X~N(10,答案：Φ解析：标准化后Z=14.设随机变量X的期望为5，方差为9，用切比雪夫不等式估计P(答案：=解析：切比雪夫不等式P(|X15.在简单随机抽样中，若要使估计总体均值的绝对误差不超过0.5，置信水平95%，已知总体标准差σ=3，所需最小样本量答案：139解析：n⩾16.设随机变量X的密度函数为f(答案：0解析：密度在x=三、计算与证明题（共80分）17.（10分）设,独立同分布于Exp(λ)答案：Z~Exp(解析：P(Z>z)18.（12分）设总体X的密度为f(x;θ)答案：θ^解析：似然函数L(ℓ令导数为零得θ^=n/(−∑ln)。令=19.（14分）某生产线袋装食品标准质量500g，标准差8g。质检部门抽取25袋，测得平均497g。（1）在显著性水平α=（2）求检验的p值；（3）若实际均值降至495g，求此时第二类错误概率β。答案：（1）检验统计量z==−（2）p=（3）β=20.（12分）设(Xf求E(X)、E答案：E(E(E(Cov(21.（12分）某城市想估计居民月平均交通支出，已知总体标准差σ=答案：n⩾若n=400，则误差22.（10分）设随机变量X的密度为f(x)答案：(tE(23.（10分）证明：若X~Poisson(λ)答案：提示：用矩母函数法。(t令Y=(对指数部分泰勒展开至项，得λ故(t四、综合应用题（共50分）24.（25分）某电商平台想评估新页面设计对转化率的影响。随机抽取1000名访客，其中520人看到新设计（A组），480人看到旧设计（B组）。结果A组104人下单，B组84人下单。（1）建立适当的假设检验，判断新设计是否显著提高转化率（α=（2）给出两组转化率差的95%置信区间；（3）若希望检测出真实提升3个百分点的功效达到80%，请计算所需样本量（两组等量）。答案：（1）设,为两组真实转化率。:⩽样本转化率=0.2合并率p^z=单侧临界值1.645，恰好达到边界，p=（2）差值d^=95%置信区间0.025±（3）用功效公式，设α=0.05（单侧），β=0.2，效应量n每组约1440人。25.（25分）某高校统计系想分析入学成绩X（百分制）与第一学期绩点Y（0–4分制）的关系，随机抽取50名学生，得到∑（1）建立简单线性回归方程；（2）检验回归系数是否显著（α=（3）若某新生入学成绩82