统计学基础试题及答案

统计学基础试题及答案1.单项选择题（每题4分，共40分）1.1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则其方差为A.  B.λ  C.1/λ  D.答案：B解析：泊松分布的期望与方差均等于参数λ。1.2若样本,…,独立同分布于N(A.N(μ,)  B.N答案：B解析：正态样本均值的线性组合仍为正态，且方差缩小n倍。1.3在显著性水平α下，若检验统计量落入拒绝域，则A.必然犯第一类错误  B.可能犯第一类错误  C.必然犯第二类错误  D.必然不犯错误答案：B解析：拒绝原假设时仅“可能”犯第一类错误，其概率上限为α。1.4设X~N(A.N(0,1)  B.答案：C解析：标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布。1.5对同一组数据，若增大置信水平，则置信区间的宽度将A.不变  B.变窄  C.变宽  D.先窄后宽答案：C解析：置信水平提高需要更大的临界值，区间必然变宽。1.6在简单线性回归中，若决定系数=0A.斜率必为0  B.截距必为0  C.残差平方和等于总平方和  D.解释变量与响应变量完全相关答案：C解析：=01.7设X,Y独立且均服从U(0,A.z  B.1−z  C.  D.答案：A解析：卷积得三角形分布，(z)=1.8对二项分布B(n,p)A.正态  B.泊松  C.均匀  D.卡方答案：B解析：泊松定理给出np1.9若随机变量X的矩母函数为(t)=A.0  B.1  C.μ  D.σ答案：A解析：正态分布的偏度恒为0。1.10在假设检验中，p值表示A.原假设为真的概率  B.备择假设为真的概率  C.观测到更极端结果的概率  D.显著性水平答案：C解析：p值是“原假设成立时，获得当前或更极端样本”的概率。2.填空题（每空3分，共30分）2.1若X~N(3,答案：Φ解析：标准化得Z=2.2设样本方差=(−X答案：解析：样本方差是总体方差的无偏估计。2.3对于随机变量X满足E(X)=0，E答案：3解析：峰度=E2.4在简单随机抽样中，样本比例p^答案：解析：伯努利变量方差为p(1−2.5若X~答案：k解析：卡方分布期望等于自由度。2.6设X,Y的协方差为2，且Var(答案：1解析：ρ=2.7若线性回归模型Y=+X答案：/解析：经典公式。2.8对假设:μ=使用双侧t检验，若|t答案：20解析：n−2.9设X~Bin(答案：解析：P(2.10若随机变量X的密度为f(x)=exp答案：对数正态解析：定义即对数正态密度。3.计算题（共50分）3.1（10分）设,…,为来自均匀分布U(答案：似然函数L(θ)显然L在θ=处取最大，故=密度(x)=期望E(因此有偏，修正无偏估计为。3.2（12分）某生产线袋装食品标称质量500g。随机抽取9袋，测得平均495g，样本标准差6g。假定质量服从正态分布，检验是否显著低于标称值（α=答案：:μ=500检验统计量t=单侧临界值−=−2.5<−p值：P(3.3（14分）设(X,Y)的联合密度(1)求边缘密度(x)；(2)求条件期望E(答案：(1)对固定x∈(0(2)条件密度(y|x故E((3)当x=0.2，3.4（14分）一研究人员建立多元线性模型Y=++=1.2，SE()=0.4，=(1)检验:=0对:≠(2)构造的95%置信区间；(3)计算调整决定系数，已知总平方和TSS=60答案：(1)=1.2/0.4=3|3|>2.074，拒绝(2)置信区间：−0.8(3)=1=14.综合应用题（共30分）4.1（15分）某城市想估计居民月均可支配收入μ，已知历史σ=答案：n≥若仅196人，则误差E=4.2（15分）某电商平台对比两种推荐算法A、B的转化率。随机分配1000名用户到每组，结果：A组40人购买，B组60人购买。(1)构造两组转化率差异的95%置信区间；(2)在α=0.05下检验:=答案：=0.04，=0.06，合并差异标准误SE=(1)差异0.02±(2)z=0.02/5.证明题（共20分）5.1（10分）设,…,独立