统计学原理试题及答案

统计学原理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则下列关于其期望与方差的描述正确的是A.EB.EC.ED.E答案：B解析：泊松分布的期望与方差均等于参数λ，这是泊松分布的基本性质。2.若样本,…,独立同分布于N(A.NB.NC.ND.N答案：B解析：由正态分布的可加性，X¯3.在假设检验中，若显著性水平α增大，则A.第一类错误概率减小B.第二类错误概率增大C.检验功效增大D.临界域缩小答案：C解析：α增大意味着拒绝域扩大，检验功效（1−第二类错误概率）随之增大。4.对于简单线性回归模型=++，若~NA./B./C./D./答案：B解析：的方差公式为/∑(5.设X~t(k)A.NB.(C.FD.N答案：A解析：自由度趋于无穷时，t分布收敛于标准正态。6.若随机变量X的矩母函数为(t)=A.泊松B.指数C.正态D.伽马答案：C解析：该矩母函数正是N(7.在单因素方差分析中，若组间均方为M，组内均方为M，则检验统计量F为A.MB.MC.MD.M答案：B解析：F=8.设,…,为来自U(A.XB.minC.maxD.max答案：C解析：均匀分布的上限θ的MLE为样本最大值。9.若X~N(A.NB.(C.tD.F答案：B解析：标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布。10.设X与Y独立，且X~N(0,A.NB.NC.ND.N答案：B解析：独立正态变量之和仍为正态，方差相加，故X+二、填空题（每空3分，共30分）11.若X~答案：np；12.设样本方差=(−X答案：13.对于假设检验:μ=，若检验统计量答案：t；n14.若X~Exp(答案：P15.设,…,为来自N(答案：(16.在简单线性回归中，决定系数等于回归平方和与________平方和的比值。答案：总17.若X~答案：0；318.设X~答案：exp19.若X~F(答案：F20.在贝叶斯估计中，若先验分布为共轭先验，则后验分布与先验分布属于同一________。答案：分布族三、计算与证明题（共50分）21.（10分）设,…,独立同分布于N(μ,解：\begin{aligned}E(Y_i^2)&=E\!\bigl[(X_i-\barX)^2\bigr]\\&=E\!\left[\Bigl((X_i-\mu)-(\barX-\mu)\Bigr)^2\right]\\&=E[(X_i-\mu)^2]-2E[(X_i-\mu)(\barX-\mu)]+E[(\barX-\mu)^2]\\&=\sigma^2-2\frac{\sigma^2}{n}+\frac{\sigma^2}{n}\\&=\sigma^2\!\left(1-\frac1n\right).\end{aligned}22.（12分）设X~Bin(解：矩估计：令样本均值等于总体均值，X¯=nMLE：似然函数L取对数后求导得=二者相同。渐近方差：Var故渐近方差亦相同。23.（14分）设(,)满足简单线性回归模型=+(1)求的分布；(2)证明与独立。解：(1)最小二乘估计=由于独立同正态，为线性组合，故~(2)利用正交分解：令设计矩阵X=(1,x)，则残差向量e=(I−H)Y，其中H=X(X。β^仅依赖于24.（14分）设,…f的样本。(1)求θ的极大似然估计θ^(2)计算E((3)求θ^解：(1)似然函数L令导数为零：+(2)令=−ln，则~ExpE故θ^(3)由Delta法，令g((其中(y)=(四、综合应用题（共50分）25.（25分）某生产线包装重量服从N(μ,)（单位：克）。现随机抽取(1)在显著性水平α=0.05下检验:μ(2)求μ的95%置信区间；(3)若要求置信区间半宽不超过1克，求所需最小样本量。解：(1)检验统计量z双侧临界值=1.96，因|z|(2)置信区间x(3)半宽公式1.96·n26.（25分）为研究广告投入x（万元）对销售额y（万元）的影响，收集10个月数据，计算得∑(1)建立简单线性回归方程；(2)计算决定系数；(3)在α=0.05下