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统计概率与数列综合经典题(含详解答案)已知数列{}=定义随机变量为=设(x)=1.证明：对任意n≥≤并由此推出=2.令=求𝔼[]与Va3.证明序列{}依分布收敛，并求出其极限分布的密度函数(4.设=>1+}，其中𝔼5.定义停时τ计算𝔼[详解1.上下界与几乎处处收敛下界：由递推式平方得=累加得>再与待证下界相差高阶小量，故只需证上界。上界：令=−=显然=−1<≤其中用到ln(n+≤结合下界得≤于是=2.均值与方差渐近令=(=及=+=又可近似为积分：=更精细地，令=−−故收敛到某常数C≈−𝔼对方差，先算V由=2k+及的波动为O(V于是V3.极限分布考虑中心极限尺度。令=由鞅差阵列的中心极限定理，{}=扣除确定性漂移后，=故{}=则→其密度(4.期望计数由题1知ℙ用=及=ln=于是ℙ而≈lnk+C且波动O(ℙ因而𝔼于是𝔼更精细地，主项来自k=05.停时期望欲求𝔼[τ]≤数值迭代递推式：=得=故τ=𝔼答案汇总1.上下界已证；几乎处处收敛由夹逼得。2.𝔼3.平移后=密度(4.𝔼5.𝔼

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