应用统计学试题和答案

应用统计学试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某工厂对同一批零件用两种量具各测一次，记X为第一次测量值，Y为第二次测量值。若Cov(X,Y)=0.8，Var(X)=1.2，Var(Y)=1.5，则X与Y的相关系数ρ为A.0.667  B.0.577  C.0.816  D.0.4712.设随机变量X~N(μ,σ²)，若样本容量n=25，样本均值X¯A.N(μ,σ²)  B.N(μ,σ²/5)  C.N(μ,σ²/25)  D.N(μ,σ/5)3.在单因素方差分析中，若组间均方MSB=120，组内均方MSE=30，则F统计量的观测值为A.4  B.0.25  C.150  D.904.对同一总体进行不放回抽样，样本容量n=10，总体容量N=100，则有限总体修正系数为A.0.9  B.0.95  C.√(90/99)  D.√(89/99)5.若一元线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε满足Gauss-Markov假定，则β₁的最小二乘估计量的方差为A.σ²/SXX  B.σ²/n  C.σ²ΣX_i²  D.σ²/(n-2)6.在假设检验中，若显著性水平α减小，则A.第一类错误概率增大  B.第二类错误概率增大C.检验功效增大  D.临界值减小7.对二项分布B(n,p)进行正态近似，若n=100，p=0.02，则连续性校正后的P(X≤3)近似概率计算应使用A.P(Y≤3.5)  B.P(Y≤2.5)  C.P(Y≤3)  D.P(Y≤4)其中Y~N(np,np(1-p))8.设X₁,…,X_n独立同分布于Exp(λ)，则λ的矩估计量为A.1/X¯  B.X9.在多元线性回归中，若设计矩阵X列满秩，则(XᵀX)⁻¹XᵀY是A.参数的最小方差无偏估计  B.参数的最大似然估计C.参数的最小二乘估计  D.以上都对10.对时间序列{X_t}建立AR(1)模型X_t=φX_{t-1}+w_t，若|φ|>1，则序列A.平稳  B.可逆  C.爆炸非平稳  D.随机游走二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列关于t分布的说法正确的是A.当自由度→∞时，t分布趋近标准正态分布B.t分布比标准正态分布尾部更厚C.t分布的期望为0，方差为1D.t分布是对称的12.下列属于非参数检验方法的是A.Wilcoxon符号秩检验  B.Kruskal-Wallis检验C.Mann-WhitneyU检验  D.单样本t检验13.若随机变量X,Y独立，则A.E(XY)=E(X)E(Y)  B.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)C.Cov(X,Y)=0  D.ρ_{XY}=014.在简单随机抽样中，样本均值X¯A.无偏性  B.一致性  C.有效性  D.充分性15.对泊松过程{N(t),t≥0}，强度λ>0，则A.N(t)~Poisson(λt)  B.增量独立C.增量平稳  D.样本轨道连续三、填空题（每空2分，共20分）16.设X~N(0,1)，Y~χ²(k)且独立，则T=X/√(Y/k)服从________分布，自由度为________。17.若样本方差S²=Σ(X_i-X¯18.在单因素方差分析中，总平方和SST=SSB+________。19.对线性回归模型Y=Xβ+ε，若ε~N(0,σ²I)，则σ²的无偏估计量为________。20.若随机变量X的矩母函数M_X(t)=exp(μt+σ²t²/2)，则X服从________分布，参数为________。21.对假设检验H₀:μ=μ₀vsH₁:μ≠μ₀，若检验统计量|t|=2.5，自由度为18，双尾p值约为________（保留三位小数）。22.设X₁,…,X_n为来自U(0,θ)的样本，则θ的极大似然估计量为________。23.若X~Bin(100,0.2)，用正态近似计算P(X=25)时，连续性校正后的标准化统计量为z=________。24.对ARMA(p,q)模型，其自相关函数ρ(k)在k>q后满足________方程。25.设随机变量X的密度f(x)=2x,0<x<1，则P(X≤0.5)=________。四、计算题（共30分）26.（8分）某品牌电池寿命服从正态分布N(μ,σ²)。随机抽取16只，测得平均寿命x¯(1)求μ的95%置信区间；(2)若要求估计误差不超过0.5小时，在相同置信水平下，至少需抽取多少只电池？27.（10分）为比较三条生产线A、B、C的产品合格率，独立抽取样本：A:85合格/100 B:90合格/100 C:80合格/100(1)构建3×2列联表，检验三条生产线合格率是否相同（α=0.05）；(2)若拒绝原假设，进一步用Bonferroni法进行多重比较，指出哪些生产线差异显著。28.（12分）某城市连续24个月的房价指数Y_t（已中心化）数据拟合AR(2)模型：Y_t=φ₁Y_{t-1}+φ₂Y_{t-2}+w_t，w_t~N(0,σ_w²)已知样本自相关：ρ̂(1)=0.75，ρ̂(2)=0.50(1)用Yule-Walker方程求φ₁,φ₂的估计；(2)若σ̂_w²=4.2，求一步ahead预测值Ŷ_{25}，已知Y_{23}=3.1，Y_{24}=2.8。五、综合应用题（共15分）29.某电商平台欲评估新版推荐算法对GMV（成交额）的提升效果。随机抽取100万用户，随机分为两组：实验组（新算法）50万，对照组（旧算法）50万。运行两周后记录人均GMV（单位：元）：实验组：=218.5，s₁=96.2对照组：=210.4，s₂=94.8(1)检验新算法是否显著提升人均GMV（α=0.01，单侧）；(2)计算提升率的95%置信区间；(3)若平台日活5000万，估算两周内新算法带来的额外GMV总额；(4)讨论潜在混杂因素及改进方案。【答案与解析】1.C ρ=Cov(X,Y)/√(Var(X)Var(Y))=0.8/√(1.2×1.5)=0.8/√1.8≈0.8162.C 由中心极限定理，X¯3.A F=MSB/MSE=120/30=44.C 有限总体修正为√((N-n)/(N-1))=√(90/99)5.A Var()=σ²/SXX6.B α↓→拒绝域缩小→β↑7.B X≤3含3，校正至2.58.A E(X)=1/λ，矩估计λ̂=1/X9.D 在正态误差下，OLS=MLE=MVUE10.C |φ|>1特征根在单位圆外，爆炸非平稳11.ABD C错，方差=k/(k-2)≠112.ABC D为参数检验13.ABCD 独立⇒所有选项成立14.ABC X¯15.ABC 泊松过程轨道右连续且跳跃，不选D16.t分布，k17.σ²18.SSW（组内平方和）19.=SSE/(n-p)20.正态，N(μ,σ²)21.0.021 t₀.₀₁(18)=2.552，|t|=2.5，p≈0.02122.X_{(n)}（最大顺序统计量）23.z=(24.5-20)/√16=1.12524.自回归(AR)差分方程25.∫₀^{0.5}2xdx=x²|₀^{0.5}=0.2526.(1)n=16，t₀.₀₂₅(15)=2.131，CI=x¯(2)误差E=t·s/√n≤0.5→√n≥t·s/E=2.131×2.4/0.5≈10.23→n≥105，至少106只27.(1)列联表合格 不合格 合计A 85 15 100B 90 10 100C 80 20 100合计 255 45 300Pearsonχ²=Σ(O-E)²/E，E_{ij}=row_i·col_j/totalχ²=(85-85)²/85+(15-15)²/15+…+(20-20)²/20=0+0+…+0？重新计算：E_{A合格}=100×255/300=85，同理E_{B合格}=85，E_{C合格}=85χ²=(85-85)²/85+(90-85)²/85+(80-85)²/85+(15-15)²/15+(10-15)²/15+(20-15)²/15=0+25/85+25/85+0+25/15+25/15=50/85+50/15≈0.588+3.333=3.921df=(3-1)(2-1)=2，χ²₀.₀₅(2)=5.991，3.921<5.991，不拒绝，认为合格率无显著差异(2)因未拒绝，无需多重比较28.(1)Yule-Walker：ρ(1)=φ₁+φ₂ρ(1)ρ(2)=φ₁ρ(1)+φ₂代入ρ̂(1)=0.75，ρ̂(2)=0.50：0.75=φ₁+0.75φ₂0.50=0.75φ₁+φ₂解得：第一式×0.75：0.5625=0.75φ₁+0.5625φ₂与第二式相减：0.50-0.5625=(0.75φ₁+φ₂)-(0.75φ₁+0.5625φ₂)0.0625=0.4375φ₂→φ₂=-0.1429代回：φ₁=0.75-0.75×(-0.1429)=0.75+0.1071=0.8571(2)Ŷ_{25}=φ̂₁Y_{24}+φ̂₂Y_{23}=0.8571×2.8+(-0.1429)×3.1≈2.40-0.443=1.95729.(1)两独立大样本，z=(-)/√(s₁²/n₁+s₂²/n₂)=(218.5-210.4)/√(96.2²/5×10⁵+94.8²/5×10⁵)=8.1/√(18.51+17.96)=8.1/√36.47≈8.1/6.04≈1.34单侧α=0.01，z₀.₀₁=2.326，1.34<2.326，不拒绝，尚不能认为显著提升(2)提升率θ=(μ₁-μ₂)/μ₂，用Fieller法或大样本：Var(-)≈s_p²(1/n₁+1/n₂)，但方差不等，用Welch：SE=√(96.2²