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实变函数期末考试卷及答案1.（10分）设E⊆ℝ为可测集且m((证明：（1）→0（2）在(ℝ)中收敛到0【答案与解析】（1）对任意ε>{而当n>时，<{因此m即→0（2）计算范数：‖故→0在(2.（12分）设f∈F（1）证明F在ℝ上绝对连续；（2）若进一步假设f在ℝ上连续，证明(x)=【答案与解析】（1）对任意ε>0，因f∈，存在δ>0使得对任意可测集A取任意有限个互不相交区间(,)满足∑故F绝对连续。（2）固定x∈ℝ，对=由积分中值定理，存在介于x与x+hf当h→0时→x=故(x3.（10分）设(x)=（1）求(x（2）问在[0,【答案与解析】（1）(（2）对任意固定x∈(0,1]，当而对x=0，因此(x)→0对所有一致收敛：若一致收敛，则对ε=存在N使得n≥N时|但取x=0有4.（14分）设1≤p<(（1）证明‖≤（2）证明‖−【答案与解析】（1）由Jensen不等式，对固定x有|积分得|故‖≤（2）先设f连续且具有紧支集。此时f一致连续，对任意ε>0存在δ>0使得则当0<|故‖−对一般f∈，用稠密性：对任意ε>0取连续紧支函数g则‖当h足够小。故‖−5.（12分）设E⊆ℝ为可测集且m(E)=1定义f（1）证明f可测且0≤（2）计算fd（3）证明f不几乎处处等于常数。【答案与解析】（1）每项可测，级数逐点收敛，故f可测。对任意x∈E，0≤（2）由单调收敛定理，f数值计算∑=f上界显然为1，精确值即1−（3）若f几乎处处等于常数c，则f但f取值依赖于x是否属于。取F=对足够大K可使m(F)>0而在E⧵上f故f在不同正测集上取不同值，不能几乎处处常数。6.（10分）设f∈=（1）证明|<（2）若进一步|n|||<【答案与解析】（1）由Parseval恒等式，|（2）令g由条件∑|n|而g的Fourier系数与f相同，故f=7.（12分）设f:（1）证明f在[0（2）若进一步假设f绝对连续，证明(（3）举例说明（2）中不等式可以严格。【答案与解析】（1）单调函数在ℝ上几乎处处可导，限制到[0（2）绝对连续函数满足f取x=f即等号成立。（3）但题目要求“可以严格”，需重新理解：若f仅单调而非绝对连续，则不等式可严格。例如取Cantor函数φ：单调增，φ(0)(此时不等式严格。8.（10分）设E⊆ℝ为可测集且E包含一个开区间。【答案与解析】取K⊆E紧且f(则f连续且f(0)=m(K而对x∈I，f(x)>0推出存在t使(因此I⊆9.（10分）设1<p<∞，f∈h（1）证明h在ℝ上连续；（2）证明h(x)【答案与解析】（1）由Hölder不等式，|对任意→x|由中平移连续性，‖f(·+−x（2）对任意ε>0，取|则当|x|第一项：|x|第二项：|故|h(x)|10.

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