统计分析报告综合实验答题及答案

统计分析报告综合实验答题及答案一、实验背景与目的本次综合实验以“高校图书馆纸质借阅量影响因素”为研究对象，采集某综合性大学2018—2022年共60个月的月度面板数据，变量包括：1.被解释变量Y：月人均纸质图书借阅量（册/人）；2.核心解释变量X1：月平均最高气温（℃）；3.控制变量X2：当月在校本科生人数（千人）；X3：当月新上架图书量（百册）；X4：当月闭馆天数（天）；X5：疫情冲击虚拟变量（2020年2月—2022年12月取1，其余取0）。实验目的：（1）建立多元线性回归模型，量化气温对借阅量的边际效应；（2）检验异方差、序列相关与多重共线性，必要时采用稳健估计；（3）利用逐步回归与信息准则确定最优模型；（4）进行2023年1—6月样本外预测，并计算RMSE、MAPE；（5）回答8道配套综合题，给出完整推导与代码实现（R4.3.0）。二、数据描述与预处理1.缺失值：原始数据无缺失；2.异常值：利用箱型图识别出2019年8月Y=0.43为离群点，经查证为系统升级导致统计口径变化，予以剔除并以线性插值补全；3.标准化：为避免量纲差异，对X2、X3做z-score标准化，记为Z_X2、Z_X3；4.生成季节虚拟变量：D_spring、D_summer、D_autumn，冬季为基准组；5.最终样本容量n=60，变量维度k=9（含常数项）。三、探索性数据分析1.时序图：Y呈显著下降趋势，2020年3月出现断崖式下跌；2.相关矩阵：Y与X1的Pearson系数−0.71，与X4的系数−0.58，与X5的系数−0.82；3.方差膨胀因子VIF：最大值为2.1，小于5，初步判断无严重多重共线性；4.白噪声检验：Ljung-Box统计量Q(12)=31.7，p=0.001，拒绝原假设，存在序列相关。四、模型设定与估计1.全模型（OLS）=估计结果：β̂_1=−0.052（t=−7.4，p<0.001），调整R²=0.87，DW=1.08。2.异方差检验White检验：F=4.91，p=0.003，拒绝同方差假设。采用异方差稳健标准误（HC3）重新估计，β̂_1的稳健t值−6.9，结论不变。3.序列相关补救DW值1.08提示正的一阶自相关。建立AR(1)误差模型：=利用Cochrane-Orcutt两步法得ρ̂=0.46，变换后DW=2.03，BG检验p=0.31，序列相关消除。4.逐步回归与信息准则向后逐步剔除变量，AIC最小化模型保留X1、X4、X5、D_summer、常数项，调整R²=0.85，较全模型仅下降0.02，且所有变量显著（p<0.01）。5.最优模型（稳健AR(1)）=系数解释：控制其他因素后，月平均气温每升高1℃，人均借阅量平均减少0.049册；闭馆1天减少0.031册；疫情冲击导致人均借阅量下降0.28册；夏季较冬季额外下降0.12册。五、预测评估保留2022年7—12月6期做滚动预测，RMSE=0.076，MAPE=5.4%；进一步外推2023年1—6月，实际值取自图书馆后续统计，RMSE=0.082，MAPE=6.1%，显示模型具有良好样本外精度。六、综合实验答题及详解【题型一：单选】1.在White检验中，若辅助回归R²=0.28，样本量60，则统计量nR²的渐近分布为A.t(6) B.F(6,53) C.χ²(6) D.χ²(53)答案：C解析：White检验统计量nR²服从自由度为辅助回归解释变量个数的χ²分布，本题含6个交叉项，故选C。【题型二：多选】2.关于DW检验，下列说法正确的是A.检验原假设为ρ=0 B.要求解释变量严格外生 C.适用于高阶序列相关 D.存在滞后因变量时失效答案：A、B、D解析：DW仅检验一阶自相关，故C错；A、B、D为标准教材结论。【题型三：填空】3.给定Var(ε)=σ²Ω，若Ω为对角矩阵且Ω_{ii}=x_{1i}^2，则GLS估计量β̂_GLS的表达式为______。答案：(解析：直接套用广义最小二乘公式，Ω⁻¹为对角元素1/x_{1i}^2的对角阵。【题型四：判断改错】4.当模型存在多重共线性时，OLS估计量不再是无偏的。（ ）答案：错误。更正：OLS估计量仍无偏，但方差变大，导致t值不显著。【题型五：简答】5.简述为何在气温与借阅量回归中控制“疫情冲击”虚拟变量是必要的。答案：疫情冲击同时影响气温与借阅量：一方面疫情高峰期多发生在冬春季，与气温负相关；另一方面疫情直接限制到馆人数。若不控制X5，气温系数将吸收部分疫情效应，导致向下偏误的绝对值被高估，产生混杂偏差。【题型六：计算】6.给定最优模型残差向量e=(e_1,…,e_{60})’，已知∑e_t^2=0.91，∑e_te_{t-1}=0.21，求ρ̂的数值。解：ρ（精确到三位小数得0.230）【题型七：建模】7.若图书馆决定2023年7月起取消闭馆日（X4=0），且预测该月平均气温30℃、X5=0、非夏季，利用最优模型计算Y的预测值及95%置信区间。已知se(β̂_1)=0.007，se(β̂_0)=0.120，协方差Cov(β̂_0,β̂_1)=−0.0004。解：点预测Y预测方差V标准误se=√0.010841≈0.104，t_{0.025,55}=2.004，区间−解释：预测均值接近零，区间包含零，提示极端高温下借阅量可能触底，政策制定者可结合电子资源推广弥补纸质下降。【题型八：编程综合】8.请写出R代码：对最优模型进行1000次非参数bootstrap，获得β̂_1的百分位置信区间，并比较其与解析法区间的覆盖率。答案：```rlibrary(boot)fit<function(data,indices){d<data[indices,]ar1<arima(dY,orinclude.mean=FALSE)coef(ar1)[2]#返回X1系数}set.seed(42)results<boot(library_data,fit,R=1000)boot.ci(results,type="perc")$percent[4:5]#95%区间```模拟显示bootstrap区间(−0.065,−0.034)，与解析法(−0.063,−0.035)几乎重合；Monte-Carlo重复500次，覆盖率94.6%，接近名义水平95%，表明解析标准误可信。七、扩展分析1.门限效应：以25℃为门限，建立分段回归，发现高温段（>25℃）斜率−0.071，显著大于低温段−0.028，提示高温抑制效应更强；2.交互效应：加入X1×X5交互项，系数−0.018（p=0.08），表明疫情年份气温边际效应略深，但未达5%显著；3.空间异质性：按学院分组建模，理科生借阅量对气温弹性−0.055，文科生−0.042，理科生更敏感，可能与实验课程安排相关；4.政策模拟：若未来三年平均气温上升0.5℃/年，且维持现有闭馆政策，模型预测2026年人均年借阅量将降至0.85册，较2022年再降18%；若同步推行“预约借书免到馆”服务，可抵消60%的下降。八、结论要点（1）气温对高校图书馆纸质借阅量存在显著负向影响，平均效应−0.0