备考2024届高考数学一轮复习分层练习第九章统计与成对数据的统计分析第3讲成对数据的统计分析

第3讲成对数据的统计分析

・砒练知识通关

I.在用经验回归方程研究四组数据的拟合效果时，分别作出下列四个关于四组数据的残差

图，则用线性回归模型拟合效果最佳的是(A)

CD

解析用残差图判断模型的拟合效果时，残差点比较均勺地落在水平的带状区域中，说明

这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合效果越好.故选A.

2.［全国卷I］某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度工(单位：°C)

的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(为，.％)(/=1,

2,…，20)得到如图所示的散点图.

由此散点图，在1()℃至40c之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度

x的回归方程类型的是(D)

A.y=a+〃xB.yj+bx2

Cj=a+be'D.y=a+bliu

解析由散点图可以看出，随着温度工的增加，发芽率y增加到一定程度后，变化率越来

越慢，符合对数型函数的图象特征.

3.［2024江苏徐州模拟］如图，在一组样本数据4(2,2),B(4,

皿7|

3),C(6,4),D(8,7),E(10,6)的散点图中，若去掉。(^10.6

(8,7)，则下列说法正确的为(D)

A.样本相关系数，变小

B.残差平方和变大

C.决定系数R?变小

D.自变量x与因变量），的相关程度变强

解析由散点图分析可知，只有。点偏离直线较远，去掉。点后，x与｝，的线性相关程度

变强，且为正相关，所以样本相关系数/•变大，决定系数R2变大，残差平方和变小，故选

D.

4.［2024青岛市检测］已知某设备的使用年限x（年）与年维护费用），（千元）的对应数据

如下表：

x24568

>-34.56.57.59

由所给数据分析可知：x与），之间具有线性相关关系，且,，关于x的经验回归方程为9=

1.05x4-a,则6=（B）

A.0.75B.0.85C.0.95D.1.05

解析由题意可知元=2+4-5+6+8=5,尸3+4.5+6.5+7.5+9=6］,则6.1=1.05X5+匾所以6

=6.1-1.05X5=0.85,故选B.

5.［多选/2024九江模拟］根据最小二乘法，由一组样本点（即，y,）（其中i=l,2,…，

300）求得的经验回归方程是9=h+篦则下列说法正确的是（BD）

A.至少有一个样本点落在经验回归直线夕=以+4上

B.若所有样本点都在经验回归直线夕=>+6上，则变审:间的相关系数为土1

A

C.对所有的解释变量为（i=l,2,300）,加叶6的值一定与y•有误差

D.若经验回归直线夕=晨+6的斜率片>0,则变量x.与y正相关

解析经脸回归直线必过样本点的中心，但样本点可能都不在经脸回归直线上，故A缙

误；若所有样本点都在经脸回归直线?=欧+6上，则变量间的相关系数为±1,故B正

确；若所有的样本点都在经验回归直线尸晨+6上，贝晟,+a的值与v相等，故C错误;

相关系数「与b符号相同，若经验回归直线夕=或+6的斜率匕>0,则—>0,样本点散布在

从左下角到右上角的区域，则变量x与），正相关，故D正确.故选BD.

6.［多选Z2024贵州统考］某学校高三年级甲、乙两班共1。5人进行了一次数学测试.按照成

绩大于或等于12（）分（满分15（）分）的同学评价为“优秀生”，其他分数的同学评价为

“潜力生”进行整体水平评价，得到下面表（1）所示的列联表.已知在这105人中随机抽

取1人，“优秀生”的概率为1根据表（2）的数据，可断定下列说法正确的是

（BC）

表⑴单位：人

班级成绩合计

优秀生潜力生

甲班10b

乙班C30

合计105

表（2）

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

A.列联表中。的值为30,b的值为35

B.列联表中c的值为20,5的值为45

C.根据列联表中的数据，有95%的把握认为成绩与班级有关

D.根据列联表中的数据，发有95%的把握认为成绩与班级有关

解析因为在这105人中随机抽取1人，“优秀生”的概率为5，所以“优秀生”的人数为

105X^=30,“潜力生”的人数为105—30=75,所以c=30-10=20,。=75—30=45,

故A错B对;

因为公=小；黑黑善）工6」09>3.841,所以有9£%的把握认为成绩与班级有关，故

C对D错.故选BC.

7.［多选Z2024云南师大附中月考］已知变量x,y之间的经验回归方程为少=10.3—0.7x,且

变量x,y的数据如表所示，则下列说法正确的是（BC）

X681012

y6m32

A.变量本与>正相关

B.实数m的值为5

C.该经验回归直线必过点（9,4）

D.相应于（10,3）的残差为0.3

解析由表格数据得，=+8+10+12=9,9=6+m+3+2=3,将点（以山）代入经验

4444

回归方程夕=10.3—0.7不得，^^=10.3-0.7X9,解得〃?=5,所以选项B正确；

土2=4,即样本点的中心为（9,4）,所以选项C正确；

4

当变量X增加时，变量），加应值减少，两个变量负相关，所以选项A错误；

由残差的定义知，观测值成去预测值为残差，由经验回归方程9=10.3—0.7抬令x=10,

得预测值夕=3.3,则相应于（10,3）的残差为3—3.3=—0.3,所以选项D错误.故选BC.

8.［2024海南月考］某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，

具体数据如下表：

单位：人

专业

性别合计

非统计专业统计专业

男131023

女72027

合计203050

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到22=

50\：3誉:*7）2=4.844,因为口2>3.841,所以判定主修统“专业与性别有关系，那么这

Z3XZ/XZUX3U

种判断出错的可能性最大为1％.

附：

a0.100.050.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

解析因为□2>3.841=XQO5,所以依据小概率值Q=0.05的独立性检验，认为主修统计专

业与性别有关，出错的可能性最大为5%.

9.某手机运片阍为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进仃调查，随机抽

取国内、国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，

得到如图所示的等高堆积条形图.根据等高图，依据小概率值a=0.005的独

EKM外

立性检验，能（填“能”或“不能”）认为持乐观态度和国内外差异有RA代人

关.

?n(ad—be),,,,.

附：X(a+b)(c+d)(a+c)g+d)'〃a+Hc+d

a0.010.0050.001

与6.6357.87910.828

解析零假设为Ho：持乐观态度和国内外差异无关.由题填写2X2列联表如下，

单位：名

态度

潜在客户合计

乐观不乐观

国内代表6040100

国外代表4060100

合计100KX)200

根据列联表得口2:端黑爆暗

8>7.879xo.oof»

所以依据小概率值a=0.0D5的独立性检验，我们推断丛不成立，即能认为持乐观态度和

国内外差异有关.

10.［2024武汉部分学校调考］某校为考查学生对紧急避给知识的掌握情况，从全校学生中

选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名.所有学生的测试成

绩(单位：分)都在区间［50,100］内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图.

(1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中小的值；

(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生测试成绩优秀，完成下面的列

联表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有

差异？

单位：人

测试成绩

性别合计

优秀不优秀

男生45

女生

合计

参考公式与数据：/2=n(ad—be)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

用2.7063.8416.635

解析⑴由题意，第一组的频率/组距为总一〃?-0.04—0.025—0.01=0.025一6.

样本平均数的估计值为1CX[(0.025-w)X55+wX65+0.04X75+0.025X85+

0.01X95］=74.5+100%

样本中位数的估计值为70+10x。。，-1『也。1-。。25-03J=76.25.

0.04

所以74.5+IOO/n=76.25,解得机=0.0175.

(2)零假设男生和女生的测试成绩优秀率没有差异.

测试成绩优秀的总人数为200X10X(0.025+0.01)=70.

得到列联表：

单位：人

测试成绩

，性别合计

优秀不优秀

男生4565110

女生256590

合计70130200

?200X(45X6S-25X65)

yz=-------------------------------------=—^3.750.841=x.05.

4110X90X70X1306930

所以根据小概率值a=0.()5的独立性检验，不能推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异.

II.［全国卷II］某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为

调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单

随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据5,3=1，2,…，20),

其中为和K・分别表示第，•个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，

2020202020

2

并计算得Z为=60,Zy/=1200,Z(为一元)2=80,£(yi-y)=9000,£(为一

i=li=li=li=li=l

%)•(y,—y)=800.

(1)求该地区这种野生均物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生

动物数量的平均数乘地块数).

(2)求样本(即，>7)(Z-1,2,…，20)的相关系数(精确到0.01).

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该

地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

n

Z<^|—y)

附：相关系数*•，V2^1.414.

n-2n2

X(Xi-x)Z(yr)

i=l

120

解析(i)由已知得样本平均数5?=；ZM=6O,从而该地区这种野生动物数量的估计值

20i=l

为60X200=12(X)0.

(2)样本(xt,»)(i=l,2,…，20)的相关系数

20

X(Xi-x)(yi-y)

800_2>/2

i=l-0.94.

I20220,80X9000—3

i=li=i

(3)分层随机抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机

抽样.

理由如下：由(2)知，各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于

各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层

随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而

可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

能力练

12.［2024内江模拟］某网络直播平台调研“大学生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有

关“，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问卷调查，得到如下数据（5W〃?W15,

机£N）.

喜欢观看不喜欢观看

男生80-/n20+m

女生50+〃？50—"7

通过计算，有95%以上的把握认为大学生喜欢观看体育比赛直播与性别有关，则在被调查

的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为（C)

附U黑黑…，其中〃—。+"c+H

a0.150.100.050.0100.001

2.0722.7063.8416.63510.828

A.55B.57C.58D.60

解析因为丫2=.(ad-bc)_______200[(80—m)(50-m)-(20+m)(50+m)产_

X(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)100x100x130x70

2

2384],所以(15—机)2243.69,又5W〃?W15,所以15—〃127,解得

〃?W8,故在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58.故选C.

13.［多选Z2O23长沙市适应性考试］自然环境中，大气压就受到各种因素的影响，如温度、

湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压强发生相应的变化，其中以海拔的影响

最为显著.如图是根据一组观测数据得到的海拔6km〜15km的大气压强（单位：kPa）散

点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为%=—4.0戈+68.5,决定系数为厝=

0.99；根据非线性回归模型得到非线性经验回归方程为％=132.9e-0•⑹。决定系数为爆=

0.99,则下列说法正确的是（ACD）

■大气K・g

Sf>7t910II121）14IS修急

A.由散点图可知，大气压强与海拔负相关

B.由方程%=—4.0.1+68.5可知，海拔每升高1km,大气压强必定降低4.0kPa

C.由方程%=—4.0\+68.5可知，样本点（II,22.6）的残差为-1.9

D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程凫=132.9eF」63,的预报效果更好

解析观察题中散点图，可知大气压强与海拔负相关，即A正确；通过经验回归方程％=

-4.0.r+68.5,可知海拔每升高1km,大气压强大约降低4.0kPa,即B错误；当x=11

时，代入方程%=—4.0犬一68.5计算可得预测值%=24.5,则残差为22.6—24.5=—1.9,即

C正确：随着海拔的增加：大气压强越来越小，但不可能为负数，因此，方程为=

132.9e-0i63x的预报效果更好，即D正确.故选ACD.

14.[2024庆阳检测]己知某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：dm2）与水生植物的

株数y（单位：株）的关系可以用模型y=cek（c>0）云拟合，设z=ln»，，x与z的数据如

表格所示：

x3467

z22.54.57

由上表可得x与z的经验回归方程E=12r+*则c=I?.

解析由已知可得，完=3…6+7=5,簿=2+2.5+45+7=4,所以4=1.2X5+a,解得6=2,

44

所以2=12Y—2,由z=lny,得ln），=12t—2,所以），=｛上一2=屋2.4汽则。=e一2

15.[2024云南模拟]某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量），（单位：万辆）

的散点图如下：

80

70

60

50

40

30

20

10

0201820192020202】2022东份

记年份代码为X（x=l,2,3,4,5）.

（I）根据散点图判断，模型①-与模型②），=cH•加，哪一个更适宜作为年销售量），

关于年份代码x的经验回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果，建立y关于x的经验回归方程.

（3）预测2024年该公司新能源汽车销售量.

参考数据：

55

£孙

yZ婷

i=li=li=li=l

34559796572805

参考公式：经验回归直线，=:+云的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=

n_”

I（Xj-x）（yj-y）gxiM-7反歹AA

-------~»a=y-bx.

£（%j—x）xf—nx2

i=il=i

解析（1）由散点图知，模型②更适宜作为年销售量y关于年份代码x的经脸回归方程.

（若线性相关，则可以看出各散点大概排列在一条直线附近）

（2）设r=Ar,

£x?

由已知得£=0'=11,9=34,

S

Z砂i=£2M=2805,£妤=£婷=979,

i=li=li=li=l

5__

MLN：-5ty2805-5x11x342805-1870935

所以d------=---------=--------=—=2.5,

yf2-5t2979-5X112979—605374

i=i*

c=34-2.5X11=6.5,

所以)，关于f的经验回归方程为，=6.5+2.53

即y关于A-的经验回归方程为，=6.5I2.5A2.

(3)2024年对应的年份代码为x=7,(一定要弄清年份代码)

得(=6.5+2.5X72=129,

所以预测2024年该公司新能源汽车销售品为129万辆.

16.[2024浙江名校联考]某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁、抗焦虑的药物都有一个奇

特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺(Dopamine)的分泌，所以又叫“快乐药”.其实科

学、合理、适量•的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪.

定义运动后一天内多巴胺含量超过400Hg是明显有效运动，否则是不明显有效运动.树人中

学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生

与男生的人数之比为1：2,女生中明显有效运动的人数占j男生中明显有效运动的人数

占*

(I)根据所给的数据完成卜表，并依据小概率值。=0.10()的独立性检验，判断明显有效

运动是否与性别有关，并说明理由.

单位：人

性别

运动合计

女生男生

明显有效运动

不明显有效运动

合计

(2)若从树人中学所有学生中抽取II人，用样本的频率估计概率，则II人中不明显有效

运动的人数最有可能是多少？

n(ad—be)

附：x2='其中〃=a+"+c+d.

(.a+b)(c+d)(a+c)(b+d