备战2023年高考数学二轮专题复习专题五　概率与统计第3讲　统计、成对数据的统计分析

第3讲统计、成对数据的统计分析

明确备考方向1

⑥真题体验

1.［样本的数字特征］（2022.全国甲卷,T2）某社区通过公益讲座以普及

社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果随机抽取1（）位社区居民，

让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区

居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（B）

*讲座前•讲座后

12345678910

居民编号

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

解析:对于A,讲座前问卷答题的正确率的中位数是至产=72.5%,所

以A错误;对于B,讲座后问卷答题的正确率分别是

80%,85%,85%,85%,85%,90%,90%,95%/00%,100%,其平均数显然大

于85%,所以B正确;对于C,由题图可知,讲座前问卷答题的正确率波

动较大，讲座后问卷答题的正确率波动较小，所以讲座前问卷答题的正

确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，所以C错误;对

于D,讲座前问卷答邈的正确率的极差是95%-60%=35%,讲座后问卷

答题的正确率的极差是100%-80%=20%,所以讲座前问卷答题的正确

率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差，所以D错误.故选B.

2」频率分布直方图］(2021.全国甲卷,T2)为了解某地农村经济情况、对

该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整

理得到如下频率分布直方图：

,频率

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(C)

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元

之间

解析:对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为

(0.02+0.04)x1=0.06=6%,故选项A正确；

对于B,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为

(0.04+0.02x3)x1=0.1=10%,故选项B正确；

对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0

.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68>6.5万元,故选项C错误；

对于D,该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率为

（0.10+0.14+0.20+0.20）x1=0.64>0.5,故估计该地有一半以上的农户其

家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间,故选项D正确.故选C.

3」回归分析］（2022.全国乙卷,T19）某地经过多年的环境治理,已将荒

山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了

10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积（单位:n?）和材积量（单

位:n?）彳导到如下数据：

样本号i根部横截面积Xi材积量y1

10.040.25

20.060.40

30.040.22

40.080.54

50.080.51

60.050.34

70.050.36

80.070.46

90.070.42

100.060.40

总和0.63.9

101010

并计算得Z蜡二0.038,Z%?=L6158,ZXiyi=0.2474.

i=li=li=l

⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积

量；

⑵求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确

至Uo.oi)；

⑶现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树

木的根部横截面积总和为186nf.已知树木的材积量与其根部横截面

积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计

值.

n

I(Xi-x)(yi-y)_______

附:相关系数,t=1,VT896-1.377.

t(Xi-x)2£(yi-y)

10

Zx

解:⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积石墨"a*0.06,

10

估计该林区这种树木平均一棵的材积量歹=于=蔡=0.39.

1010

⑵E(xi-x)(yi-y)=£Xiyi-10xy=0.0134,

i=li=l

1010

Y(Xi-x)2=Xxf-10x=0.002,

i=li=l

1010.

Z(yi-y)2=Zy^-ioy=0.0948,

所以

1010___________________________________

2

Z(工「幻Z(yry)=V0.002x0.0948=V0.0001x1.896-0.01xl,3

、i=li=l

77=0.01377,

10

所以样本相关系数』々黑岩-97.

1010U.U1377

Z(Xi-x)2z(yi-y)2

《=1i=i

⑶设该林区这种树木总材积量的估计值为Ym)由题意可知该种树

木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以照=心，

0.6186

所以丫二竺锻=i209,即该林区这种树木的总材积量的估计值为1209

V.O

4」独立性检验］(2022.全国甲卷,T17)甲、乙两城之间的长途客车均由

A和B两家公司运营为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调

查了甲、乙两城之间的50()个班次彳导到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

⑴根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的

概率；

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客

车所属公司有关？

附"----n(")2-------

•(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.1000.0500.010

2.7063.8416.635

解：(1)由题意可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为

240_12

240+20-13’

B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为高芸.

N1U+3Uo

500X(240X30-20X210)2

(2)K2==3.205>2.706,

(240+20)X(210+30)X(240+210)X(20+30)

所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所

属公司有关.

《考情定位

统计知识主要考查:抽样方法、样本数字特征、统计图表等.以选

择题、填空题形式命题，难度较小;回归分析与独立性检验常与概率交

汇命题，也是近年的热点，常出现在第19或2()题的位置，以中档题为主.

此类题目重在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、

数据分析等核心素养.

突破热心提升关键能力

热点一回归分析在实际问题中的应用

♦核心必备♦

AAA

1.方程yx+a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据

(xi,yD,(X2,y2),…,(Xn,yn)的经验回归方程，其中a,b是待定参数，经验回归

An_A

X(Xi-x)(yi-y)A

方程的斜率和截距分别为b二口一Q*叵(元历是样本中心点,

Z(阳3)2

1=1

经验回归直线过样本中心点.

2.（1）正相关与负相关就看经验回归直线的斜率，斜率为正则为正相关,

斜率为负则为负相关.

⑵样本相关系数r具有以下性质:r>0表示两个变量正相关,r<0表示两

个变量负相关;k区1,且|r|越接近于1，线性相关程度越强,|r|越接近于0,

线性相关程度越弱.

典例1（2022.四川绵阳三模）随着科技进步，近来年，我国新能源汽车

产业迅速发展.以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我

国新能源乘用车的年销售量数据：

年份201620172018201920202021

年份代

123456

码X

新能源

乘用车

5078126121137352

年销售

Y（万辆）

⑴根据表中数据，求出Y关于x的经验回归方程;（结果保留整数）

⑵若用丫小非模型拟合Y与x的关系，可得回归方程为y=37.7le。*,

经计算该模型和第⑴问中模型的K（R2为决定系数）分别为0.87和

0.71,请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量

的预测值；

⑶你认为⑵中用哪个模型得到的预测值更可靠?请说明理由.

参考数据:设u二Iny,其中Ui=lnyi.

66

I

i=li=l「3.63「5.94「6.27

yUV

(y.-y)(Ui-U)

1444.788415.7037.71380528

参考公式:对于一组具有线性相关关系的数据(Xi,yi)(i=l,2,3,...,n),其经

验回归方程尸bX+Q的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

.1(x^yi-y)A_

b=L^Ln-----,a=y-bx.

i(Xi-x)2

i=i

解：(1)由表中数据得冗」+2+3：+5+6=35,歹二］44,

O

6__6

Z(Xi-君(yi-歹)=841,Z(Xi-X)2=(Xl-X)2+(X2-X)2+(X3-X)2+(X4-X)2+(X5-X)2+(X

i=li=l

6-X)2

=(l-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2=17.5,

人6__

所以b----

z(Xi-x)217.5

i=i

a=y-bx=144-48x3.5=-24,f^lUY关于x的经验回归方程为y=48x-24.

(2)由(1)知,Y关于x的经验回归方程为y=48x.24,

当x=7时,2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值

A

y=48x7-24=312(万辆);

对于回归方程尸37.7他。芈当x=7时,2022年我国新能源乘用车的年

A

销售量的预测值y=37.71e°-33x7=e3,63xe23=e594=380（万辆）.

A

⑶依题意,y=37.71e。^模型和第⑴问中模型的R2（R2为决定系数）分

别为0.87和0.71,

由于决定系数越接近于1,两个变量之间的关系就越强，相应的拟合程

度也越好，

A

所以y=37.7模型得到的预测值更可靠.

♦总结提升*-----------------------

⑴对于非线性回归分析问题,应先进行变量代换，求出代换后的经验

回归直线方程，再求经验回归曲线方程.

（2）成对样本数据之间线性相关的程度，可以利用样本相关系数判断,|r|

越趋近于1,两变量的线性相关程度越强.

热点训练1某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解

年宣传费x（单位:千元）对年销售量Y（单位:t）和年利润z（单位:千元）的

影响，对近8年的年宣传费Xi和年销售量双1=12...,8）数据作了初步处

理彳导到散点图及一些统计量的值.

年销售量八

620

600.♦♦

580-♦♦

560-♦

540.

520

500♦

4801―1—1―1―1—1—1―1—1—1-1―1~-

343638404244464850525456

年宣传费/千元

8

8E(o)i-

i=l

88E(xi-x)-(yi-

2

£(Xi-%)X(3i■石)2i=l

Xy0)

i=li=lto)-(yi-

y)

y)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中(l)i=fx[jjij=u)i.

yvi=l

⑴根据散点图判断*a+bx与y=c+d«哪一个适宜作为年销售量Y关

于年宣传费x的经验回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)

⑵根据⑴的判断结果及表中数据建立Y关于x的经验回归方程；

⑶已知这种产品的年利润z与x,Y的关系为z=0.2Y-x根据⑵的结果

回答下列问题：

①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附:对于一组数据(U1,V]),(U2,V2),…,(Un,Vn),其经验回归方程U=a+/?U的

AZ(Ui-U)(Vi-V)A

斜率和截距的最小二乘估计分别为:夕——丁,境行邛u.

E(Ui-U)2

i=i

解:(1)由散点图知，各点呈非线性递增趋势，所以y=c+d«作为经验回

归方程比较合适.

A3

,L,.£(3厂3)(y厂歹)

(2)由⑻=存厕-------=——=68,

"I(3同1.6

i=i

AAA

由5=6.8,歹二563,得。=歹-弓不=563-68x6.8=100.6,所以y=100.6+68\/£

⑶①当x=49时，年销售量y=100.6+68x•=576.6⑴.止匕时年利润

z=0.2x576.6-49=66.32(千元).

②由题

意,z=0.2x(100.6+68Vx)-x=20.12+13.6V%-(A/%)2=-(V^-6.8)2+66.36,

所以当y二6.8,即x=46.24时，年利润的预报值最大.

热点二独立性检验

♦核心必备♦

n(ad-bc)2

“卡方公式"：口二,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

典例2(2021.山东济南期末)为了研究某种疾病的治愈率，某医院从

过往病例中随机抽取了100名患者，其中一部分患者采用了外科疗法,

另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制

了等高堆积条形图如图.

⑴根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2x2列联表:

疗效

疗法1=1VI

未治愈治愈

外科疗法

化学疗法18

合计100

⑵依据小概率值a=0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治

疗方法有关.

2

附:冷n(ad-bc)(如需计算片,结果精确到().()()1),

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

X2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

治愈率等高堆积条形图

90%

1~1冶命

70%1_1汨感

OU%

f-1去治命

3U%1__1不旧腔

qu%

onoz

ZUzo

1U/b

noz

外科疗法化学疗法

解:(1)由题意及等高堆积条形图可得,2x2列联表如表.

疗效

疗法

未治愈治愈

外科疗法202040

化学疗法421860

合计6238100

⑵零假设为H。:是否治愈与治疗方法无关联.

由列联表中的数据可得,*丹黑黑075>3.841,

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们能推断Ho不成立，即认为是

否治愈与治疗方法有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.

♦总结提升*.......--............

独立性检验的具体做法

(1)根据实际问题的需要确定容许推断、两个随机事件有关系”犯错误

概率的小概率值%然后查表确定临界值.

⑵利用公式，计算弋.

(3)如果冷Xa,就推断，X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过a;

否则，就认为在犯错误的概率不超过a的前提下不能推断“X与Y有关

系;或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.

热点训练2为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调

查问卷的形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调

查.调查数据如下:共95份有效问卷,40名男性中有10名不愿意接种疫

苗,55名女性中有5名不愿意接种疫苗.

⑴根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表根据小概率

值a=0.050的子独立性检验，判断是否有95%的把握认为是否愿意接

种疫苗与性别有关？

态度

性别合计

愿意接种不愿意接种

男

女

合计

⑵从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：

有3份身体原因不能接种;有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种;

有4份担心疫苗的有效性;有6份担心疫苗的安全性.求从这15份问卷

中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下,另一份

是担心疫苗有效性的概率.

附:小二____ma-c)_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.005

Xa3.8416.6357.879

解:⑴补全2x2列联表如表.

态度

性别合计

愿意接种接种

男301()40

女50555

raid-801595

n(ad-bc)295x(30x5-50xl0)2.彳八仆re—

L(9a+b)(c+d)(a+c)(b+d「40X55X80X154408>3,841一。。5。.

根据小概率值a=0.050的片独立性检验，有95%的把握认为是否愿意

接种疫苗与性别有关.

⑵设事件A为“至少有一份担心疫苗安全性二事件B为“另一份担心疫

苗有效性”，

则P(A)=1.学①，则P(AB)二学二色，所以P(B|A)二”竺工寮色.

7

、的535、)Cf535八\।/p(A)||23

热点三概率与统计的综合问题

典例3(2022.山东济南高三期末)某机构为了解市民对交通的满意度,

随机抽取了1()()位市民进行调查，结果如下:回答“满意”的人数占总人

数的一半在回答嗨意，，的人中,，，上班族，，的人数是啡上班族认数的去

在回答“不满意”的人中，啡上班族”占不

⑴请根据以上数据填写下面2x2列联表，并依据小概率值a=0.001的

独立性检验,分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族存

在关联？

满意不满意

上班族

非上班族

合计

⑵此机构欲随机抽取部分市民进一步调查规定抽样的次数不超过

n(nGN)若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束:若随机抽取

的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达

到n时，抽样结束.

①若n=5,写出X5的分布列和数学期望；

②请写出Xn的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明治的

数学期望的实际意义.

附：

丽常乐丽其中产a+b+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：(1)由题意可知,2x2列联表如表,

满意不满意orb

上班族154055

非上班族351045

合计5050100

零假设为H。:市民对交通的满意度与是否上班独立.因为

2_100X(15X10-35X40)2_2500

~25.253>10.828,

'-50x50x55x45-99

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为市民

对交通的满意度与是否上班有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.

⑵①当n=5时,X5的可能取值为123,4,5,由⑴可知市民的满意度和不

满意度均为右

所以P(x5=1)=iP(X5=2)=^P(X5=3)=^P(X5=4)=^P(X5=5)=^

所以X5的分布列为

X512345

11111

P

27

所以E(X5)=lx92x/3x#4x/5xa得

②E(Xn)=lx>2x*+3x#…+(n-1)•奈+n.击=2.嘉,

当n趋向于正无穷大时,E(Xn)趋向于2,此时E(XJ恰好为不满意度的

倒数，

也可以理解为平均每抽取2个人,就会有一个不满意的市民.

♦总结提升*----------------------

解决概率与统计综合问题的一般步骤

热点训练3（2021.重庆渝中区期末）某中学成功地举办了一年一度

的大型学生社团文化节，吸引了众多学生该中学目前共有社团近40

个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生有四百人左右.已知该中

学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6:4,为了解学生参

加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生,统计得

到如图等高堆积条形图.

⑴求该中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；

⑵若抽取了100名学生，完成下列2x2列联表，并依据小概率值a=0.05

的独立性检验，能否认为该中学高一和高二学生的性别与参加学生社

团有关联?请说明理由.

参加社团未参加社团合计

男生

女生

合计

附户…黑鬟…g+b+c+d.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解:(1)设高一和高二的所有学生中任选一人是男生、是女生分别为事

件A,4,

设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件R,则

P(A)=60%,P(不二40%,

P(A)P(B\A)_P(4)P(B|4)_60%X10%_6_3

则P(A|B)=--

P(B)P(/l)P(B|/l)+P(^)P(B|X)60%X10%+40%x20%-6+87

(2)2x2列联表如表,

参加社团未参加社团合计

男生65460

女生83240

合计148610()

零假设为Ho：性别与参加社团独立，即性别与参加社团无关.

根据列联表中的数据，经计算得到

,100X(6X32-8X54)

Y-=--------------------------------R.993V3.841=ao.o5,

N14X86X60X40

依据小概率值-0.05的独立性检验，没有充分的证据推断Ho不成立,

因此可以认为Ho成立，即性别与参加社团无关

专题强化训练(十七)

一、单项选择题

1.（2022•山东莱西高三期末）通过随机询问某中学110名中学生是否爱

好跳绳狷到列联表:

性别

跳绳

男女

爱好402060

不爰好203050

6050110

2

已知冷丽舞篇丽/（虑3828尸。.岫根据小概率值心。.。。1

的片独立性检验，以下结论正确的为（D）

A.爱好跳绳与性别有关

B.爰好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过（）.0（）1

C.爱好跳绳与性别无关

D.爰好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001

n(ad-bc)2110X(40X30-20X20)

解析:『二-7.822<10.828,

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)60x50x60x50

则爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001.故选D.

2.某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费

x（单位:万元）对年销售量Y（单位:千件）的影响.现收集了近5年的年宣

传费x（单位:万元）和年销售量Y（单位:千件）的数据，其数据如表所示，

A八

且Y关于x的经验回归方程为y=bx.8.2,则下列结论错误的是（C）

X4681012

Y1571418

A.x,Y之间呈正相关关系

A

B.b=2.15

C.该经验回归直线一定经过点(8,7)

D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时预测该种产品的年销售

量为3480()件

解析:由表中数据可得了=*(4+6+8+10+12)=8歹=，(1+5+7+14+18)=9,

AA

故经验回归直线一定经过点(8,9),故9=88-8.2，解得b=2.15,故A,B正

确,C错误；

AA

将x=20代入y=2.15x-8.2,解得y=34.8,故当此公司该种产品的年宣传

费为20万元时，预测该种产品的年销售量为3480()件，故D正确.故选

C.

二、多项选择题

3.(2022.江苏扬州高三期末)下列说法中正确的有(ABD)

A.将一组数据中的每个数据都乘以2后,平均数也变为原来的2倍

B.若一组数据的方差越小，则该组数据越稳定

C.由样本数据点(X1,yI),(X2,y2),…,(Xn,yn)所得到的经验回归直线

AAA

y=bx+a至少经过其中的一个点

D.在某项测量中若测量结果1~用1,/)9〉0),则P(日)=0.5

解析:对于A,设数据x1,X2,...,Xn的平均数为元则出jq?

则数据2x1,2x2,...,2xn的平均数为2"2七+...+2%=2（必+小+...+赤）=2匕A

nn

正确;

对于B,由方差的定义可知，方差越小,样本越稳定,B正确；

AAA

对于C,经验回归直线尸bx+Q一定过样本的中心点叵，歹）不一定过样

本点,C错误；

对于D,在某项测量中，若测量结果自〜N（1,o2）9>o）,则P（KI）=0.5,D正

确.故选ABD.

4.（2022.湖南常德高三期末）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每

次出现的点数可能为123,4,5,6）,并分别记录每次出现的点数四人根

据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有

出现点数6的描述是（AD）

A.中位数为3,众数为5

B.中位数为3,极差为3

C.中位数为1,平均数为2

D.平均数为3,方差为2

解析:对于A,由于中位数为3,众数为5,所以这5个数从小到大排列后,

第3个数是3,则第4和5个数为5,所以这5个数中一定没有出现6,

所以A正确；

对于B,由于中位数为3,极差为3,所以这5个数可以是3,3,3,4,6,所以B

错误；

对于C,由于中位数为1，平均数为2,所以这5个数可以是1,1,1,1,6,所

以C错误；

对于D,由平均数为3,方差为2,可得

X|+X2+X3+X4+X5=15W（Xl-3）2+（X2-3）2+（X3-3）2+（X4-3）2+（X5-3）2]=2,若有一

个数为6,取X]=6,则X2+X3+X4+X5=9,（X2・3）2+（X3・3>+（X4・3）2+（X5・3）2=1,所

以依2・3）23,,3-3）20,（乂4・3）2口,依5・3）231,所以X2,X3,X*X5这4个数可以

是4,3,3,3或2,3,3,3,与X2+x3+x4+x5=9矛盾.所以x1，6,所以这5个数一

定没有出现6,所以D正确.故选AD.

5.（2022.湖北江岸高三期末）某电子商务平台每年都会举行“年货节”商

业促销狂欢活动,现在统计了该平台从2013年到2021年共9年“年货

节”期间的销售额（单位亿元）并作出散点图,将销售额Y看成年份序号

x（2013年作为第一年）的函数.运用图表软件，分别选择回归直线和三

次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是（ACD）

A.销售额Y与年份序号x正相关

B.三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和

C.三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果

Dj艮据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节，，期间的销售额约

为2680.54亿元

解析:根据图象可知，散点从左下到右上分布,销售额Y与年份序号x呈

正相关关系,A正确；

由散点图以及直线回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三

次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和,B错

误；

根据三次函数回归曲线的决定系数0.99A0.936,决定系数越大拟合

效果越好，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效

果,C正确；

AA

由三次函数尸0.07x3+29.31XZ33.09X+10.44,当x=10时，尸2680.54亿

元,D正确.故选ACD.

6.(2022.湖北襄阳高三期末)下列说法正确的是(AC)

A.当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层抽样的方法

抽样

B.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率

C.若两个满足线性回归的变量负相关，则其回归直线的斜率为负

D.已知随机变量X服从正态分布N(2,W),P(X<3)=0.9,则P(2<X<3)=0.3

解析:对于A,根据分层抽样的定义可知，当总体是由差异明显的几个部

分组成时，通常采用分层抽样的方法抽样,A正确；

对于B,频率分布直方图中每个小矩形的高是“频率/组距"，即每个小矩

形所代表的对象的频率/组距每个小矩形的面积才是该组的频率,B错

误；

对于C,根据回归方程性质，若两个满足线性回归的变量负相关,则其回

归直线的斜率为负C正确；

对于D,因为P(xv2)=0.5,P(Xv3)=0.9,所以P(2vXv3)=0.9・0.5=0.4,D错误.

故选AC.

三、填空题

7.(2022•山东青岛高三期末)由样本数据(x।,y1),(x2,y2),…,(X7,y7)得到的

A人777

经验回归方程为y=|«+a,已知如下数据:£Xi=19,£yi=35,£沃=:,

7i=li=li=l3

则实数;的值为.

解析:令t=«,则经验回归方程过样本中心点C歹)，

AA

因为EW，歹=35+7=5，所以有短+a=5,即a=4.

答案：4

8.根据某市有关统计公报显示，该市对外贸易近几年持续繁荣,2017年

至2020年每年进口总额x(单位:千亿元)和出口总额Y(单位:千亿元)

之间的一组数据如表：

2017年2018年2019年2020年

X1.82.22.63.0

Y2.02.83.24.0

A

A

若每年的进出口总额x,Y满足线性相关关系y=bx-0.84,则

b=;若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总

额为千亿元.

解析:由题意可得还1.8+2.2+2.6+3.0=2.4,y=-2.0+2.8+3.2+4.0=3

44

AA

因为样本中心满足经验回归方程，可得3=24b-0.84,解得b=1.6,所以

y=1.6x-0.84,

2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x,则5=1.6x984,

解得x=3.65.

答案:1.63.65

四、解答题

9.（2022.江苏通州高三期末）当今时代，国家之间的综合国力的竞争在

很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争.特别是进入人工

智能时代后，谁掌握了核心科学技术,谁就能对竞争对手进行降维打击.

我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良为此，某科

学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进

行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技

术专利.

⑴在研发过程中，对研发时间x（月）和产品的厚度Y（nm）进行统计，其

中1—7月的数据资料如表：

x（月）1234567

Y(nm)99994532302421

现用y=a+4乍为Y关于X的经验回归方程类型，请利用表中数据，求出

X

该经验回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少？

⑵某企业现有3条老旧的该产品的生产线,迫于竞争压力，决定关闭并

出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：

①直接售卖，则每条生产线可卖5万元；

②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造,使其达到生产

领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均

为*若改造成功，则每条生产线可卖20万元;若改造失败，则卖价为0万

元.请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学.并说明理由.

77

参考数据:设z=i,Zi=-,z-0.37,y=5