备战2025年高考教案数学第七章立体几何与空间向量第5讲空间向量及空间位置关系

第5讲空间向量及空间位置关系

教师尊享•命题分析,

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.（1）了解空间直角坐标系，会用空间直空间向量的

该讲知识是

角坐标系刻画点的位置；（2）借助特殊长基本定理

利用空间向

方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间空间向量的

量求解立体

的距离公式.坐标运算

几何问题的

2.了解空间向量的概念.

基础，主要

3.（1）了解空间向量基本定理及其意义，

用来求解平

掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

面的法向量

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表2021新高考

和直线的方

示；（3）掌握空间向量的数量积及其坐标卷HT10;

利用向量法向向量，以

表示；（4）了解空间向量投影的概念以及2021全国卷

证明平行与及利用向量

投影向量的意义.甲T19；2021

垂直问题解决空间位

4.（1）理解直线的方向向量与平面的法向浙汀T6；

置关系的判

量；（2）能用向量语言表述直线与直线、2020天津T17

断问题，考

直线与平面、平面与平面的垂直与平行关

查数学运算

系；（3）能用向量方法证明有关直线、平

素养.

面位置关系的判定定理.

0学生用书P154

1.空间向量的三个定理

共线向量

对空间任意两个向量a,b（#0）,。〃辰布在XGR,使①a=Xb.

定理

若两个向量Q,b②不共线,则向量〃与向量a,b共面二存在唯一的有序

共面向

量定理实数对（x,y），使③m+M.

如果三个向量。，h,。不共面，那么对任意一个空间向量P,存在唯一的有

序实数组（x,y,z），使得〃=④m+*+-,{a,力，c}叫做空间的一

空间向量

基本定理个基底.

注意（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.

（2）基底选定后，空间的所有向量均可由恚底唯一表示.

规律总结

应用共线（面）向量定理证明点共线（面）的方法

匕，I/三点共线明匕/1,“四点共面

丙=人闻笳=x示+）福

对■空间任一点O.O?=OA+i^对空间任一点。."=而+1正1+＞加

对空间任一点。./=、殖+（17）而时空间任一点。./=、漏+）殖+（l-x-y）oii

2.空间向晟的坐标运算

设。二(,。3),6=(历，历，加)，则

(1)a±b=(a\±b\,a2±h2,^±1^)；

(2)Xzz=(Az/i,AZ/2,熊3)(人£R)；

(3)a•力=⑤ah+a2b2+ayby；

(4)a//b^u=Xb(bWO)<=©m=协，。2二人12，、3二昉3(/£R)

(5)aVb^ub=Oug)i+〃2岳+二°;

(6)IaI=yjaa=Jaf+a1+al;

,r\/,、ah。也+。2力2+a3b3

(7)cos<a,b>------=，(i=.

IHWIJ。；+诏+吟「好+g+必

规律总结

空间两点间的距离及中点坐标公式

设点A(X),y\,zi),8(x2，)2，Z2)是空间中两点，则

I222

(1)AB-⑧《(x,-4)+(yi-y2)+(Zi-z?):

(2)线段AB的中点坐标为(宁，丸子，宁).

3.直线的方向向量和平面的法向量

如果表示非零向量〃的有向线段所在直线与直线/平行或重合，则称向

直线的方向向量

量。为直线/的方向向量.

直线/_Ln,取直线/的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.一个

平面的法向量

平面的法向量有无数个，它们是共线向量.

思维拓展

确定平面法向量的方法

(I)直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的法向

量.

(2)待定系数法：建立空间直角坐标系，找出(求出)平面内的两个不共线的向量，如

a-(0,42,43),b=bl,bl,bi),设平面的法向量为〃=(x,y,z),贝《

na=0,

解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量.

(nb=U,

注意〃二(0,0,0)不能作为法向量.

-------------------------------(教师尊拿•备考教案)-------------------------------

超方法技巧

向量的叉乘QX力运算得出的是与明力垂直的向量，所以可以利用叉乘计算平面的法向

量，运算法则如下：

i,j,人分别表示x,y,z轴正方向的单位向量，a-(xi,y\,zi),b=(也，”，z?),则

ijk

aXb=xxyxz[=-5^1)i-(x}z2-x2zi)j+Cx]y2-x2y\)k=(y\z2-yiz\,

小yzZ2

-x\z2+x2zitxiy2-x2yi)•

4.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线八，/2的方向向量分别为〃1〃“20h二入〃2(入£R,入W0)

11\,“2./1I/22ch=0

直线/的方向向量为〃，平面/〃an_Lm<=©inn=0

a的法向量为加/1an〃mun=Q〃(入£R,1WO)

△学生用书P156

命题点1空间向量的基本定理

例1（1）已知空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,且有丽=xOA+yOB+zOC

（x,），，z£R），贝！Jx=2,），=-3,z=2是P,A,8,C四点共面的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析由题可知，要使P,A,B,C四点共面，则需x+），+z=1.当x=2,>*=・3,z=2时

满足条件，所以x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的充分条件；反之，当四点

共面时，只要x+y+z=1即可，不一定要取x=2,y=-3,z=2,所以x=2,y=-3,z

二2不是匕4,B,C四点共面的必要条件.故x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共

面的充分不必要条件.

（2）在平行六面体A8CD-A阳G。中，M为4G与当小的交点，若而二a,而=b,

AA^=e,则下列向量中与两相等的向量是（B）

A.-a+-b+cB.--a+-b+c

2222

C.--a--b+cD.-a--b+c

2222

解析如图，在平行六面体ABC。-Ai31Goi中，M为AiG与的交

点，故初二：++故丽二雨+京+用二

-+AAi++|z>=-«+c++c,故选B.

方法技巧

1.证明空间四点共面的方法

（1）利用共线向量定理；（2）利用共面向量定理.

2.空间基底的要求是不共面的三个向量.

训练1［多选］如图，在四面体PA8C中，以下说法正确的有（ABC）

A.若说二1近+：万，则近二3前

B.若Q为△回€■的重心，则而=］可+］而+1近

C.若可瓦=0,PCAB=0,则而=0

D.若四面体P/WC各棱长都为2,M,N分别为PA,4C的中点，则I而I=1

解析对于A,*：AD=^AC+lAB,：,3AD=AC+2A'Bf-2AB=AC-ADf：.2BD

=DC,则3丽二前+觉二正，即3前二近，故A正确；

对于B,：Q为△A3C的重心，则口？+诙+玩=0,A3PQ+QA+QB+QC=3PQt

:.(PQ+QA)+(PQ+QB)+(PQ+QC)=3PQ,则可+而+卮=3所，即所二

河+浮+方,故B正确:

对于C,若为反=0,PCXB=O,则同尻+正刘=0,：.PABC+PC^CAC+CB)=

0,APABC+PCAC+PCCB=0,即可•前+正J?-正尻=0,:.(PA-PC)-BC+

~PCAC=0,：.CABC+PCAC=0,贝•方+正元=0,・••元•(PC+S)=0,即

Z?•丽二0,故C正确：

对于D,连接PN,•••丽二丽-丽二：(PB+PC)福/CPB+PC-PA),

/.IM/VI=1IPB+PC-PAIIVA-PB-PCI,

又IPA-PB-PCI2=对2+而2+近2-2两.丽-2成同+2无.丽=2?+22+22-

2X2X2X；-2X2X2X^+2X2X2xg=8,：,\'MN\=V2,古攵D4皆，吴.古攵选ABC.

命题点2空间向量的坐标运算

例2(1)若向量a=(l,l,x),>=(1,2,1),c=(1,1,1),且(，-，)•

(2力)=-2,则,[2.

解析c•。二(0,0,1-A),(c・。)•(2b)-(0,0,1-A)-2(1,2,1)=2(1-

x)=-2,解得x=2.

(2)如图，已知直三棱柱44c-A&G中，CA=C3=1,ZI3CA=90。，棱

,N是4人的中点，贝11I前I=代，cc*〈初，函*〉=_

730

解析如图，以。为原点，CA,CB,鬲的方向分别为X,>>,Z轴正方向建立空间直角坐

标系Cxyz.依题意得B(0,1,0),N(1,0,1).

・,・I丽I=、(1-0)2+(0-1)\(1-0)2=V3..vk\[/

依题意得4(1,0,2),C(0,0,0),Bi(0,1,2).

：,BA1=(1,-1,2),(?^=(0,1,2),

・,.西•西二3,I西I二乃，I恒I二遍.

西•西_屈

cos<BAlfCBX>-

I西*1I西I101

方法技巧

空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向量的类

比推广.

训练2(1)［多选］已知空间向量(2,-2,1)"=(3,0,4),则下列说法正确

的是(BC)

A.向量0=(-8,5,6)与明力垂直

B.向量d=(1,-4,-2)与明。共面

C.苔。与力分别是异面直线人与上的方向向量，则4与”所成的角的余弦值为:

D.向量。在向量力上的投影向量为(6,0,8)

解析对于A选项，ac=-16-I0+6W0,bc=-24+24=0,故c与a不垂直，A错;

对于B选项，设d=〃以+"儿则，〃(2,-2,1)+〃(3,0,4)=(1,-4,-2),

2m+3n=1zf

\m=2,

-2m=-4,解得｛即2。-5二乩B对；

卜二-1,

(m+4n=-2,

对于C选项，因为cos<a,b>-—————=^=1,

|a|-|b|3X53

所以异面直线/l与，2所成为角的余弦值为I，C对；

对于D选项，向量。在向量力上的投影向量IaIcos<“，Z>>—=3X-X-(3,0,4)

|b|35

=媪0,,D错.

故选BC.

(2)已知e\,e2是空间单位向量,》.若空间向量。满足力幻=2,bei-1,且对于任

意x,y£R,I力-(xei+)9)I2I5-(x()et+yoei)I=1(x(),yo^R),则xo=_

J_,yo=2,\b\=2V2.

解析由题意可令力=X(£+.V0C2+C3,其中II=1,C3±ej,/=1,2.

+也\x=1,

X2=2,

由=2得xo+2=2,由b-€2=:得乌+1yo=：,由，解得|

222，2XO5I

ty+y0=3/(y°=Q2,

则b=e\+2e：+e3,/.\b\二J(e1+2e2+e3)=2企.

命题点3利用向量法证明平行与垂直问题

例3[2021浙江高考]如图，已知正方体A8C。-A^B^C^D^,M,N分别

是4。，。4的中点，则(A)

A.直线AiD与直线Oi8垂直,直线MN〃平面A8C。

B.直线Ai。与直线。出平行，直线MN_L平面BDDB

C.直线A。与直线。归相交，直线MN〃平面4BC。

D.直线Ai。与直线回8异面,直线MN_L平面BDDiBi

解析解法一以点。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

DA,DC,西的方向分别为x轴、)，轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设人4=2,4J4

(2,0,2),D(0,0,0),D\(0,0,2),B(2,2,0),所以M(1,0,1),N

(1,1,1),所以初二(-2,0,-2),用=(2,2,-2),(0,1,0),

所以硕•颂二-4+0+4=0,所以AQ_LDi8.又由题图易知直线4。与BDi是异面直

线，所以40与异面且垂直，故B,C不正确.因为平而ABCO的一个法向量为〃二

(0,0,1),所以而W•〃=0,所以MN〃平面A8CD,故A正确.设直线MN与平面

BDDiBi所成的角为仇因为平面的一个法向量为。=(-1,1,0),所以sinO

=Icos<M^V,a>I二"Na।二二二直,所以直线MN与平面8OQ18]不垂直，故D

|MJV|­|a|v22

不正确.故选A.

解法二连接A。1，则易蹲点M在A"上，且4O]_L4|D.因为A8_L平面AAIQI。，所以

ABYAiD,又A8GAO|=A,所以A|O_L平面AB。，所以AQ与BQ异面且垂直，故B,

C不正确.在△ABDi中，由中位线定理可得MN〃AB,又MM£平而A8CD,4BU平面

ABCD,所以MN〃平面ABC。，故A正确.易知直线A8与平面B8Q1。成45°角，所以MN

与平面不垂直，故D不正确.故选A.

方法技巧

1.利用空间向量证明平行问题的方法

线线平行证明两条直线的方向向量共线.

(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

线面平行(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.

_(1)证明两个平面的法向量平行；

面面平行

(2)转化为线线平行、线面平行问题.

2.利用空间向量证明垂直问题的方法

线线垂直证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零.

—(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共浅；

幺戋面垂直

(2)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直.

(1)其中一个平面与另一个平面的法向量平行；

面面垂直

(2)两个平面的法向量垂直.

注意用向量法证明平行与垂直问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，需要说

明一条直线在平面内，另一条直线在平面外.

训练3如图,在矩形ABCD中，/W=28C,P,。分别为线段/W,CD

的中点，平面4BCD

求证：(1)AQ〃平面CEP；

(2)平面4EQ1平面DEP.

解析(1)如图，连接PQ,因为四边形A8CO为矩形，且P,。分别

为线段AB,C。的中点，«']PQLAB.

易知PA,PQ,PE两两垂直，以尸为坐标原点，分别以PA,PQ,PE

所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=2,PE=a,则P(0,0,0),4(1,0,0),0(0,1,0),E(0,0,«),C

(-1,1,0),0(1,1,0)

所以彳0二(-1,1,0),PC=(-1,1,0),所以40〃正，FpAQ//PC.(证明平面外

直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行)

又AQC平面CEP,PCU平面CEP,(注意说明前提条件)

所以AQ〃平面CEP.

(2)由(1)知丽:(1,1,0),PE=(0,0,a),

因为而•丽二(-1,1,0)•(I,1,0)=-I+1=0,所以而_L而，即AQ_LPO.

因为而•丽二（-1,1,0）.（0,0,a）=0,所以而，而，即AQ_LP£（证明直线方向

向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直）

又PDCPE=P,PE,PZ）二平面OEP,所以AQJ_平面DEP,

又AQU平面AEQ,（注意说明前提条件）

所以平面AEQ1.平面DEP.

（教师尊享•备课题组:

1.［命题点1Z2024北京市陈经纶中学模拟］在正方体ABC。-4囱GG

中，点E为上底面4G的中心，若荏=国+工而+.y而,则x=_

L产U-.

解析如图，在正方体43co-Ai^iGQi中，因为点E为上底面AG的中心，所以砧二：

（福+硒*）=|（而+而）故荏;

河+研二旃+；而+；而，

因为荏二标+4•布+.yAD,

所以x=y=:.

了2

2.［命题点1,2］已知向量。=（2,-1,3）"=（-1,4,-2）,c=（7,5,入），若

。，力，c三向量共面，则实数入二医.

解析因为a,b,c共面，所以设a=xb+yc,故（2,-1,3）=x（-1,4,-2）+

-x+7y=2,

4%+5y=-1,解得人二章

-2x+Ay=3,

3.［命题点3］如图I,在四面体A-8c。中,4Q_L平面BCD,BQCD,

AD=2,BD=2V2,“是人。的中点，。是BM的中点，点Q在线段AC

上，且4Q=3QC.求证：尸Q〃平面BCD.

解析如图，以。为原点，而,方的方向分别为x轴、），轴正方向，过点C作底面BCD

的垂线为z轴，建立空

间直角坐标系，则4O〃z轴.

设CD=a,因为P为BM的中点、,AQ=3QC,

所以。(a,0,0),A(a,0,2),M(a,0,I),B(0,^8-a2,0),P(p

(8-a21n1---，n.8-a2

D，Q(%°,P，所以PQ=(・%o).

又平面BC7)的一个法向量(0,0,I),

所以而•〃=(),

又PQt平面BCD,所以PQ〃平面BCD.

(--------------------，练习帮;练透好题精准分层---------------------------

。学生用书练习帮P339

公基础练知识通关

I.以下各选项中的三个向量，不能构成空间基底的是(A)

A.a=(1,0,0),/>=(0,2,0),c=(i・企，0)

B.a=(1,0,0)二(0,1,0),c=(0,0,2)

C.a=(1,0,I)，)=(0,1,I),c=(2,I,2)

D.a=(1,1,1)，)=(0,1,0),c=(l,0,2)

解析若空间三个向量a,h,。能构成空间的一个基底，则向量明b,c不共面，对于选

项A,因为〃二(1,0,0),b=(0,2,0),c=(1.-V2,0),则。二)-彳，即

向量%b,c共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底.选项B,C,D中的三个向

量均不共面，即都能构成空间基底.

2.已知直线/i的一个方向向量a=(2,4,x),直线上的一个方向向量b=(2,y,2),

若lai=6,且/I_L，2,贝Jx+卜的值是(A)

A.-3或1B.3或-1

C.-3D.1

解析I«I=J22+42+x2=6,/.x=±4.V/i±/2,ab=2X2+4y+2.x=

0,/.y=・1-3工・••当工=4时，y=-3:当-4时，y=\.^x+y=-3或x+y=1.

3.已知a=（1,2,-y）,b=（x,1,2），且（a+2b）〃（2a-5），则（B）

A.x=,y=1B.x=1,y=-4

«54

C.x=2,y=D.x=1,y=-1

解析由题意知，a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).V(a+

2b)//(2«-b),，存在实数入，使a+26=入(2a-b},

,C4

2x+1=A(2-x),p,

工”4=32,解得{%,

4-y=A(-2y-2),［y=-4.

4.［多选A024广东佛山一中校考］下列关于空间向量的命题中，正确的有(BD)

A.直线/的一个方向向量是〃=(0,3,0),平面a的一个法向量是u=(0,-5,0),

则/〃a

B.若a,b,c可构成空间的一个基底，则向量a+b,b+c,c+a也可构成空间的一个基底

C.若非零向量。，b,c满足aJ■力,blc,则有a//c

D.若瓦f,OB,方可构成空间的T基底，且前二；+；赤+；沆，则A,3,C,D四

JJ

点共面

解析对于A,直线/的一个方向向量为a=(0,3,0;,平面a的一个法向量是〃=

(0,-5,0),此时。=-、，所以/_La,故A错误；

对于B,因为％b,c可构成空间的一个基底，所以对亍空间中的任意一个向量机，存在

唯一的有序实数组(x,y,z),使得机=.ra+)力+zc二土匕」(a+b)+y+zx.(力+c)

+"；，'(a+c),由空间向量的基本定理可知，向量a+力，b+c,c+a也可构成空间的

一个基底，故B正确；

对于C,若非零向量*b,c满足8_Lc,则。与c关系不定，有可能平行，故C错

*a

沃：

对于D,若以，OB,灵可构成空间的一个基底，且炭二二科+三赤沅，-+-+-=

333333

1,易知A,B,C,。四点共而，故D正确.故选BD.

5.［2024浙江台州模拟］如图,三棱锥尸-ABC中，P4_L平面ABC,k

ABIBC,且AB=8C=2,AP=a若。是棱PC上的点，满足PD=^PC,/\\

且4/)_LPB,则a=

解析因为PA_L平面ABC,AB,BCU平面A8C,所以E4_LAB,PAIBC,又A8_L6C,

故PA,AB,8c两两垂直，以A为坐标原点，AB,AP所在直线分别为4

y轴，z轴，平行于BC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标\\

系，故A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,-

〃)，因为夕O=：PC,所以£>豆)，因为AO_LP8,所以

而•丽二信-«)•(0,2,-a)=：-,2=0,解得a=V5.

能力练重难通关

6.［2024辽宁省部分名校联考］已知正方体48CD-Ai8G。的棱长为2,尸是空间内的动

点，且I而+西I=273,则丽方的最大值为(B)

A.-8B.-4+2^C］D.1

解析如图，连接8。1,取8。的中点M,连接PM,则丽+珂二

2PM,贝“I~PB±PD1I=I2PMI=2A/3,即I丽I二乃，故动点P

的轨迹为以M为球心，遥为半径的球.由正方体AliCD-AXB\C\D\的棱

长为2,可知正方体A4CD-AIBIGQI外接球的半径为百，故动点。的轨迹为正方体

ABCD-49CD|的外接球.

取的中点N,连接PN,MN,则存•而二-(而+而？)•CPN+NB)=-(P/V+

AM)•CPN-AM)-NA2-~PN2;1-'PN2.

____,2

由题可知，I而I=V2,则8-V2<I~PNI5-2瓜W|~PN|W5+2后，

则-4-2V6<l-PN2^-4+2V6.

所以而•丽的最大值为-4+2n，故选B.

7.［多选Z2024浙江联考］如图，在正方体48C。-486切中，A4=2,

点M.N分别在棱AB和BB\上运动(不含端点)，若D\M，MN,则下列出/沙

命题正确的是(AD)"

A.MML4M

B.MN_L平面DiMC

C.线段用V长度的最大值为1

D.三棱锥。|-AiGM体积不变

解析如图，以。为坐标原点，。4DC,所在直线分别为x轴，y

轴，z轴，建立空间直角坐标系，则Ai(2,0,2),Di(0,0,2),

设M(2,a,0),N(2,2,b),a,be(0,2),则而二(2,

a,-2),MN=(0,2-a,b),又。所以丽•丽=〃(2

-a)-2b=0,得b=°；0'.

对于A,A^M=(0,a,-2),所以而方•丽二a(2-a)-2Z>=0,故A|仞J_MN,故A

正确：

对于B,C(0,2,0),WC=(-2,2-tz,0),~MN~MC=(2-a)VO,所以MN与

MC不垂直，则MN不垂直于平面QiMC,故B错误：

a(2a)2

对于C,B(2,2,0),IBNI=h=^=(«-1)+1,(0,2),所以当

。二1时，I8NI取得最大值3故C错误；

对于D,V=V=^X^,CX^I=1X；X2X2X2=^

AL1Du1故D正确.故选

Dt-AtCtMM-A^CtDi3iii323’

AD.

8.［多选Z2024广东清远模拟］如图，正方体的棱长为

2,点0为底面ABC。的中心，点P为侧面BBiGC内(不含边界)的

动点，则(AC)

\.D\OVAC

B.存在点P,使得。0〃叫尸

C.三棱锥A-QOP的体积为］

D若DiOlPO,则GP的最小值为g

解析以点。为坐标原点，DAtDC,QQi所在直线分别为x轴，y

轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,

2,0),。(0,0,0),Di(0,0,2),B,(2,2,2),C)(0,2,

2),O(1,I,0),设点、P(x,2,z),其中0<x<2,0<z<2.

对于A选项，AC=(-2.2,0),D^O=(I,I,-2),则万•帝二-2+2=0,所以

D\O±ACf故A正确;

对于B选项，瓦万二(x-2,0,z-2),而二(I,1,-2),若8产〃。|O,则一二?

=—,解得x=z=2,不符合题意，所以不存在点尸，使得8/〃。。故B错误；

-2

对于C选项，S4D5=；X22=2,点尸到平面AD。的距离为2,所以V=V=

12A-DD^PP-ADD1

1X2X2=*故C正确；

对于D选项，OP=(x-1,I,z),若。iO_LPO,则布•丽=x-1+I-2z=x-2z=0,

可得x=2z,

0<z<2,

可得0<z<I,

(0<2z<2,

所以CiP=Jx2+(2-2)+(z-2)=Jsz2-4z4-4=J5(z-1当且

仅当z=[时取等号，故D错误.故选AC.

O

9.如图，已知平行六面体ABC。-人由4|。|中，底面/WC。是边长为I

的正方形，AAi=2,ZAiAB=NAiAD=1200.

(I)求线段AG的长；

(2)求异面直线4G与4。所成角的余弦值；

(3)求证：AAilBD.

解析(1)设力B=a,AD=b,AA1=c,这三个向量不共面，｛«,b,c｝构成空间的一个

基底，则IaI=IbI=1,IcI=2,ab=0,ca=c=2X1Xcos1200=-1.因为4G=

=a+b+c,所以I4cli=\a+b+c\=J(a+b+c)

AC+'CC^=AB+AD+~AA[

222

|a|+|b|+|c|4-2(ab+bc+ca)l2+l2+22+2(0-1-1)=\2.所

以线段AG的长为无.

(2)设异面直线AG与4。所成的角为0,

I科汨方I

则cos0=Icos<力G，A}D>I=

I狗I布I

因为彳B=a+5+c,AXD=b-C,

所以ACA。=(a+b+c)­(b-c)=ab-ac+b2-c2=0+\+12-22=-2,

I巾I=J(b-c)'=J||2-2bc+|c|2=ll2-2x(-1)+22=V7,所以

QI-2|V14

COS0=Fy/2_Xy/k7=7.

故异面直线AG与Al。所成角的余弦值为理.

(3)因为砧=c,~BD=b-a,

E斤^IA