2026年数学概率与统计试题

2026年数学概率与统计试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.从一副标准的52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是（）A.1/4B.1/2C.1/13D.12/522.如果一个样本的均值是20，标准差是5，那么大约68%的数据落在哪个区间内？（）A.[15,25]B.[10,30]C.[20,25]D.[0,20]3.设事件A和事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)等于（）A.0.1B.0.7C.0.8D.0.94.一个盒子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，取到两个红球的概率是（）A.5/8B.3/8C.10/56D.5/565.已知一组数据的极差是10，中位数是20，则这组数据可能的范围是（）A.[10,30]B.[15,25]C.[5,25]D.[10,40]6.在一次调查中，随机抽取了100名学生，发现其中有60名学生喜欢数学，则样本比例的抽样标准误（假设总体比例未知）约为（）A.0.05B.0.1C.0.15D.0.27.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，若μ=0，σ=1，则P(X>1)等于（）A.0.1587B.0.8413C.0.5D.0.34138.一个班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，随机选出3名学生，至少有一名女生的概率是（）A.1/3B.2/3C.3/5D.4/59.已知一组数据的方差是16，则其标准差是（）A.4B.8C.16D.3210.如果一个随机事件发生的概率是0.01，那么它在100次独立试验中至少发生一次的概率是（）A.0.01B.0.1C.0.99D.0.9990二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若P(A)=0.6，P(B|A)=0.7，则P(A∩B)=_________。12.一个样本的均值是15，样本量是25，样本方差是9，则样本标准误是_________。13.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，若n=10，p=0.5，则P(X=5)的值是_________。14.已知一组数据的中位数是25，众数是30，则这组数据的偏态系数可能是_________（正或负）。15.若随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,4)，Y~N(2,9)，则E(X+Y)和Var(X+Y)分别是_________和_________。16.从一副牌中随机抽取一张，抽到黑桃的概率是_________。17.设事件A的概率是0.4，事件B的概率是0.5，且P(A∪B)=0.7，则P(A|B)是_________。18.一个班级有40名学生，其中20%的学生参加了数学竞赛，随机选出5名学生，至少有2名学生参加竞赛的概率是_________。19.若一组数据的均值是20，标准差是4，则z-score为2的数据对应的原始值是_________。20.设随机变量X服从泊松分布Poisson(λ)，若P(X=1)=0.2，则λ的值是_________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若事件A和事件B互斥，则P(A|B)=0。（）22.样本方差是总体方差的无偏估计量。（）23.正态分布的均值、中位数和众数相等。（）24.抽样标准误随着样本量的增大而增大。（）25.若随机变量X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。（）26.极差是衡量数据离散程度的唯一指标。（）27.样本比例的抽样分布总是正态分布。（）28.若P(A)=0.5，P(B)=0.5，则P(A∩B)=0.25。（）29.泊松分布适用于描述单位时间内发生的事件数。（）30.中位数不受极端值的影响。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）31.简述互斥事件与独立事件的区别。32.解释抽样误差的概念及其影响因素。33.描述正态分布的性质及其在实际问题中的应用。34.说明样本均值和样本方差的计算方法及其意义。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）35.某工厂生产的产品合格率为90%，现随机抽取100件产品，求至少有95件合格品的概率。36.一组学生的身高数据如下：170,165,180,175,160,170,185,160,170,165。计算这组数据的中位数、均值和标准差。37.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(3,4)，求P(X<Y)的概率。38.某学校进行了一次考试，学生的成绩服从正态分布N(μ,σ²)，已知90%的学生成绩低于80分，95%的学生成绩低于85分，求μ和σ的值。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：红桃有13张，总牌数为52张，概率为13/52=1/4。2.A解析：根据正态分布的68-95-99.7法则，约68%的数据落在均值±1个标准差范围内，即20±5=[15,25]。3.B解析：互斥事件概率相加，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7。4.C解析：从8个球中取2个红球的概率为C(5,2)/C(8,2)=10/56。5.A解析：极差为最大值-最小值=10，中位数为20，可能的范围是[10,30]。6.B解析：样本比例的标准误为√[p(1-p)/n]=√[0.6×0.4/100]≈0.1。7.A解析：P(X>1)=1-P(X≤1)=1-0.8413=0.1587（标准正态分布表）。8.D解析：至少有一名女生的概率=1-全为男生的概率=1-C(20,3)/C(30,3)=1-1140/4060≈0.4。9.A解析：标准差是方差的平方根，√16=4。10.D解析：至少发生一次的概率=1-P(0次)=(1-0.01)^100≈0.9048。二、填空题11.0.42解析：P(A∩B)=P(B|A)P(A)=0.7×0.6=0.42。12.1解析：样本标准误=σ/√n=√9/√25=3/5=1。13.253.28解析：P(X=5)=C(10,5)×0.5^5×0.5^5=253.28。14.正解析：众数大于中位数，数据右偏。15.3,13解析：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+2=3；Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+9=13。16.1/4解析：黑桃有13张，概率为13/52=1/4。17.0.8解析：P(A|B)=P(A∪B)-P(B)/P(B)=0.7-0.5/0.5=0.8。18.0.687解析：P(至少2人)=1-P(0人)-P(1人)=1-C(20,0)/C(40,5)-C(20,1)/C(40,5)≈0.687。19.28解析：z=(x-μ)/σ，x=μ+zσ=20+2×4=28。20.0.2解析：P(X=1)=λ^1e^(-λ)/1!=0.2，解得λ=0.2。三、判断题21.√解析：互斥事件P(A∩B)=0，故P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0。22.√解析：样本方差是总体方差的无偏估计量。23.√解析：正态分布是对称的，均值、中位数和众数相等。24.×解析：抽样标准误随样本量增大而减小。25.√解析：独立变量乘积的期望等于期望的乘积。26.×解析：应结合方差、极差等综合判断。27.×解析：样本量较小时不满足正态性。28.×解析：P(A∩B)=P(A)P(B)仅当独立时成立。29.√解析：泊松分布描述单位时间事件数。30.√解析：中位数不受极端值影响。四、简答题31.互斥事件指A发生则B不发生，独立事件指A发生不影响B发生的概率。32.抽样误差是样本统计量与总体参数的偏差，受样本量、总体方差等因素影响。33.正态分布是对称的，均值、中位数、众数相等，适用于描述自然和社会现象。34.均值是所有数据之和除以数量，方差是