计算机图形学 第2版 课件8-几何变换

1图形几何变换内容大纲1窗口视图变换2二维图形几何变换3三维图形几何变换

用户域程序员用来定义草图的整个自然空间,它是一个实数域，理论上用户域是连续无限的。

窗口区

用户在用户域范围内指定的任一区域为窗口区，它是用户域的子域，一般为矩形域。1窗口视图变换（1）用户域和视图区窗口区视图区（2）屏幕域和视图区屏幕域：设备输出图形的最大区域,它是有限的整数域。如：显示器最多有16001200个像素就是屏幕域。视图区：任何小于等于屏幕域的区域。一般为矩形。一个屏幕上可定义多个视图。1窗口视图变换xW-xWLxv-xVL

────＝────xWR-xWLxVR-xVLyW-yWLyV-yVL────＝────yWR-yWLyVR-yVL

xW-xWLxv=xVL+─────(xVR-xVL)xWR-xWL

yW-yWLyV=yVL+─────(yVR-yVL)yWR-yWL（3）窗口与视图之间的坐标转换(XVL,YVL)(XVR,YVR)1窗口视图变换【例】已知用户域的窗口区有一条直线段A，求出该直线段在屏幕域中视图区的坐标位置。（3）窗口与视图之间的坐标转换1窗口视图变换（3）窗口与视图之间的坐标转换1窗口视图变换x2=50+(30-10)/(35-10)(250-50)=210y1=200+(25-10)/(30-10)(40-200)=80y2=200+(20-10)/(30-10)(40-200)=120(130,80)(210,120)

xW-xWLx=xVL+─────(xVR-xVL)xWR-xWL

x1=50+(20-10)/(35-10)(250-50)=130

yW-yWLyV=yVL+─────(yVR-yVL)yWR-yWL为了描述简单，直接给出视图区的图形坐标50,200250,402二维图形几何变换图形的几何变换是对点的变换，对原来图形中的关键点坐标通过变换生成新的点坐标，再根据新的点坐标生成图形。

齐次坐标：用n+1维向量表示一个n维向量。

齐次坐标不唯一,h=1是规范化齐次坐标。P(x,y)齐次坐标P(hx,hy,h)(5,8)的齐次坐标为：(5,8,1)(10,16,2)(15,24,3)…（1）平移变换x´=x+Txy´=y+Ty100010TxTy1齐次坐标矩阵形式：

[x´,y´1]=[x,y,1] 1001TxTy矩阵形式表示：[x´,y´]=[x,y,1] (不是方阵)T22二维图形几何变换yxP(x,y)P’(x’,y’)TxTyyx2二维图形几何变换（1）平移变换x’=x.Sx

y’=y.Sy

P(x,y)

P’(x’,y’)Sx000Sy00

0

1用齐次坐标和矩阵表示：[x´,y´,1´]=[x,y,1]S22二维图形几何变换（2）比例变换 x’=ax+by y’=dx+ey

2二维图形几何变换（3）对称变换a

d0be

00

0

1用齐次坐标和矩阵表示：[x´,y´,1´]=[x,y,1]D2 x’=ax+by y’=dx+ey

x’=-xy’=y

x’=xy’=-yx’=-xy’=-y2二维图形几何变换（3）对称变换x’=yy’=x

x´=xcosθ-ysinθ

y´=xsinθ+ycosθyxP(x,y)θP’(x’,y’)cosθsinθ0-sinθcosθ0001用齐次坐标和矩阵表示：[x´,y´,1´]=[x,y,1]R22二维图形几何变换（4）旋转变换

x’=x+by

y’=dx+y

错切变换矩阵：

1d0b10001K22二维图形几何变换（5）错切变换

一般的图形变换大多是复合变换，即由多个基本几何变换组合而成，复合变换矩阵实际上是一系列基本几何变换矩阵的乘积结果。2二维图形几何变换（6）复合变换对图形比例变换后再平移变换[x’,y’,1]=[x,y,1]S2[x”,y”,1]=[x’,y’,1]T2=[x,y,1]S2T2=[x,y,1]Myx(x,y)yx(x’,y’)yx(x”,y”)TxTyM为复合变换矩阵2二维图形几何变换（6）复合变换

图形绕平面上一点(x0,y0)旋转变换θ角度

(x0,y0)yxR2(θ)cosθ

sinθ0-sinθ

cosθ0001100010-x0–y01100010x0y01x’=(x-x0)cos(d)-(y-y0)sin(d)+x0y’=(x-x0)sin(d)+(y-y0)cos(d)+y02二维图形几何变换（6）复合变换M=T2(-x0,-y0)T2(x0,y0)2二维图形几何变换【应用案例】简易自行车模拟车架的绘制轮子的绘制齿轮与链条脚蹬子方向把手鞍形座（2）自行车的水平移动模拟

轮辐条的旋转，其他部件形状不变，但需要水平位移变换（1）自行车的形状模拟完整的自行车平移变换矩阵

T3(Tx,Ty,Tz)=100001000010TxTyTz1比例变换矩阵

S3(Sx,Sy,Sz)=Sx0000Sy0000Sz00001错切变换矩阵K31bc0d1f0gh10000

1旋转变换矩阵10000cosαsinα00-sinα

cosα00001绕X轴旋转cosβ0-sinβ00100sinβ0cosβ00001绕Y轴旋转cosγ

sinγ01sinγ

cosγ0000100001绕Z轴旋转3三维图形几何变换voidRevolveX(floatcx,floatxx,floatyy,floatzz,float&x,float&y,float&z){x=xx;y=yy*cos(cx)-zz*sin(cx);z=yy*sin(cx)+zz*cos(cx);}voidRevolveY(floatcy,floatxx,floatyy,floatzz,float&x,float&y,float&z){x=xx*cos(cy)+zz*sin(cy);y=yy;