15-Bezier曲线生成算法

1Bezier曲线的绘制内容大纲1Bezier曲线定义2Bezier曲线的绘制3Bezier曲线的递推算法4

Besize曲线段的拼接5反算Bezier曲线的控制点

由控制多边形的各顶点控制Bezier曲线形状控制多边形？1962年由P.E.Bezier提出以逼近为基础的方法。1Bezier曲线定义定义：给定空间n+1个点的位置矢量Pi（xi,yi）i=0,1,…,n）,

则Bezier曲线上各点坐标的公式：基函数

=p0B0,n(t)+p1B1,n(t)+p2B2,n(t)

+…+pnBn,n(t)1Bezier曲线定义x(t)=x0B0,3(t)+x1B1,3(t)+x2B2,3(t)

+x3B3,3(t)y(t)=y0B0,3(t)+y1B1,3(t)+y2B2,3(t)

+y3B3,3(t)0≤t≤1B0,3(t)=(1-t)3n=3B1,3(t)=3t(1-t)2B3,3(t)=t3B2,3(t)=3t2(1-t)1Bezier曲线定义控制点t=0x(t)=x0(1-t)3+x13t(1-t)2+x23t2(1-t)+x3t3y(t)=y0(1-t)3+y13t(1-t)2+y23t2(1-t)+y3t3三次Bezier曲线是t的三次式（x0y0）（x1y1）（x2y2）（x3y3）x(0)=x0y(0)=y0t=1x(1)=x3y(1)=y31Bezier曲线定义控制点x(t)=x0(1-t)3+x13t(1-t)2+x23t2(1-t)+x3t3y(t)=y0(1-t)3+y13t(1-t)2+y23t2(1-t)+y3t3（x0y0）（x1y1）（x2y2）（x3y3）t=0.4x(0.4)=0.22x0+0.43x1+0.29x2+0.06x3y(0.4)=0.22y0+0.43y1+0.29y2+0.06y31Bezier曲线定义voidBezier3(CDC*pDC,intx[4],inty[4],floatdt,COLORREFcolor){intx1=x[0],y1=y[0],x2,y2;floatb03,b13,b23,b33;for(floatt=dt;t<1.0001;t=t+dt){b03=(1-t)*(1-t)*(1-t);

b13=3*t*(1-t)*(1-t);

b23=3*t*t*(1-t);

b33=t*t*t;

//计算基函数x2=b03*x[0]+b13*x[1]+b23*x[2]+b33*x[3];

y2=b03*y[0]+b13*y[1]+b23*y[2]+b33*y[3];//计算曲线上的点坐标Line_DDA(pDC,x1,y1,x2,y2,color);x1=x2,y1=y2;}}2Bezier曲线的绘制intx[]={100,160,280,300};inty[]={100,200,260,120};intx[]={100,200,300,210};inty[]={100,300,60,120};2Bezier曲线的绘制n=1:

P(t)=P0B0,1(t)+P1B1,1(t)=P0(1-t)+P1t

一次Bezier曲线是连接P0与P1的直线段n=2:P(t)=P0B0,2(t)+P1B1,2(t)+P2B2,2(t)

=P0(1-t)2-P12(1-t)t+P2t2

二次Bezier曲线是一条过P0、P2的抛物线n+1个点控制n次Bezier曲线P0P1P0P1P22Bezier曲线的绘制floatB(inti,intn,floatt){intk;floatt1=1,t2=1,h;

for(k=i+1;k<=n;k++)t1=t1*k;

for(k=1;k<=n-i;k++)t2=t2*k;h=t1/t2;for(k=1;k<=i;k++)h=h*t;

for(k=1;k<=n-i;k++)h=h*(1-t);returnh;}2Bezier曲线的绘制12voidBezierN(CDC*p,intx[],inty[],intn,floatdt,COLORREFcolor){intx1=x[0],y1=y[0];floatx2,y2,b;for(floatt=dt;t<1.0001;t=t+dt){x2=y2=0;for(inti=0;i<=n;i++) {b=B(i,n,t);//计算基函数 x2=x2+x[i]*b,y2=y2+y[i]*b;//计算曲线上的点坐标

}Line_DDA(p,x1,y1,x2,y2,color);x1=x2,y1=y2;}}2Bezier曲线的绘制132Bezier曲线的绘制10次Bezier曲线规则:依次对原始控制多边形的每一条边执行相同的定比分割，例如取中点，再对由中点构成的多边形边取中点，重复操作，最后一个点为Bezier曲线上的点。改变分割比例，获取Bezie曲线上其它点。3Bezier曲线的递推算法P0P1P2P3P0’P1’P2’P0”P1”P0”’3Bezier曲线的递推算法该方法方便手绘草图4Besize曲线段的拼接Bezier曲线性质曲线通过多边形的起点和终点当t=0时，x(0)=x0

,

y(0)=y0

当t=1时，x(1)=xn,y(1)=yn,曲线在起点和终点处的切线方向与多边形的始边和终边的方向一致。考虑用多个低阶次Bezier曲线段拼接。4Besize曲线段的拼接11个控制点生成10次Bezier曲线，阶次较高，除了起点和终点，曲线离控制点较远。用五段二次Bezier曲线段拼接连接处共点，只是0阶连续4Besize曲线段的拼接除了起始边和最后一条边，每个边加一个控制点，使每条边是两段二次Bezi