等差数列基础知识与习题解析

等差数列基础知识与习题解析在数学的广阔领域中，数列扮演着至关重要的角色，它不仅是描述自然规律的工具，也是进一步学习高等数学的基础。而等差数列，作为数列家族中最为基础且应用广泛的成员之一，其简洁的定义和独特的性质，使得它在解决实际问题和理论研究中都占据着不可或替代的地位。本文将系统梳理等差数列的基础知识，并通过实例解析，帮助读者深入理解并掌握其应用技巧。一、等差数列的基础知识（一）定义：什么是等差数列？如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母`d`表示。关键点解析：*“从第二项起”：强调了比较的起始点，第一项没有前一项，因此不参与这个“差”的计算。*“每一项与它的前一项的差”：明确了运算关系是后项减前项。*“同一个常数”：这是等差数列的核心特征，这个常数就是公差`d`。公差`d`可以是正数、负数或零。当`d=0`时，数列为常数列，即所有项都相等。数学表达：对于数列`a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...`，若满足`aₙ-aₙ₋₁=d`（其中`n≥2`，且`n`为正整数，`d`为常数），则称此数列为等差数列。（二）等差数列的通项公式通项公式是表示数列中第`n`项`aₙ`与项数`n`之间关系的公式。对于等差数列，我们可以通过其定义推导出通项公式。推导过程：根据定义：`a₂-a₁=d⇒a₂=a₁+d``a₃-a₂=d⇒a₃=a₂+d=a₁+2d``a₄-a₃=d⇒a₄=a₃+d=a₁+3d`...以此类推，可以归纳出：`aₙ=a₁+(n-1)d`通项公式：`aₙ=a₁+(n-1)d`其中：*`aₙ`表示数列的第`n`项（末项），*`a₁`表示数列的第一项（首项），*`d`表示数列的公差，*`n`表示项数。理解与应用：通项公式揭示了等差数列中首项、公差、项数与某一项之间的关系。已知其中任意三个量，就可以求出第四个量。例如，已知首项和公差，可以求出任意指定项；已知某两项，可以求出公差和首项。（三）等差中项如果在数`a`与数`b`中间插入一个数`A`，使得`a`，`A`，`b`成等差数列，那么`A`就叫做`a`与`b`的等差中项。根据等差数列的定义，有`A-a=b-A`，解得`A=(a+b)/2`。推广：在一个等差数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。即`aₙ=(aₙ₋₁+aₙ₊₁)/2`（`n≥2`）。意义：等差中项概念是等差数列对称性的体现，也为解决与三项等差数列相关的问题提供了便利。（四）等差数列的前`n`项和公式等差数列的前`n`项和，通常用`Sₙ`表示，即`Sₙ=a₁+a₂+a₃+...+aₙ`。推导过程（倒序相加法）：`Sₙ=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+...+[a₁+(n-1)d]`①将上式倒序排列：`Sₙ=aₙ+(aₙ-d)+(aₙ-2d)+...+[aₙ-(n-1)d]`②①+②得：`2Sₙ=(a₁+aₙ)+(a₁+aₙ)+...+(a₁+aₙ)`（共`n`个`(a₁+aₙ)`）`2Sₙ=n(a₁+aₙ)`因此，`Sₙ=n(a₁+aₙ)/2`这是等差数列前`n`项和的第一个公式。若将通项公式`aₙ=a₁+(n-1)d`代入上式，可得第二个常用公式：`Sₙ=n[a₁+a₁+(n-1)d]/2=n[2a₁+(n-1)d]/2`前`n`项和公式：1.`Sₙ=n(a₁+aₙ)/2`（已知首项、末项和项数时使用）2.`Sₙ=n[2a₁+(n-1)d]/2`（已知首项、公差和项数时使用）理解与应用：前`n`项和公式提供了计算等差数列部分和的方法。同样，已知公式中的几个量，可以求出其他未知量。公式的形式也揭示了`Sₙ`是关于`n`的二次函数（当`d≠0`时），这为研究等差数列的求和特性提供了另一个视角。（五）等差数列的重要性质除了上述基本概念和公式外，等差数列还有一些重要的性质，掌握这些性质能帮助我们更灵活地解决问题：1.等差数列为常数列的充要条件是公差`d=0`。2.若`m+n=p+q`（`m,n,p,q`均为正整数），则在等差数列中有`aₘ+aₙ=aₚ+a_q`。特别地，当`m+n=2k`时，`aₘ+aₙ=2aₖ`（即`aₖ`是`aₘ`与`aₙ`的等差中项）。3.等差数列中，连续`k`项的和也构成等差数列。即`Sₖ,S₂ₖ-Sₖ,S₃ₖ-S₂ₖ,...`也成等差数列，其公差为`k²d`。4.通项公式的函数特性：等差数列的通项公式`aₙ=a₁+(n-1)d`可以变形为`aₙ=dn+(a₁-d)`，当`d≠0`时，`aₙ`是关于`n`的一次函数，其图像是一条直线上的离散点，斜率为`d`，截距为`a₁-d`。5.前`n`项和公式的函数特性：当`d≠0`时，`Sₙ=n[2a₁+(n-1)d]/2=(d/2)n²+(a₁-d/2)n`，是关于`n`的二次函数，且常数项为零。其图像是抛物线`y=(d/2)x²+(a₁-d/2)x`上的离散点。二、习题解析（一）利用通项公式求解基本量例题1：已知等差数列`{aₙ}`中，`a₁=3`，`d=2`，求`a₅`及`aₙ`。分析：直接应用等差数列的通项公式`aₙ=a₁+(n-1)d`即可。解答：`a₅=a₁+(5-1)d=3+4×2=3+8=11``aₙ=a₁+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1`点评：本题是对等差数列通项公式的直接应用，属于基础题。关键在于准确记忆公式并代入已知量。例题2：已知等差数列`{aₙ}`中，`a₃=7`，`a₇=15`，求数列的首项`a₁`和公差`d`，并求`a₁₀`。分析：已知数列中的两项，可以将这两项用首项`a₁`和公差`d`表示，得到一个关于`a₁`和`d`的二元一次方程组，解方程组即可求出`a₁`和`d`，进而求出`a₁₀`。解答：由通项公式`aₙ=a₁+(n-1)d`可得：`a₃=a₁+2d=7`③`a₇=a₁+6d=15`④④-③得：`4d=8⇒d=2`将`d=2`代入③得：`a₁+2×2=7⇒a₁=3`所以，`a₁₀=a₁+9d=3+9×2=21`点评：已知等差数列的任意两项，可以通过解方程组求出首项和公差，这是数列计算中的基本技能。体现了方程思想的应用。（二）利用前`n`项和公式求解例题3：等差数列`{aₙ}`中，`a₁=1`，`a₅=9`，求前`5`项和`S₅`。分析：已知首项、末项（第5项）和项数，可直接使用前`n`项和公式`Sₙ=n(a₁+aₙ)/2`。解答：`S₅=5×(a₁+a₅)/2=5×(1+9)/2=5×10/2=25`点评：本题考查对前`n`项和第一个公式的直接应用，注意确认项数`n`。例题4：等差数列`{aₙ}`的公差`d=2`，项数`n=10`，前`10`项和`S₁₀=110`，求首项`a₁`。分析：已知公差、项数和前`n`项和，可选用前`n`项和的第二个公式`Sₙ=n[2a₁+(n-1)d]/2`求解`a₁`。解答：由`Sₙ=n[2a₁+(n-1)d]/2`可得：`110=10[2a₁+(10-1)×2]/2`化简：`110=5[2a₁+18]``110=10a₁+90``10a₁=20``a₁=2`点评：灵活选择合适的求和公式，并进行代数运算求解未知量，是本题的核心。（三）等差数列性质的应用例题5：在等差数列`{aₙ}`中，已知`a₂+a₅+a₈=9`，`a₃a₅a₇=-21`，求该数列的通项公式。分析：注意到`2,5,8`成等差数列，根据等差数列的性质，若`m+n=2p`，则`aₘ+aₙ=2aₚ`。因此`a₂+a₈=2a₅`。由此可先求出`a₅`，再代入第二个等式求出`a₃a₇`，进而求出`a₃`和`a₇`，最后求公差和首项。解答：∵`{aₙ}`是等差数列，∴`a₂+a₈=2a₅`。由`a₂+a₅+a₈=9`，得`3a₅=9⇒a₅=3`。∴`a₃+a₇=2a₅=6`（性质），且`a₃a₅a₇=-21⇒3a₃a₇=-21⇒a₃a₇=-7`。于是有`a₃`和`a₇`是方程`x²-6x-7=0`的两根。解方程得`x₁=7`，`x₂=-1`。情况一：`a₃=7`，`a₇=-1`则`a₇-a₃=4d=-1-7=-8⇒d=-2`。`a₅=a₁+4d=3⇒a₁+4×(-2)=3⇒a₁=11`。此时通项公式为`aₙ=11+(n-1)(-2)=13-2n`。情况二：`a₃=-1`，`a₇=7`则`a₇-a₃=4d=7-(-1)=8⇒d=2`。`a₅=a₁+4d=3⇒a₁+4×2=3⇒a₁=-5`。此时通项公式为`aₙ=-5+(n-1)×2=2n-7`。综上，该数列的通项公式为`aₙ=13-2n`或`aₙ=2n-7`。点评：本题充分利用了等差数列的性质，特别是与等差中项相关的性质，大大简化了计算。同时，注意到两根可能有两种情况，需要分类讨论。（四）等差数列前`n`项和的综合应用例题6：已知等差数列`{aₙ}`的前`n`项和为`Sₙ`，若`S₁₀=310`，`S₂₀=1220`，求`S₃₀`。分析：本题可以利用等差数列前`n`项和的性质：`Sₖ,S₂ₖ-Sₖ,S₃ₖ-S₂ₖ`成等差数列。这里`k=10`，则`S₁₀,S₂₀-S₁₀,S₃₀-S₂₀`成等差数列。解答：∵`{aₙ}`是等差数列，∴`S₁₀,S₂₀-S₁₀,S₃₀-S₂₀`成等差数列。即`310,1220-310,S₃₀-1220`成等差数列，也就是`310,910,S₃₀