高一数学必修一三角函数的概念及公式

高一数学必修一三角函数的概念及公式三角函数作为高中数学的重要组成部分，不仅是解决几何问题的有力工具，也是后续学习高等数学、物理等学科的基础。本章我们将从任意角的概念出发，逐步引入三角函数的定义，并系统梳理常用的三角函数公式，帮助同学们构建完整的知识体系，为灵活应用打下坚实基础。一、三角函数的基本概念1.1任意角的概念与弧度制在初中阶段，我们学习的角主要是锐角、直角、钝角、平角和周角，其范围局限在0°到360°之间。但在实际问题中，仅用这些角是远远不够的。为了描述更广泛的转动现象，我们引入任意角的概念。角的定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。正角、负角与零角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。如果射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角，它不属于任何象限。为了更方便地进行数学运算和理论研究，我们引入弧度制来度量角的大小。弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。角度与弧度的换算：我们知道，一个周角的大小是360°，而在弧度制下，一个周角的大小是2πrad。因此，我们有：360°=2πrad180°=πrad1°=(π/180)rad≈0.____rad1rad=(180/π)°≈57.30°在具体运算时，我们通常会根据题目要求选择角度制或弧度制。在高等数学和科学计算中，弧度制更为常用。1.2任意角的三角函数定义在直角坐标系中，我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数。单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆。设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：正弦函数：sinα=y余弦函数：cosα=x正切函数：tanα=y/x（其中x≠0）也就是说，角α的正弦值是其终边与单位圆交点的纵坐标，余弦值是该点的横坐标，正切值是该点纵坐标与横坐标的比值（前提是横坐标不为零）。根据上述定义，我们可以明确各三角函数的定义域：sinα和cosα的定义域为全体实数R。tanα的定义域为{α|α≠π/2+kπ,k∈Z}。同时，根据点P(x,y)在单位圆上，即x²+y²=1，我们可以直接得到sinα和cosα的值域均为[-1,1]，而tanα的值域为全体实数R。二、三角函数的基本公式与关系掌握三角函数的基本公式，是进行三角恒等变换和解决三角函数问题的核心。2.1终边相同的角的三角函数值终边相同的角，它们的同名三角函数值相等。这是因为它们的终边与单位圆的交点坐标相同（或相差整数个圆周）。由此得到一组重要的诱导公式：sin(α+2kπ)=sinαcos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z。这组公式告诉我们，三角函数是周期函数，正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π，正切函数的最小正周期是π。2.2同角三角函数的基本关系根据三角函数的定义，我们可以推导出同角三角函数间的基本关系：1.平方关系：sin²α+cos²α=1（由单位圆上点的坐标满足x²+y²=1即得）2.商数关系：tanα=sinα/cosα（cosα≠0）这两个基本关系非常重要，它们不仅揭示了同角不同三角函数之间的内在联系，也是进行三角式化简、求值和证明的重要依据。在应用时，要注意公式成立的条件，例如商数关系中分母不能为零。2.3诱导公式诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，以便于计算。其核心思想是“奇变偶不变，符号看象限”。这里的“奇”和“偶”指的是将角表示为π/2的整数倍加上一个锐角（或零度角）时，该整数倍的系数是奇数还是偶数；“变”与“不变”指的是三角函数的名称是否改变（正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切）；“符号看象限”指的是将原角视为锐角时，原三角函数值在相应象限的符号。以下是几组常用的诱导公式（k∈Z）：1.关于-α的诱导公式：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα2.关于π+α的诱导公式：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα3.关于π-α的诱导公式：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα4.关于π/2+α的诱导公式：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotα（余切函数，高中阶段不做重点要求）记忆和应用诱导公式时，关键在于理解“奇变偶不变，符号看象限”这一口诀的含义，并通过适量练习加以巩固。2.4三角函数的图像与性质理解三角函数的图像和性质，有助于我们更直观地把握其变化规律。正弦函数y=sinx：定义域：R值域：[-1,1]周期性：最小正周期为2π奇偶性：奇函数，图像关于原点对称单调性：在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上单调递减。最值：当x=π/2+2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当x=-π/2+2kπ(k∈Z)时，取得最小值-1。余弦函数y=cosx：定义域：R值域：[-1,1]周期性：最小正周期为2π奇偶性：偶函数，图像关于y轴对称单调性：在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减。最值：当x=2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当x=π+2kπ(k∈Z)时，取得最小值-1。正切函数y=tanx：定义域：{x|x∈R,x≠π/2+kπ,k∈Z}值域：R周期性：最小正周期为π奇偶性：奇函数，图像关于原点对称单调性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)内单调递增。渐近线：x=π/2+kπ(k∈Z)三、总结与学习建议三角函数的概念和公式是整个三角函数体系的基石。同学们在学习过程中，首先要深刻理解任意角三角函数的定义，特别是单位圆定义的几何意义，这是理解后续公式和性质的源头。其次，对于众多的公式，不要死记硬背，要在理解其推导过程的基础上进行记忆，并通过大量练习来熟悉公式的变形和应用。在解题时，要善于运用数形结合的思想，借助单位圆或三角函数的图像来分析问题、寻找