人教版高中数学选修2-3学案 全册

人教版高中数学选修2-3学案全册前言亲爱的同学们，欢迎进入高中数学选修2-3的学习旅程。本模块主要包含“计数原理”、“随机变量及其分布”以及“统计案例”三大部分内容。这些知识不仅是高考的重要组成部分，更是培养我们逻辑思维、数据分析和解决实际问题能力的关键载体。本学案旨在陪伴大家逐步攻克选修2-3的知识要点。每一章、每一节都将围绕“学习目标”展开，通过“知识梳理”回顾基础，借助“重点难点突破”深化理解，结合“典型例题分析”掌握方法，并通过“基础达标练习”和“能力提升训练”巩固所学。请同学们务必亲自动手，积极思考，遇到疑难及时与老师同学交流。数学的世界充满挑战，也同样充满乐趣，让我们一起探索，共同进步。---第一章计数原理计数原理是数学的重要研究对象之一，它不仅是学习概率统计的基础，也在日常生活、科学研究和工程技术中有着广泛的应用。本章将学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理这两个基本原理，并在此基础上学习排列、组合的概念及其简单应用，最后探究二项式定理。1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标1.通过具体实例，理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。2.能够根据具体问题的特征，选择运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。3.感受数学与生活的联系，体会“化归”的数学思想。知识梳理1.分类加法计数原理：完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有`m`种不同的方法，在第2类方案中有`n`种不同的方法，那么完成这件事共有`N=m+n`种不同的方法。推广：完成一件事，有`n`类不同方案，在第1类方案中有`m₁`种不同的方法，在第2类方案中有`m₂`种不同的方法，……，在第`n`类方案中有`mₙ`种不同的方法，那么完成这件事共有`N=m₁+m₂+...+mₙ`种不同的方法。*关键特征*：“分类”、“独立”、“加法”。各类方法之间相互独立，选择其中任何一类的任何一种方法都能独立完成这件事。2.分步乘法计数原理：完成一件事，需要两个步骤，做第1步有`m`种不同的方法，做第2步有`n`种不同的方法，那么完成这件事共有`N=m×n`种不同的方法。推广：完成一件事，需要`n`个步骤，做第1步有`m₁`种不同的方法，做第2步有`m₂`种不同的方法，……，做第`n`步有`mₙ`种不同的方法，那么完成这件事共有`N=m₁×m₂×...×mₙ`种不同的方法。*关键特征*：“分步”、“依次”、“乘法”。各个步骤相互依存，只有完成所有步骤，才能完成这件事。重点难点突破*重点：理解并准确区分两个计数原理，能根据实际问题的特点选择恰当的原理解决问题。*难点：*准确判断问题是“分类”还是“分步”。分类是“或”的关系，即任何一类方法都能独立完成任务；分步是“且”的关系，即必须完成所有步骤才能完成任务。*在复杂问题中，如何合理地进行分类或分步，避免重复或遗漏。判断原则：*若完成一件事，可以有几种互斥的途径（即“要么…要么…”），则用分类加法计数原理。*若完成一件事，需要若干个连续的步骤（即“先…再…然后…”），则用分步乘法计数原理。典型例题分析例1：某班有男生25人，女生20人。（1）从中任选一名学生参加演讲比赛，有多少种不同的选法？（2）从中任选一名男生和一名女生参加演讲比赛，有多少种不同的选法？分析：（1）选一名学生参加比赛，有两类方案：选男生或选女生。这两类方案是独立的，任选一类中的一人都能完成任务。（2）选一名男生和一名女生参加比赛，需要分两步：先选男生，再选女生。只有两步都完成，才算完成任务。解答：（1）根据分类加法计数原理，不同的选法共有`25+20=45`种。（2）根据分步乘法计数原理，不同的选法共有`25×20=500`种。例2：用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：（1）三个矩形颜色都相同的概率；（2）三个矩形颜色都不同的概率。（先只考虑计数问题）分析：每个矩形都有3种涂色方法。问题（1）是三个矩形颜色都相同，可考虑“涂红色”、“涂黄色”、“涂蓝色”这三类。问题（2）是三个矩形颜色都不同，需要分步骤考虑第一个、第二个、第三个矩形的涂色方法。解答：（仅计数部分）给三个矩形涂色，每个矩形有3种选择，根据分步乘法计数原理，总共有`3×3×3=27`种不同的涂色方法。（1）三个矩形颜色都相同：都涂红色：1种方法；都涂黄色：1种方法；都涂蓝色：1种方法。根据分类加法计数原理，共有`1+1+1=3`种方法。（2）三个矩形颜色都不同：第一步，涂第一个矩形，有3种方法；第二步，涂第二个矩形，由于颜色不能与第一个相同，有2种方法；第三步，涂第三个矩形，由于颜色不能与前两个相同，有1种方法。根据分步乘法计数原理，共有`3×2×1=6`种方法。基础达标练习1.一个袋子里有5个不同的红球和4个不同的白球，从中任取一个球，共有多少种不同的取法？2.一个袋子里有5个不同的红球和4个不同的白球，从中任取一个红球和一个白球，共有多少种不同的取法？3.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是固定的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多能容纳多少个用户？4.用0,1,2,3这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（提示：注意首位不能为0）能力提升训练1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第一、二、三层各取一本书，有多少种不同的取法？（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？（提示：分计算机书和文艺书、计算机书和体育书、文艺书和体育书三类）2.如图，从A地到B地有3条不同的道路，从B地到C地有4条不同的道路，从A地到C地不经过B地有2条不同的道路。问：从A地到C地共有多少种不同的走法？学习反思与总结*今天学习的两个计数原理，你能准确区分它们的适用场景吗？*在运用原理解决问题时，你觉得最容易出错的地方是什么？如何避免？*尝试用自己的话总结一下两个原理的核心思想。---1.2排列与组合1.2.1排列学习目标1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列。2.掌握排列数的计算公式，并能运用公式解决一些简单的排列问题。3.体会“有序”在排列问题中的重要性。知识梳理1.排列的定义：一般地，从`n`个不同元素中取出`m`（`m≤n`）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从`n`个不同元素中取出`m`个元素的一个排列。如果`m<n`，这样的排列叫做选排列；如果`m=n`，这样的排列叫做全排列。2.排列数的定义：从`n`个不同元素中取出`m`（`m≤n`）个元素的所有不同排列的个数，叫做从`n`个不同元素中取出`m`个元素的排列数，用符号`Aₙᵐ`（或`Pₙᵐ`）表示。3.排列数公式：`Aₙᵐ=n×(n-1)×(n-2)×...×(n-m+1)`这个公式的理解：第1个位置有`n`种选择，第2个位置有`n-1`种选择（因为已经用了一个元素），……，第`m`个位置有`n-m+1`种选择。4.全排列数公式：`Aₙⁿ=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1=n!`，读作“`n`的阶乘”。规定：`0!=1`。排列数公式的阶乘形式：`Aₙᵐ=n!/(n-m)!`重点难点突破*重点：排列的概念，排列数公式的推导与应用。*难点：*理解排列的“有序性”。判断一个问题是否为排列问题，关键在于取出的元素是否与顺序有关。*排列数公式的灵活运用，特别是在含有限制条件的排列问题中（如“在”与“不在”问题）。典型例题分析例1：写出从4个不同元素`a,b,c,d`中任取2个元素的所有排列，并计算`A₄²`。分析：按顺序写出所有可能情况，注意“有序”。解答：所有排列为：`ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc`，共12个。`A₄²=4×3=12`。例2：计算：（1）`A₅³`（2）`A₆⁶`（3）`A₇⁴/A₅²`解答：（1）`A₅³=5×4×3=60`（2）`A₆⁶=6!=720`（3）`A₇⁴=7×6×5×4=840`，`A₅²=5×4=20`，所以`A₇⁴/A₅²=840/20=42`。例3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：这是一个有限制条件的排列问题，百位不能为0。可以优先考虑特殊位置（百位），再考虑其他位置（十位、个位）。解答：方法一（直接法-特殊位置优先）：第一步，排百位：从1-9这9个数字中选1个，有`A₉¹=9`种方法。第二步，排十位：从剩下的9个数字（包括0）中选1个，有`A₉¹=9`种方法。第三步，排个位：从剩下的8个数字中选1个，有`A₈¹=8`种方法。根据分步乘法计数原理，共有`9×9×8=648`个。方法二（直接法-特殊元素优先）：0不能在百位。分两类：第一类：三位数中不含0。从1-9中选3个排列，有`A₉³=9×8×7=504`种。第二类：三位数中含0。0只能在十位或个位，有`A₂¹`种方法；剩下两个位置从1-9中选2个排列，有`A₉²`种方法。共有`A₂¹×A₉²=2×9×8=144`种。根据分类加法计数原理，共有`504+144=648`个。方法三（间接法-排除法）：不考虑0的限制，从10个数字中选3个排列，有`A₁₀³=10×9×8=720`种。其中0在百位的“三位数”（实际是两位数）有`A₉²=9×8=72`种。所以符合条件的三位数有`720-72=648`个。基础达标练习1.计算：（1）`A₄²`（2）`A₇³`（3）`A₅⁵`（4）`A₆⁴/A₄²`2.从5名同学中选出2名参加学校的演讲比赛，共有多少种不同的选法？如果选出的2名同学分别担任正、副组长，又有多少种不同的选法？（比较两问的区别，体会“有序”与“无序”）3.用1,2,3,4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？能力提升训练1.6名同学排成一排照相，有多少种不同的排法？2.6名同学排成一排照相，其中甲同学必须站在中间，有多少种不同的排法？3.6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须相邻，有多少种不同的排法？（提示：捆绑法）学习反思与总结*排列与之前学习的两个计数原理有什么联系？排列数公式是如何基于计数原理推导出来的？*你认为解决排列应用题的一般步骤是什么？*“捆绑法”、“插空法”等技巧在解决特殊排列问题时非常有用，你今天尝试使用了吗？感受如何？---1.2.2组合学习目标1.理解组合的概念，能正确区分排列与组合问题。2.掌握组合数的计算公式及组合数的性质，并能运用它们解决一些简单的组合问题。3.体会“无序”在组合问题中的特点。知识梳理1.组合的定义：一般地，从`n`个不同元素中取出`m`（`m≤n`）个元素并成一组，叫做从`n`个不同元素中取出`m`个元素的一个组合。2.组合数的定义：从`n`个不同元素中取出`m`（`m≤n`）个元素的所有不同组合的个数，叫做从`n`个不同元素中取出`m`个元素的组合数，用符号`Cₙᵐ`表示。3.组合数公式：`Cₙᵐ=Aₙᵐ/Aₘᵐ=[n×(n-1)×...×(n-m+1)]/[