《提公因式法》习题

《提公因式法》习题提公因式法作为因式分解的基石，其重要性不言而喻。它不仅是后续学习更复杂因式分解方法的基础，也是解决许多代数问题的关键技能。能否熟练、准确地运用提公因式法，直接关系到代数式化简、方程求解乃至更高级数学知识的掌握。本文旨在通过一系列精心设计的习题，帮助读者巩固提公因式法的核心概念与操作技巧，提升解题的熟练度与准确性。一、提公因式法要点回顾在进入习题演练之前，我们先简要回顾一下提公因式法的核心要点，这对于准确解题至关重要：1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。*系数：取各项系数的最大公约数（若首项系数为负，通常将负号一并提出）。*字母：取各项中相同的字母。*指数：取相同字母的最低次幂。2.提公因式法的步骤：*第一步：确定公因式：按照上述公因式的定义，准确找出多项式各项的公因式。*第二步：提取公因式：将多项式的每一项都除以公因式，所得的商作为另一个因式，再把公因式和这个商写成乘积的形式。即：`ma+mb+mc=m(a+b+c)`，其中`m`为公因式。二、基础巩固习题目标：熟练掌握确定公因式并正确提取公因式的基本方法。1.分解因式：`3x+6`*分析：观察各项，系数3和6的最大公约数是3；字母部分，两项都含有`x`，且`x`的最低次幂是1。因此公因式是`3`。*解答：`3x+6=3(x+2)`2.分解因式：`5a²b-10ab²`*分析：系数5和10的最大公约数是5；字母部分，两项都含有`a`和`b`。`a`的最低次幂是1（在第二项），`b`的最低次幂是1（在第一项）。因此公因式是`5ab`。*解答：`5a²b-10ab²=5ab(a-2b)`3.分解因式：`-4x³y²+6x²y-2xy`*分析：首项系数为负，先考虑提出负号。系数的绝对值4、6、2的最大公约数是2；字母部分，各项都含`x`和`y`，`x`的最低次幂是1，`y`的最低次幂是1。因此公因式是`-2xy`。*解答：`-4x³y²+6x²y-2xy=-2xy(2x²y-3x+1)`*提示：提出负号后，括号内各项都要变号。不要忘记最后一项`-2xy`除以`-2xy`后得到的`+1`。4.分解因式：`3m(x-y)-2n(x-y)`*分析：此多项式的两项中，都含有多项式`(x-y)`，可以将其看作一个整体作为公因式。*解答：`3m(x-y)-2n(x-y)=(x-y)(3m-2n)`三、能力提升习题目标：应对公因式形式更复杂或需要先进行适当变形才能提公因式的情况。1.分解因式：`a(x-3)+2b(3-x)`*分析：注意到`(3-x)`与`(x-3)`是互为相反数的关系，即`(3-x)=-(x-3)`。因此，我们可以通过变号将两项的公因式统一为`(x-3)`或`(3-x)`。*解答：`a(x-3)+2b(3-x)=a(x-3)-2b(x-3)=(x-3)(a-2b)`2.分解因式：`x³y-x²y²+x²y`*分析：先观察各项系数，都是1或-1，最大公约数是1。字母部分，都含有`x²y`（`x`的最低次幂是2，`y`的最低次幂是1）。注意第三项`x²y`本身就是公因式的倍数。*解答：`x³y-x²y²+x²y=x²y(x-y+1)`*提示：不要忽略最后一项提出公因式后剩下的`+1`。3.分解因式：`(a+b)(a-b)-(a+b)`*分析：将`(a+b)`视为一个整体，观察到两项都含有`(a+b)`这个公因式。*解答：`(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)[(a-b)-1]=(a+b)(a-b-1)`*提示：提取公因式后，剩余部分要进行化简，注意括号的正确使用。4.分解因式：`2a(m-n)²-4b(n-m)³`*分析：先处理`(m-n)²`与`(n-m)³`的关系。`(n-m)³=-(m-n)³`，而`(m-n)²=(n-m)²`。为了方便，我们可以将`(m-n)²`作为公因式的一部分。则`(n-m)³=-(m-n)³=-(m-n)²(m-n)`。*解答：`2a(m-n)²-4b(n-m)³=2a(m-n)²+4b(m-n)³=2(m-n)²[a+2b(m-n)]=2(m-n)²(a+2bm-2bn)`*提示：指数不同时，取最低次幂。处理互为相反数的因式时，要注意指数的奇偶性对符号的影响。四、易错点辨析与巩固1.误区警示1：提公因式后，某项为1或-1时容易遗漏。*错误示例：`x²-x=x(x)`(遗漏了`-1`)*正确解答：`x²-x=x(x-1)`2.误区警示2：公因式未提尽。*错误示例：`4x²-6xy=2(2x²-3xy)`(公因式应为`2x`)*正确解答：`4x²-6xy=2x(2x-3y)`3.误区警示3：忽略系数的符号。*错误示例：`-x²+2x=-x(x+2)`(提出`-x`后，第二项应变号)*正确解答：`-x²+2x=-x(x-2)`或`x(-x+2)`(通常将负号提出使首项为正)五、总结与提示提公因式法看似简单，但要做到熟练且准确无误，需要在理解概念的基础上进行大量练习，并时刻警惕上述易错点。记住，找对公因式是前提，提净