安徽省A10联盟2024级高二上学期2月初期末质量检测数学B（含答案）

2024级高二上学期2月初期末质量检测数学(北师大版)试题B本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。求的.1.已知a=(2,-1,3),b=(3,5,-1),A.(1,-7,-1)B.(7,-3,-5)C.(1,-7,7)2.若圆锥的母线长为5,高为4,则圆锥的体积为()A.12πB.16πC.20πA.1B.2有2条公切线，则实数a的取值范围为()A.(2,10)B.(1,10)C.(2,9)8.已知圆O的直径AB=4,PA·PB=()二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.若a//b,a//c,则b//cB.若a⊥b,alc,则b⊥c10.已知直线1:x+y+1=0,点P为圆M:(x-1)²+(y-2)²=2上一点，则()A.直线l与圆M相离结论正确的有()三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知三棱锥P-ABC中，平面四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知圆C:x²+y²-4x-2y+4=0,过原点O引圆的两条切线l,l₂,切点分别为M,N,其中直线l₁的倾斜角大于直线l₂的倾斜角.(2)求四边形OMCN的面积.16.(15分)所对的边分别为a,b,c17.(15分)(1)求证：△A₁BC为直角三角形；(2)若(1)求证：△A₁BC为直角三角形；(2)若AA₁=2,求平面AA₁B与平面A₁BC所成角的正弦值.CC18.(17分)已知圆C过A(-1,1),B(1,3)两点，且圆心C在直线x-2y+1=0上.(2)求过圆心C且在x轴，y轴上截距相等的直线l₁的方程；(3)若直线l₂的横截距为a(a>1),纵截距为b(b>1),且直线l₂被圆C截得的弦长为2√3,求ab的最小值.19.(17分)(1)若平面PAC⊥平面ABC.(ii)三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的表面上，求球O的半径R;(2)若二面角A-CP-B的余弦值为求BP的长.数学(北师大版)参考答案B一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678CABBADCB1.C由题意知，2a-b=2(2,-1,3)-(3,5,-1)=(1,-7,7).故选C.3.B若l⊥l₂,则2a²-2=0,解得a=±1,故“I⊥l₂”是“a=1”4.B由(a+c)²-b²=ac,可得a²+c²-b²=-ac,则,因为B∈(0,π),5.A由题意知，AB=(2,3,4),AC=(6,λ-2,12),因为A,B,C三点共线，所以AB=kAC,即(2,3,4)=k(6,λ-2,12)7.C因为且角A的平分线交边BC于点D,BD=2DC,所以,即AB=2AC,又,所以BC=√14,B(2,0),所以圆O的方程为x²+y²=4.设动点P(x,y),二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.99.ACD根据平行的传递性，若a//b,al/c,则b//c,故A正确；若a⊥b,a⊥c,则可能b⊥c,故D正确.故选ACD.10.AB由题意得，圆心M(1,2),半径r=√2,对于A,圆心M到直线1:x+y+1=0的距离所以直线l与圆M相离，故A正确；对于B,因为点P到直线l距,解得N(-3,-2),所以与圆M关于直线l对称的圆的方程为(x+3)²+(y+2)²=2,故C错误；对于D,设平行于1且与圆M相切的直线方程为x+y+c=0,所以解得c=-1或c=-5,所以平行于1且与圆M相切的两条直线方程为x+y-1=0和x+y-5=0,故D错误.故选AB.11.ABD以D为原点，以DA,DC,DD₁所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则AM=(-2,1,2),由正方体性质可知平面A₁ADD₁的一个法向量n=(0,1,0),设直线与平面所 到直线AM的距离为,故B正确；因为MN=(0,1,-1),A₁B=(0,2,-2)=2MN,所以MN//AB,所以直线A₁M与直线BN不是异面直线，故C错误；AM=(-2,1,2),AN=(-2,2,1),DA=(2,0,0),设平面AMN的法向量为m=(x,y,z),所以所以m=(3,2,2),所以点D到平面AMN的距离为,故D正确.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.向量AP在法向量n上的投影向量为由题意得，联立所以线段AB中点的坐标为当且仅当b=c时，等号成立，则而 取得最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)由题意得，圆C:(x-2)²+(y-1)²=1;……………(2分)显然直线l₁,l₂的斜率存在，设直线l₁,l₂的方程为y=kx,解得k=0或,………………(7分)又直线l₁的倾斜角大于直线l₂的倾斜角，故直线l,l₂的方程分别为………(8分)16.(15分)(2)由(1)及余弦定理可得，因为A∈(0,π),所以sin,………………(11分)2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学(北师大版)参考答案第3页共6页又acosC+ccosA=kbsinA,由正弦定理得sinAcosC+sinCcos又因为B∈(0,π),所以sinB≠0,所以1=ksinA,即.……………(15分)17.(15分)(1)由题意得，∠A₁B₁C₁=∠ABC=30°,AB=2AC,……(1分)而AA₁⊥平面ABC,CBc平面ABC,故AA₁⊥CB,…………(4分)又AA₁∩AC=A,故CB⊥平面AA₁C;(5分)因为A₁Cc平面AA₁C,故CB⊥A₁C,因为AA₁=2,AB=2AC=4,所以BC=2√3,故A(0,2,0),C(0,0,0),B(2√3,0,0),A₁(0,2,2),(8分)设平面AA₁B和平面A₁BC的法向量分别为n₁=(x₁,y1,z₁),n₂=(x₂,y₂,z₂),记平面AA₁B与平面A₁BC所成角为θ,则cosθ=|co18.(17分)(1)由题意知，圆心C在直线x-2y+1=0上，故设圆心为C(2t-1,t),令x=0,解得y=1-k,令y=0,解得,解得k=±1(8分),解得k=±1(8分)(3)因为直线l₂被圆C截得的弦长为2√3, 19.(17分)则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),,………………(4分),,……(6分).………………(9分)(2)过点P作棱PD⊥AC交AC的延长线于点D,因为AC=1,∠PCA=120°,所l所以点P是在以D为圆心，为半径的圆上一点，……………(10分)故以点D为坐标原点，DA为x轴，过点D且平行于AB的直线为y轴，过点D且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面APC的法向量为e₁=(x₁,y₁,z₁),令z₁=y,则y₁=-z,所以平面APC设平面PBC的法向量为e