平面向量数量积的坐标表示-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6．3.5平面向量数量积的坐标表示明确目标发展素养1.能用坐标表示平面向量的数量积2.会表示两个向量的夹角3.能用坐标表示平面向量的垂直通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，提升数学运算、逻辑推理素养知识点平面向量数量积的坐标表示(一)教材梳理填空设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有：[微思考]已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？(二)基本知能小试1．判断正误：(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°. (

)(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0. (

)(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．(

)×××答案：D3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是

(

)A．12

B．3

C．－3

D．－12答案：D4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a·b＝________，a与b夹角的余弦值为________．题型一向量数量积的坐标运算

【学透用活】(2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝(0,0)，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．[方法技巧]数量积坐标运算的技巧(1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立平面直角坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．

【对点练清】1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于

(

)A．10

B．－10C．3 D．－3解析：因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.答案：B

2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________．题型三向量的夹角和垂直问题

[探究发现](1)设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是

a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？(2)已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于多少？提示：由已知，得a－b＝(1－x,4)．∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0.∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.[提醒]涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．

【对点练清】1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(

)A．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1D．λμ＝－1答案：D解析：因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ).因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)·(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.2．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F分别在AB，AD上，且AE＝1，则当DE⊥CF时，AF＝________.3．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b与a－b的夹角余弦值是________．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，求实数k的取值范围．下面是甲、乙两名同学的解答，请你分析判定哪位同学的解答正确，并指出错误解法错在哪里．甲：因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0，即a·b＝2＋k>0，得k>－2，故