初中七年级数学“分段计费与方案选择”专题复习知识清单

初中七年级数学“分段计费与方案选择”专题复习知识清单

一、核心概念体系与模型建构【基础】

（一）分段计费问题的本质特征

分段计费问题，其核心在于计费规则因数量（如时间、里程、用量）所处的区间不同而发生改变。这类问题的生活原型极为丰富，包括但不限于阶梯水价、阶梯电价、出租车计价、快递费用、通讯套餐、停车费等。其数学模型是一个分段函数，即因变量（费用）与自变量（计费基数）之间的函数关系被划分为若干个不同的区间，在每个区间内遵循不同的对应法则。

理解分段计费，关键在于准确把握“分界点”或“临界值”。这些分界点是计费标准发生变化的“门槛”，例如水费的“每户每月15吨”、出租车费用的“3公里起步价”。在分界点以内，通常执行一个较低的单价或固定费用；超过分界点，超出部分则执行另一个较高的单价（或较低的单价，视具体优惠政策而定）。

（二）方案选择问题的决策逻辑

方案选择问题通常是在给定的两种或多种可行方案中，基于某个可变因素（如购买数量、使用时间），通过比较各方案的结果（通常是总费用），寻找最优策略。当其中至少一个方案的费用计算涉及分段函数时，两个问题便有机地结合在一起。其核心决策逻辑是：

通过代数方法，找到不同方案费用相等时的“平衡点”或“临界值”。以该平衡点为界，划分出自变量的不同取值范围，并在每个范围内比较各方案费用的大小，从而确定最优方案。这一过程体现了数学中的分类讨论思想与最优化思想。

二、基础知识储备与模型构建【基础】

（一）代数式表示——建模的基石

这是解决方案选择问题的第一步，也是最关键的一步。必须能根据题意，准确地将文字描述的计费规则转化为含有未知数的代数式。

示例：某市出租车收费标准为：起步价10元（3千米及以内），超过3千米后，每千米加收2元（不足1千米按1千米计算）。设行驶路程为x千米，费用为y元。

当0＜x≤3时，y=10。

当x＞3时，y=10+2(x-3)。【★重点】

练习：某地水费收费标准为：每月用水量不超过20吨，按2.5元/吨收费；超过20吨但不超过40吨的部分，按3.5元/吨收费；超过40吨的部分，按5元/吨收费。请用代数式表示月用水量为a吨时应缴纳的水费。

（提示：需要分0＜a≤20，20＜a≤40，a＞40三种情况讨论。）

（二）一元一次方程的解法——求解的工具

在找到费用相等的“平衡点”时，需要解一个一元一次方程。必须熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等基本步骤，并保证计算的准确性。【★基础】

（三）不等式（组）的比较思想——决策的依据

虽然七年级尚未系统学习解不等式，但“比较大小”的思想贯穿始终。在确定自变量的取值范围后，通常采用“特殊值代入法”或“作差法”来直观感受费用的高低。

特殊值代入法：在某一范围内选取一个具体的、便于计算的数，分别代入两个方案的代数式，计算结果后直接比较大小。【★高频考点】

作差法：计算两个方案费用的差，即“方案一费用—方案二费用”。若结果为正，则方案一费用高，方案二合算；若结果为负，则方案一合算；若结果为零，则两方案费用相等。【★难点】

三、通解通法：四步解题流程【★★非常重要】

（一）第一步：设元与列表

设出关键的未知数，通常是与计费基数相关的量，如主叫时间、用水量、复印页数等，设为x。根据题意，用表格的形式梳理出在不同区间内，各个方案的计费表达式。表格能够直观地展现费用随x变化的规律，避免遗漏或混淆。

（二）第二步：寻找“临界点”——列方程

令两个需要比较的方案在某个共同的有效区间内的代数式相等，列出关于x的一元一次方程。解此方程，得到的x值即为两个方案费用相等时的“平衡点”。这个点将数轴划分为不同的讨论区间。

注意：临界点可能不止一个，尤其当计费规则复杂、分段较多时，需要在每个可能存在费用相等的区间内分别寻找。

（三）第三步：分区讨论与决策——分类讨论

根据第二步求出的所有临界点，结合题目中固有的分界点，将数轴划分为若干个连续的区间。在每个区间内，选取一个便于计算的x的取值（通常取区间中点或端点），代入两个方案的代数式中，比较费用的大小，从而确定在该区间内的最优方案。【★★★高频考点】

（四）第四步：归纳总结与作答

将所有讨论的结果进行归纳，清晰地陈述当x在什么范围内时，选择哪个方案最省钱。注意答案的表述要完整、明确，例如：“当复印页数少于20页时，选择A店合算；当复印页数等于20页时，两店费用相同；当复印页数多于20页时，选择B店合算。”

四、经典题型深度剖析【★★★核心考点】

（一）题型一：典型的“通讯套餐”选择问题

题目特征：两种套餐，均有月租费和主叫限定时间，超时部分另计费。这是教材上的原题情境，也是所有分段计费与方案选择问题的母题。

考查方式：通常要求填写表格、列出方程求解临界点、并最终给出整体选择方案。

解题要点：

1.清晰划分时间区间：t小于限定时间、t等于限定时间、t在限定时间之间、t大于另一个限定时间。

2.在中间区间（如150<t<350）寻找临界点时，要明确方式一的费用在增加，方式二固定，因此必然存在一个t使得两者相等。解方程58+0.25(t-150)=88，得t=270。【★重点】

3.综合所有区间得出结论：当t<270时选方式一，t=270时两者一样，t>270时选方式二。

（二）题型二：“阶梯计价”类问题

题目特征：单一方案，但计费标准随用量变化，常与“平均值”或“预算”结合，求用量。如已知某月平均电价或总缴费，反推用电量。

考查方式：考查逆向思维能力，需要先判断实际用量落在了哪个阶梯内。

解题要点：

1.估算判断：用总费用除以基础单价，得到一个大致用量，从而初步判断其所在区间。例如，若基础水价为2元，总水费交了70元，则用水量大致为35吨，可能已进入第二阶梯。

2.假设验证法：假设用量在第一阶梯，用第一阶梯公式计算，看结果是否与总费一致；若不一致，再假设在第二阶梯……直到找到正确的区间并列出方程。【★难点】

3.易错点：直接使用平均单价乘以总量，而忽略了阶梯内不同部分的单价不同。

（三）题型三：“综合费用”比较问题（长期决策）

题目特征：涉及两个方案的初始投入（如空调售价、打印机购买价）和长期运行成本（电费、耗材），需要从长远角度考虑综合费用。

考查方式：将数学知识与生活实际结合，培养理性消费和长期规划的意识。

解题要点：

1.明确综合费用的构成：综合费用=初始成本+使用年限×年运行成本。

2.设使用年限为t，分别写出两个方案的综合费用关于t的代数式。

3.令两个代数式相等，解出t，得到两种方案综合费用相同的年限。

4.结合产品的预期使用寿命，进行决策。如果计划使用年限小于临界点，选初始成本低的；如果计划使用年限大于临界点，选运行成本低的。【★★热点】

（四）题型四：“购物优惠”方案对比

题目特征：商场推出多种促销方式，如打折、满减、送券等，要求消费者根据购物金额选择最划算的方式。

考查方式：考查学生对各种优惠条款的理解能力和代数建模能力。

解题要点：

1.打折：实际付款=标价×折扣率。

2.满减：需要根据标价判断可以享受几次满减，实际付款=标价—减免金额。需注意“满XX减XX”通常是不叠加或有限制的。

3.送券：情况较复杂，通常需考虑用券购买的商品是否还能再返券，一般转化为实际现金支出与获得商品总价值的关系来计算折扣率，或直接按规则计算最终付款额。

4.比较时，同样是先列出各方案付款额关于购物金额（或数量）的代数式，再寻找临界点。

五、高频考点与考向预测【★★★必看】

（一）考向一：临界点的求解（必考）

几乎所有的方案选择问题，都绕不开求解那个使方案费用相等的“临界值”。这是将实际问题抽象为数学方程的关键一步。通常会设置在解答题的中前部分，难度不大，但要求计算准确。

（二）考向二：分类讨论思想的运用（核心素养）

这是本课时的灵魂。命题者会通过设计较为复杂的计费规则（如三段式阶梯、两种方案均有分段），来考查学生是否能不重不漏地对自变量的取值范围进行划分，并在每个区间内做出正确判断。

（三）考向三：从图表中提取信息的能力

题目常以表格形式给出计费标准，如月使用费、限定时间、超时费等。考查学生能否看懂表格中数字的含义，并将其转化为数学语言。【★基础】

（四）考向四：答案的规范表述

最终的结论不仅要算对，还要写对。常见的规范表述是：“当x＜…时，选A合算；当x＝…时，A、B费用相同；当x＞…时，选B合算。”不能只写出临界点而忽略了分区间讨论的结果。

六、思想方法与核心素养提炼【★★难点】

（一）建模思想

将生活中的计费、选择问题，通过设立未知数、寻找等量关系，抽象为数学模型——分段函数与一元一次方程。这是数学应用意识的集中体现。

（二）分类讨论思想

在面对不确定性问题时，将问题可能出现的不同情况分门别类地进行讨论，最后综合各类情况得到完整的结论。这是解决复杂问题的利器。

注意事项：分类要科学，标准要统一；讨论要全面，做到不重不漏；归纳要整合，条理清晰。

（三）方程与不等式思想

利用方程寻找平衡点，利用代入比较或作差比较来判定优劣。方程是桥梁，比较是目的。

（四）优化决策意识

通过数学计算和分析，在众多可能性中寻找最优解。这不仅是一种数学能力，更是一种生活智慧，引导学生理性思考，科学决策。

七、易错点与失分陷阱剖析【必纠错】

（一）忽略自变量取值范围

常见错误：在列出方程求解后，未检验求出的解是否在其假设的方程所对应的自变量取值范围内。

案例：假设在150<t<350区间内列方程求出一个t=400，这个解显然不在假设区间内，必须舍去，并需要重新审视是否在其他区间有解。

（二）分段计费表达式书写错误

常见错误：对于超过部分的计费，漏减基数。例如，超过3公里后每公里2元，应写为10+2(x-3)，而非10+2x。【★易错点】

应对策略：反复诵读题意，“超过部分”意味着只能对超出的量收费，必须减去标准内的量。

（三）遗漏分界点处的讨论

常见错误：只讨论了t<150，150<t<350，t>350，却忘记了t=150和t=350这两个点。虽然在连续区间内，端点通常不影响最终结论（可以归入相邻任一区间），但严谨的数学讨论应包含端点。

（四）方案比较时未分类

常见错误：只求出了临界点，就直接回答“当t等于某值时，两者一样”，而没有对临界点两边的情况进行说明，导致答案不完整，丢失主要得分点。

（五）对实际情境理解偏差

案例：在出租车计费中，忽略“不足1千米按1千米计算”这一规定，将小数直接代入方程，导致结果与实际不符。虽然初中阶段为简化计算常忽略“进一法”，但审题时必须看清题目要求。

八、拓展与提升：跨学科视野下的应用

（一）与地理学科的融合

学习“阶梯水价”、“阶梯电价”时，可以与我国水资源、能源分布不均的国情相结合。为什么南方水多地区水价可能较低，而北方缺水地区会实行阶梯水价以鼓励节约？这不仅是数学问题，更是资源管理