初中数学九年级中考复习知识清单：分式专题

初中数学九年级中考复习知识清单：分式专题

一、核心概念与基础夯实

【基础】【高频考点】

分式的定义是后续一切运算与应用的基石。形如A/B（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。这里需要特别强调的是，对分式定义的判定，必须基于化简前的原始形式，而非化简后的结果。例如，虽然x²/x可化简为x，但它本质上仍是分式。同时，要严格区分分式与整式，关键看分母中是否含有字母，特别注意像π这样的常数，它不是字母，因此诸如x/π这样的式子仍然是整式。这部分内容在甘肃中考中常以选择题或填空题的第一题出现，考查学生对代数式分类的辨析能力。

【重要】【难点】

分式有意义、无意义及值为零的条件是中考的必考点，也是后续学习分式方程和函数自变量取值范围的根基。分式有意义的条件是分母不为零，即B≠0；无意义的条件则是分母等于零，即B=0。这是最基本也是最重要的原则。而分式值为零的条件则更为苛刻，必须同时满足两个条件：分子为零且分母不为零，即A=0且B≠0。这是考生极易忽略分母不为零这一前提而产生失分的高频陷阱。解题时，通常先解出分子为零的方程，再将求得的解代入分母进行验证，舍去使分母为零的值。

二、分式的基本性质与变形

【基础】【核心性质】

分式的基本性质是分式恒等变形的理论依据，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。用公式表示为：A/B=A·C/B·C，A/B=A÷C/B÷C（其中C是不等于0的整式）。这一性质直接衍生出分式的约分和通分两大核心运算。

【重要】【约分与最简分式】

约分是分式化简的核心手段，其目的是将分式化为最简分式，即分子和分母没有公因式的分式。约分的关键在于准确找出分子与分母的公因式。找公因式的方法是：系数取分子与分母系数的最大公约数；字母取分子与分母共有的字母；指数取共有字母的最小指数。当分子或分母是多项式时，首要步骤是进行因式分解，将其转化为乘积形式，然后才能寻找公因式进行约分。这是分式运算中的第一个关键技能点，因式分解的熟练程度直接决定了约分的准确率。

【重要】【通分与最简公分母】

通分是将异分母分式化为同分母分式，以便进行加减运算。通分的关键是确定最简公分母。确定最简公分母的方法是：系数取各分母系数的最小公倍数；字母（或因式）取所有分母中出现的所有字母（或因式）；指数取各字母（或因式）的最大指数。与约分类似，当分母是多项式时，也必须先进行因式分解，然后才能准确找出最简公分母。通分过程中，要特别注意每一项分子所乘的因式必须与分母所乘的因式保持一致，以保证分式的值不变。

【基础】【符号法则】

分式的符号法则是处理分式中负号的有效工具，即分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。用公式表示为：-A/B=A/-B=A/B。利用这一法则，可以方便地调整分式中的负号位置，使其更符合我们的运算习惯，例如将分子或分母中的负号提到分式前面。

三、分式的运算

【重要】【高频考点】【难点】

分式的运算是甘肃中考数学的核心考查内容，通常以化简求值题的形式出现在解答题中，分值占比较高。它综合考查了因式分解、分式的基本性质、四则运算法则以及代值计算的能力。

【重要】【乘除与乘方运算】

分式的乘法遵循法则：分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母，即a/b·c/d=ac/bd。分式的除法则是将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘，即a/b÷c/d=a/b·d/c=ad/bc。在进行乘除运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解，再约分，最后计算乘积，这样能大大简化运算过程。分式的乘方是将分子、分母分别乘方，即(a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ（n为正整数）。需要注意的是，乘方运算要优先于乘除运算。

【重要】【高频考点】【加减运算】

分式的加减法分为同分母和异分母两种情况。同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即a/c±b/c=(a±b)/c。这里要特别注意，当分子是多项式时，相加减时必须给分子整体加上括号，以避免符号错误。异分母分式相加减，则必须先通分，化为同分母分式后，再按同分母分式的法则进行运算，即a/b±c/d=ad/bd±bc/bd=(ad±bc)/bd。

【重要】【高频考点】【混合运算与化简求值】

分式的混合运算顺序与有理数混合运算一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。运算过程中要合理运用运算律，如分配律、结合律，以达到简化计算的目的。

这是中考解答题中的必考题型。解题步骤分为两步：

第一步：化简。严格按照混合运算顺序，将给定的分式化简为最简分式或整式。

第二步：求值。将使原分式有意义的未知数的值代入化简后的式子进行计算。

【易错点警示】

1.运算顺序错误：如在进行乘除混合运算时，未按从左到右的顺序进行，而是盲目结合。

2.去括号错误：在分子是多项式进行减法运算时，忘记给分子加上括号，导致符号出错。

3.通分与去分母混淆：在分式加减运算中，错误地将分母去掉，这是将分式运算与解分式方程的步骤混淆所致。

4.代值不当：在选择代入的值时，必须确保该值使原分式中的所有分母（包括运算过程中产生的分母）都不为零。题目若要求“选择一个喜欢的数代入”，则所选数必须避开所有使分式无意义的根。

5.计算结果不规范：最终结果必须化为最简分式或整式。

【拓展提高】【整体代入思想】

在分式化简求值中，有一类题目并不直接给出未知数的具体值，而是给出一个关于未知数的关系式，如已知x²-x-1=0，求某个复杂分式的值。这时，往往不能求出具体x的值（可能为无理数，代入计算繁琐），而应运用整体代入的思想，将已知条件进行变形，如x²=x+1，或x-1/x=1等，代入所求分式，达到降次或化简的目的。这种思想能有效考查学生的代数变形的灵活性和思维的深刻性。

四、分式方程

【基础】【核心概念】

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。判断一个方程是否为分式方程，同样依据其形式，而非化简后。

【重要】【高频考点】【解法与验根】

解分式方程的基本思想是通过“去分母”将分式方程转化为整式方程求解。具体步骤为：

1.去分母：方程两边同时乘以最简公分母，约去分母，得到一个整式方程。

2.解整式方程：按照解整式方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求出未知数的值。

3.验根：这是解分式方程必不可少且极其关键的一步。将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则这个根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则这个根是原分式方程的增根，必须舍去。

【★【重要】★】产生增根的原因是因为去分母时，方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围。增根不是原分式方程的根，但它却是所化成的整式方程的根。

【难点】【含参分式方程】

根据分式方程解的情况求参数的值或取值范围，是近年来中考的热点与难点。

1.根据解的正负性求范围：先用含参的代数式表示出方程的解（如x=m），然后根据解为正、负或非负等条件列出不等式，但必须排除解为增根的情况，即解不能等于使最简公分母为零的值。

2.根据增根求参数：先将分式方程化为整式方程，再将增根（使最简公分母为零的x值）代入这个整式方程，即可求出参数的值。需要注意，分式方程的增根可能不止一个。

3.根据方程无解求参数：分式方程无解通常包含两种情况：一是将分式方程化为整式方程后，这个整式方程本身无解（如出现0x=a，a≠0的情况）；二是整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根。因此，求解时必须两种情况都考虑到，不可遗漏。

五、分式方程的应用

【重要】【热点】【建模能力】

列分式方程解决实际问题，是考查学生数学建模能力和应用意识的重要载体。这类问题通常涉及行程、工程、销售、浓度等问题。

【解题步骤】

1.审题：理解题意，明确已知量和未知量，找出题目中的等量关系。

2.设元：根据题意，合理设出未知数（通常直接设，有时也间接设）。

3.列方程：用未知数表示其他相关量，根据等量关系列出分式方程。

4.解方程：按解分式方程的步骤求解。

5.双重检验：首先检验求出的根是否是原分式方程的增根；其次，检验这个根是否符合实际问题的情境（如人数、长度、速度等必须是正数）。

6.作答：写出答案（包括单位）。

【常见模型】

1.行程问题：速度=路程/时间，常以“时间相等”或“速度差”作为等量关系。

2.工程问题：工作效率=工作总量/工作时间，常将工作总量看作“1”，以“工作时间差”或“合作效率”作为等量关系。

3.购买问题：单价=总价/数量，常以“单价差”或“数量差”作为等量关系。

【易错点】列方程时单位要统一；解出的未知数值要符合实际意义；作答要完整。

六、中考考向导航与解题策略

【考向分析】

根据近几年甘肃省及兰州市中考试卷分析，分式部分的考查呈现以下规律：

1.基础全覆盖：分式有意义、值为零的条件会出现在选择或填空题中，覆盖基础知识点。

2.计算是核心：一道约6-8分的化简求值题几乎是每年的标配。重点考查因式分解与分式运算法则的综合运用，难度中等，但极易失分。

3.应用渐增强：分式方程的应用题出现频率较高，往往结合社会热点或生活实际（如铁路提速、脱贫攻坚中的工程项目等），考查学生提取信息、建立模型的能力。

4.综合显能力：在压轴题中，分式有时会与反比例函数、一元二次方程根与系数的关系等知识结合，考查学生的综合数学素养。

【解题策略与规范】

1.因式分解先行：无论是在进行分式化简、解分式方程，还是确定最简公分母，只要遇到多项式，第一反应就是尝试对其进行因式分解。

2.括号意识强化：在分式加减，尤其是异分母加减的通分过程中，对于分子是多项式的