初中数学七年级上册（人教版）分段计费与方案选择问题复习知识清单

初中数学七年级上册（人教版）分段计费与方案选择问题复习知识清单

一、核心概念与基本模型解读【基础】

（一）分段计费问题的本质

分段计费问题是指将计费对象（如用水量、用电量、通话时间、打车距离等）划分为若干个不同的区间段，每个区间段内执行不同的计费单价或计费标准的实际问题。其核心特征在于计费结果随数量的变化呈现非线性增长，在不同的数量范围内，计费函数关系不同。此类问题的解决依赖于对自变量（通常为数量或时间）的准确分段，并针对不同区间构建相应的代数式。

（二）方案选择问题的本质

方案选择问题通常是指在面对两种或多种不同的计费策略、消费方案或购买方式时，需要根据自身的实际使用量或具体情况，通过分析、比较，选出最优（通常指最省钱或最合算）方案的一类决策性问题。其数学本质是比较不同方案所对应的函数值（如总费用）的大小，而比较的临界点往往来自于各方案费用相等时所对应的方程的解。

（三）核心思想方法

1.分类讨论思想：这是解决分段计费与方案选择问题最根本的思想。必须根据自变量的不同取值范围，分门别类地列出对应的表达式，不能笼统地用一个公式计算。

2.方程思想：通过寻找不同方案在某一特定状态下（如费用相等）的等量关系，建立一元一次方程，从而求出临界值（即方案选择的“拐点”）。

3.建模思想：将实际问题中的数量关系抽象为数学表达式（如分段函数），将比较决策问题抽象为数学模型，再用数学方法求解。

二、分段计费问题的标准解题流程与考点精析【非常重要】【高频考点】

（一）解题“三步曲”

1.明确分界点与收费标准：仔细审题，明确题目中规定的各个数量界限以及对应区间的收费标准。通常题目会以表格、文字叙述或图片形式给出。分界点是后续分类讨论的关键，必须准确提取。例如出租车问题中，3公里以内是一个区间，3-8公里又是一个区间。

2.判断数量所属区间并列出代数式：将题目中给定的数量（如用水量x吨）或未知数代入，判断其落在哪个收费区间内。然后根据该区间的规则，正确列出表示总费用的代数式。注意，当数量超过第一个分界点时，总费用往往是“前段满额费用”加上“超出部分费用”，而不是简单地将全部数量乘以超出的单价。

3.解方程或求值并检验：根据列出的代数式进行计算或建立方程求解。求出结果后，必须检验其结果是否与最初假设的数量区间相符。如果不符，说明假设的区间错误，需要重新假设并计算。这是分段计费问题最易出错的环节，即“验根”步骤。

（二）常见题型与考查方式

1.正向求值型（已知数量，求费用）【基础】：直接根据给出的数量，判断其所在的收费段，代入相应的表达式计算即可。主要考查对分段规则的理解和代数式的简单计算。

2.逆向求量型（已知费用，求数量）【难点】【高频】：这是考试中的核心考查点。其难点在于无法直接确定已知的总费用对应的是哪一个收费区间。因此，解题时必须采用“先估计，后验证”的策略。

解题步骤：

1.3.估算临界点费用：计算每个收费分界点处所需的“满额费用”。例如，对于阶梯水价，计算用水量刚好达到第一阶梯上限时的费用，以及刚好达到第二阶梯上限时的费用。

2.4.定位区间：将已知的总费用与这些临界点费用进行比较。若总费用小于或等于第一阶梯上限费用，则属于第一段；若总费用大于第一阶梯上限费用但小于或等于第二阶梯上限费用，则属于第二段；以此类推，准确定位出数量所处的范围。

3.5.列方程求解：设未知数量为x，根据定位出的区间，用包含x的代数式表示总费用，并令其等于已知总费用，建立方程求解。

4.6.检验：将求得的x代入原题，检验其是否满足定位时的区间假设。

7.图表信息型【热点】：题目给出计费表格或图像，要求从中提取关键信息（如基本费、限定时间、超时费等），再结合以上两种题型进行考查。这要求学生具备较强的信息提取和数据处理能力。

（三）易错点警示

1.区间划分错误：忽略“不超过”、“超过”、“以上”、“以下”等词语是否包含等于号，导致区间划分重叠或遗漏。

2.表达式书写错误：在计算超出部分的费用时，误将超出部分的总量算错，例如用水量a，第一段上限为b，则超出部分应为(a-b)，而不是a。

3.逆向求解未验证：求出未知数的值后，不检查该值是否在最初假设的区间内，导致最终答案错误。

4.单位不统一：在列式前未统一题目中出现的单位（如小时与分钟、千米与米）。

三、方案选择问题的标准解题流程与考点精析【非常重要】【热点】

（一）解题“四步法”

1.设出关键未知数：通常选择影响方案选择的关键变量作为未知数，如通话时间、复印页数、使用年数等，设为x。

2.分别列出各方案的代数式：根据题目给出的规则，针对不同的情况（特别是需要分段讨论的情况），用含x的代数式表示出每种方案所需的费用（或总支出）。在此步骤中，通常需要借助表格来梳理信息，使关系更加清晰。

3.寻找“临界点”：令两个不同方案的代数式相等，建立关于x的一元一次方程。解这个方程得到的x值，就是两种方案费用相同时的“平衡点”或“临界值”。

4.分类讨论并作出决策：

1.5.选取一个小于临界点的值（或在某一段区间内的值），代入比较两个方案的费用大小，从而判断出在这一范围内哪个方案更优。

2.6.选取一个大于临界点的值（或在另一段区间内的值），同样代入比较，判断出另一范围内的最优方案。

3.7.如果方案本身有分段计费要求（如电话计费中的方式一），则需先结合分段计费的逻辑，在不同的大区间内分别寻找可能的临界点。

（二）常见模型与题型拓展

1.“电话计费”模型（经典模型）：

1.2.特征：两种方案均有“月使用费”、“主叫限定时间”和“主叫超时费”。

2.3.分析关键：主叫时间t的取值跨越不同的限定时间（如150分钟和350分钟）时，费用的表达式会发生改变。因此，需要以这些限定时间为分界点，划分出t≤150、150＜t≤350、t＞350等几个大区间。在每个大区间内，再将具体的表达式列出，并寻找可能存在的平衡点（如270分钟）。最后，根据平衡点对各区间的结论进行综合，给出最终的选择建议（如t＜270选方式一，t＞270选方式二）。

4.“购买与租赁”模型：

1.5.特征：一种方案是直接购买（前期投入大，后期无或费用低），另一种方案是租赁或按次付费（前期无投入，但后期单价高）。如“买空调算电费”、“买单车vs租单车”、“办会员卡打折vs不办卡”等。

2.6.分析关键：设使用时间为t（或次数、年数），分别写出两种方案的总费用表达式（通常是一次函数形式）。令两式相等，解出临界时间t₀。若实际使用时间t＜t₀，则选择前期投入小、后期单价高的方案（如租赁）更划算；若t＞t₀，则选择前期投入大、后期单价低的方案（如购买）更划算。

7.“打折与优惠”模型：

1.8.特征：两种不同的打折促销方式。例如，“全场八折”与“满200减50”；“A店：超过20页后降价”与“B店：全部九折”。

2.9.分析关键：同样需要设出购买量x，分别列出两种方案的实际付款金额。由于打折方式可能涉及分段（如A店），因此也需要先对x进行分段，再在每一段内进行比较。

（三）易错点警示

1.忽略方案本身的分段：在比较前，未将各方案自身的分段计费规则考虑周全，导致漏掉某些区间内的比较（如电话计费问题中，只考虑了150＜t＜350，忘了t＞350的情况）。

2.临界点归属不清：求出的临界点属于哪个区间，该点处两种方案相等，选择任意一个均可。但在书写结论时，要注意不等号是否包含等于号。

3.综合性问题逻辑混乱：当方案选择与分段计费结合时，未能理清先分段、后比较的逻辑顺序，导致列式错误。

四、跨学科视野与高阶思维拓展【难点】

（一）与地理学科的融合

“阶梯电价”、“阶梯水价”本身就是基于地理学中的资源分布不均和可持续发展理念而制定的政策。通过计算不同家庭用电/用水量下的费用，可以引导学生理解国家通过价格杠杆调节资源消耗、鼓励节约环保的政策意图。复习时可以结合我国水资源的时空分布特点，讨论阶梯水价在不同地区的差异化实施标准，培养学生的社会责任感。

（二）与经济学中的边际成本概念链接

方案选择问题的本质是比较不同方案的边际成本。以空调购买为例，1级能效空调比3级能效空调贵的“差价”，可以看作是前期多付的“固定成本”；而每年节省的电费，则是每年减少的“边际成本”。当节省的电费累计超过购买时的差价时（即超过5年），投资更节能的产品就变得划算。这能帮助学生建立初步的投资回报率分析思维。

（三）信息技术应用

引导学生利用Excel或WPS表格软件，对方案选择问题中的数据建模。通过输入不同的x值，表格自动计算并比较两种方案的费用，并利用图表功能（如折线图）直观展示两条费用直线的变化趋势及其交点。这不仅能加深学生对临界点概念的理解，还能培养他们利用现代技术解决复杂问题的能力。

五、典型例题精析与解答要点

（一）分段计费逆向求解例析

题目：某市出租车收费标准为：起步价10元（3千米及以内），超过3千米后，每千米加收2.4元（不足1千米按1千米算）。某人乘坐出租车付费17.2元，求他乘坐的路程最多是多少千米？

解答要点：

1.估算临界点：3千米时付费10元；行驶到8千米时（若按标准，3-8千米共5千米，加收5×2.4=12元），总费用为10+12=22元。已知付费17.2元，介于10元和22元之间，因此可判断路程x满足3＜x≤8。

2.设未知数：设路程为x千米（x＞3）。

3.列方程：起步价10元+超出部分(x-3)千米×2.4元/千米=总费用17.2元，即10+2.4(x-3)=17.2。

4.求解与检验：解得x=6。6千米在3到8之间，符合假设。因此，他乘坐的路程最多是6千米（因为不足1千米按1千米算，付费17.2元对应的里程范围是大于5千米且不超过6千米，所以最多是6千米）。

（二）方案选择综合例析

题目：学校需要复印一批资料。甲复印社说：“每次复印收取制版费10元，然后每张复印费0.5元。”乙复印社说：“不收制版费，但每张复印费1.2元。”请问，在什么情况下选择甲复印社更合算？

解答要点：

5.设未知数：设复印张数为x张。

6.列代数式：甲社费用：10+0.5x；乙社费用：1.2x。

7.找临界点：令10+0.5x=1.2x，解得0.7x=10，x=100/7≈14.3（张）。由于复印张数为整数，临界点在14张和15张之间。

8.分类讨论：

1.9.当x≤14时，取x=10，甲：10+5=15元，乙：12元，乙合算；

2.10.当x=15时，甲：10+7.5=17.5元，乙：18元，甲合算；

3.11.当x≥15时，甲的费用始终低于乙。

12.得出结论：当复印张数大于或等于15张时，选择甲复印社更合算；当复印张数小于15张时，选择乙复印社更合算。

六、复习建议与应试策略

（一）知识网络构建

将本课时知识点置于“一元一次方程的应用”这一大框架下，与行程问题、工程问题、配套问题等并列，理解其特殊性在于“分段”和“比较”。复习时，要从“数量关系”入手，而非死记硬背题型。

（二）错题本整理建议

1.记录因区间判断错误而失分的题目，在旁边用红笔重新画出分