2026高考数学复习必刷大题21 解析几何

必刷大题21解析几何

1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（2，－2），C（－7，1），试求：

（1）BC边上的高所在的直线方程；

（2）△ABC的面积.

－－

解：（）因为＝＝－，则边上的高的斜率为，又经过点，故方程为－

1kBC）BC3Ay

211

3＝3（x－3），化简得2−(3−x7－y－63＝0.

（2）BC＝（）＋－）＝3，直线BC方程为y＋2＝－（x－2），整理得

221

｜｜

x＋3y＋4＝0，则2+A7到直线(B−C2的距1离为10＝，则△ABC的面积3为×3×

3+3×＋3+416116

221021010

＝24.13

2.已知直线l：（k－1）x－2y＋5－3k＝0（k∈R）恒过定点P，圆C经过点A（4，0）和点

P，且圆心在直线x－2y＋1＝0上.

（1）求定点P的坐标；

（2）求圆C的方程.

解：（1）由题意，直线l：（k－1）x－2y＋5－3k＝0（k∈R），

化简得k（x－3）－（x＋2y－5）＝0，

－，，

令解得

－，，

�3=0�=3

即直线恒过定点（，）

�+2�5=0P31�.=1

（2）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），

＋，

由条件可得＋＋，解得＝－，＝－，＝，2＋2－＝

16+4��=0D14E8F40DE4F

－－－，

9+1+3���=0

��

100＞0，22×2+1=0

即圆C的方程为x2＋y2－14x－8y＋40＝0，

即（x－7）2＋（y－4）2＝25.

已知双曲线：－＝（＞，＞）经过点（，），且渐近线方程为＝±

3.C221a0b01yx.

��

22

（1）求C的方程�；�3

（2）若抛物线x2＝2py（p＞0）与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点.

解：（）因为双曲线：－＝（＞，＞）经过点（，），且渐近线方程为

1C221a0b01y

��

22

＝±x，��3

所以－＝1，＝1，解得a＝b＝，

31�

22

所以�的�方程为�－＝2

C221.

��

（2）证明：设A2（x12，y1），B（x2，y2），则＝2py1，，

22

�1�2=2��2

1/4

，

由可得y2－2py＋2＝0，Δ＝4p2－8＞0，

2－

�2=22��

��

即p2＞2时=，1有y1＋y2＝2p，y1y2＝2，

＝＝

所以x1x2·2p，

－1＋2

因为AB＝2��＝2��，

k－2

�1�2�1�2

�1�22�＋

所以直线AB的方程为y－y1＝（x－x1），

�1�2

＋＋＋2�＋

即y＝x－x1＋y1＝x－＝x－，

�1�2�1�2�1�2�1�2�1�2

所以直线2�AB过定2�点（0，－2�）.2�2�2

已知椭圆：＋＝（＞＞）的左、右焦点分别为（－，），（，）且

4.C221a2b0F10F20

��

22

经过点P（，�2）�.33

（）求椭圆的标准方程；

13C

（2）若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.

解：（1）由椭圆的定义，可知2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝（）＋2＝4＋2＝6，

2

解得a＝3，又b2＝a2－（）2＝6.23+4

∴椭圆的标准方程为＋＝

C2321.

��

22

（2）设直线l的方程为9y＝x6＋m，联立椭圆方程，得5x＋6mx＋3m－18＝0，

Δ＝36m2－60m2＋360＞0，得－＜m＜，

－

设（，），（，），则＋＝－，＝，

Ax1y1Bx2y21x51x215x1·x22

6�3�18

55

∴｜AB｜＝·（＋）－·

2

2－�1�24�1�2

＝·－＝·－，

22

36�12�72432

｜｜

点O2（0，250）到直5线l：x＋5y－1m5＝�0的距离d＝，

�

｜｜2

∴S△AOB＝｜AB｜·d＝××－×＝

11432�

225－15＋�2

（－）·≤（）＝×＝.

222

622615��61536

当5且仅1当515�－m2＝�m2（5－＜m2＜），即5m22＝2，m＝±时取等号.

1530

∴△AOB面积的最大值为1.51522

36

已知双曲线：－＝2（＞，＞）的离心率为，右焦点与点（，）的

5.C221a0b0FM02

��

22

连线与其一条渐近�线平�行.55

（1）求双曲线C的方程；

（2）经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A，B，试问是否存在一定点P，使∠OPA

＝∠OPB恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2/4

解：（1）设F（c，0），由条件知FM的斜率等于－，

�

－

即＝－，又∵e＝＝，c2＝a2＋b2，∴b＝2，a�＝1，

25��

∴双�曲线�的方程为�2－5＝

Cx21.

�

（2）存在点P满足∠OPA4＝∠OPB恒成立，且点P在x轴上.

理由如下：设点P（t，0），∵l过点F（，0），∴设直线l：x＝my＋，

＝＋，55

由消去x得（4m2－1）y2＋8my＋16＝0，Δ＝64（m2＋1）＞0，

－

���25

2�5

设�（，4=）1，（，），由根有系数的关系得＋＝－，①

Ax1y1Bx2y2y1y2－

85�

2

＝，②4�1

y1·y2－

16

2

∵∠OP4�A＝1∠OPB，∴PA，PB的斜率之和为0，

即＋＝，∵＝＋，＝＋，

－－0x1my1x2my2

�1�2

12

∴代�入�整�理得�2my1·y2＋（－t）5（y1＋y2）＝50，③

（－）

将①②代入③可得－＝，即（－）＝，④

－5－08mt10

32�85�5�

22

∵④式对任意实数4m�都1成立，4�∴t＝1，5

5

∴P（，0），即存在点P满足∠O5PA＝∠OPB恒成立，且点P在x轴上.

5

2

6.已知抛5物线C：y＝2px（p＞1）上的点P（x0，1）到其焦点F的距离为.

5

（1）求抛物线C的方程；4

（2）点E（t，4）在抛物线C上，过点D（0，2）的直线l与抛物线C交于A（x1，y1），

B（x2，y2）（y1＞0，y2＞0）两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，

OB交于点M，N（O为坐标原点），求证：｜AM｜＝｜MN｜.

2

解：（1）由点P（x0，1）在抛物线上可得，1＝2px0，解得x0＝.

1

2

由抛物线的定义可得｜PF｜＝x0＋＝＋＝，整理得2p－5p＋22�＝0，

�1�5

解得p＝2或p＝（舍去）.故抛物线2C2�的方2程4为y2＝4x.

1

2

（2）证明：由E2（t，4）在抛物线C上可得4＝4t，解得t＝4，所以E（4，4），直线OE

的方程为y＝x，

因为点A和点H关于x轴对称，所以H（x1，－y1），x1，x2均不为0.

由题意知直线l的斜率存在且大于0，设直线l的方程为y＝kx＋2（k＞0），

＝，

联立消去y得k2x2＋（4k－4）x＋4＝0.

���+2