2026高考数学复习必刷小题8 三角恒等变换与解三角形

必刷小题8三角恒等变换与解三角形

一、单项选择题

1.平面直角坐标系中，角α的终边经过点P（－，），则cos（2α－）＝（）

525π

－

A.553

3433+43

－－－

C.10B.10

3+43343

解析1：0D因为角α的终边经过点P（D－.，10），所以r＝1，由三角函数的定义可知，sinα

525

＝，cosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝5－5，sin2α＝2sinαcosα＝2××（－）＝－，

25532554

cos（52α－）＝co5s2αcos＋sin2αsin＝－5×＋（－）×＝－5.故选D.55

πππ31433+43

2.已知a，3b，c分别为△A3BC的内角A，3B，5C的2对边，5acosC2＋as1i0nC－b－c＝0，则A

＝（）

3

A.B.

ππ

C.2D.3

ππ

解4析：B已知等式利用正弦定理化简6得：sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0，∴sin

＋－（＋）－＝，即＋－－

AcosCsinAsinCsinACsinC0sinA3cosCsinAsinCsinAcosC

－＝，∴－－＝，∴＝＋，

cosAsinC3sinC0sinAsinCcosAsinCsinC03sinAcosA1

法一：sinA－cosA＝1，3即sin（A－）＝，3

π1

又－＜A3－＜，∴A－＝，即A＝6.2

ππ5ππππ

法二：66＝6，∴tan6＝6＝3，

sin�3�sin�3

∴＝，1+即cos�A＝3.故选B.21+cos�3

�ππ

（＋）（－）

263·

3.若0＜α＜π，则��＝（）

1+sin�cos�cos2sin2

A.sinα2+2cosB�.cosα

C.－sinαD.－cosα

解析：B∵0＜α＜π，∴0＜＜，

�π

（＋）（－）

·22

∴��

1+sin�cos�cos2sin2

（2+2cos）�·（－）

＝2�����

2𝑐�2+2sin2cos2co－s2sin2

2�2�2�2�

2（𝑐�2+＋2si�2）+2·（𝑐�2－2si�2）

＝�����

2cos2cos2sin2cos2sin2

�

＝cos2－sin2＝2cocso2sα，故选B.

��

4.已知20＜α＜2＜β＜π且sinα＝，cos（β－α）＝，则β＝（）

π42

A.2510

π2π

C.3B.3

π3π

4D.4

1/6

解析：D因为sinα＝，且0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π，因为cos（β－α）＝，所

4π2

5210

以0＜β－α＜，所以cosα＝－＝，sin（β－α）＝－（－）＝，所以

π23272

cosβ＝cos[（2β－α）＋α]＝cos（1β－si�α）�co5sα－sin（β－α）·si1nα＝𝑐�×�－�×＝1－0，因

237242

为＜β＜π，所以β＝.故选D.1051052

π3π

5.已2知△ABC中，内角4A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA＋cosB＝0，C＝，则＝

π�

（）6�

－

A.2－

62

＋

C.3�.4

623

解析4：D依题意sinA＋cosB＝0，sin�（.B3＋C）＋cosB＝0，sin（B＋）＋cosB＝0，sin

π3

B＋cosB＝0，sin（B＋）＝0，由于0＜B＜，＜B＋＜，所以6B＋＝π，B＝2，A

3π5πππ7ππ2π

233633633

＝π－－＝.由正弦定理得＝＝1＝，故选D.

π2ππ�sin�23

3

636�sin�3

设，为锐角，且－＝，2＝，则＝（）

6.αβ2αβ＋1x

πtan�cos�

A.12B�.2sin�

C.

解析：A∵2α－β＝，∴β＝2α－，

3πD.π2

－22

∴π＝1，即＝1，

＋－－

tan�cos2�2tan�sin2�

π

∴x�＝scinos22�α＋2tanαsin2�α＝cocs2o�s2α＋2sin2α＝1，故选A.

7.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b2＋c2－bc＝3，则

△面积的取值范围是（）

ABC3

A.，，

333333

C.2，4�.2，4

333333

＋－

解析4：4由于＝，2＋2－�＝.，44＝＝，且∈（，），所以＝，

Aabcbc3cosA222A0πA

���1π

2��23

那么外接圆半径为R＝3×＝1，所以S△ABC＝bcsinA＝·2RsinB·2Rsin－＝sinB

13132π

3

2243�3

（cosB＋sinB）＝sinB2cosB＋sin2B＝sin2B＋（－cos2B）＝

31333311

2－22＋＝sin2－＋4.由于△2ABC2为2锐角三角形，所以0＜B＜，

33133π3π

02＜C2＝siπn－2�A－2Bc＝os2�－B＜4，所2以＜2�B＜6，所4以＜2B－＜，＜sin－≤1，故2

2ππππππ5π1π3

3262666262

＜S△ABC≤.故选A.2�

33

8.如图矩形4ABCD中，AB＝6，沿PQ对折使得点B与AD边上的点B1重合，则PQ的长度

可以用含α的式子表示，那么PQ长度的最小值为（）

2/6

A.4B.8

C.6

93

解析：2D设｜PQ｜＝y，｜PB｜�＝.｜2PB1｜，∠APB1＋∠B1PB＝180°，2α＋∠B1PB＝180°，

则∠APB1＝2α，则有｜PB｜＝ysinα，｜PA｜＝｜PB1｜cos∠APB1＝｜PB｜cos2α，代入｜

｜＝｜｜＋｜｜＝，解得＝＝，令（）＝（－2）

ABPAPB6y（）（－）gt2t1t

66

2

和t＝sinα∈（0，），导函数g'（t）s＝in�2－1+6cto2s，2�即可2得sin�g（1t）si�的�最大值在t＝时取得，

23

23

此时g（）＝，求得此时ymin＝，故选D.

34393

二、多项3选择题92

9.下列四个等式正确的是（）

A.tan25°＋tan20°＋tan25°tan20°＝1

B.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝45

C.cos4－sin4＝

ππ1

D.－88＝42

°°

13

°＋°

解s析in1：0ADcos10∵tan（25°＋20°）＝＝1，∴tan25°＋tan20°＋tan25°tan20°＝1，

－°°

tan25tan20

故A正确；设S＝sin21°＋sin22°＋1sint2a3n°2＋5ta…n2＋0sin289°，则S＝cos289°＋cos288°＋cos287°＋…

＋cos21°，而sin2α＋cos2α＝1，故2S＝89即S＝，故B错误；cos4－sin4＝（cos2＋sin2）

89ππππ

°－°

（cos2－sin2）＝cos2－sin2＝cos＝，故C2错误；－8＝88＝8

°°°°

πππππ213cos103sin10

（8°－8°）（8°8°－4°2°）°sin10cos10sin10cos10

13＝＝＝4，故D正确，故选A、D.

°°

22cos102sin102sin30cos10°cos30°sin102sin20°

11

10.已si知n10函co数s10f（x）＝asinx2－×2csion1s0x（cosx10∈R）的图2象sin2关0于直线x＝对称，则下列结论正确的是

π

（）6

A.a＝－

3

B.f（x）在3［－，］上单调递增

ππ

C.f（x）的最大值3为12

23

D.把f（x）的图象向左3平移个单位长度，得到的图象关于点（，0）对称

π3π

解析：AC对A，函数f（x12）＝asinx－cosx（x∈R）的图象关于4直线x＝对称，故f（0）

π

＝f（），所以－1＝asin－cos＝a－，解得a＝－，故A正确；对B，6f（x）＝－sin

πππ3133

x－co3sx＝－sin（x＋）3，当x3∈［2－，2］时，x＋3∈［0，］，此时f（x）是减函3数，

23ππππ5π

故B错误；对3C，f（x）3＝－sin（x＋3）12最大值为3，故C1正2确；对D，把f（x）的图

23π23

333

3/6

象向左平移个单位长度，得到g（x）＝－sin（x＋＋）＝－sin（x＋）的图象，

π23ππ235π

又＋＝12，不为对称点处的横坐标，故D3错误.故选1A2、3C.312

3π5π7π

11.4已知12a，6b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（）

A.若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC是锐角三角形

B.若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形

C.若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形

D.若＝＝，则△ABC是等边三角形

���

解析c：os�ACDcos�∵ctoasn�A＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＞0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A

正确；由acosA＝bcosB及正弦定理，可得sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC

π

是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可2知sinBcos

C＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，∴选项C正确；由已知和正弦定理，易知

tanA＝tanB＝tanC，∴选项D正确.

＋

12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.其面积为S，周长为L.若asin＝csinA，

��

且c＝2，则（）2

A.C＝

π

B.S的6最大值为

C.△ABC的外接圆3半径为

23

D.L的最小值为63

＋＋

解析：BC因为asin＝csinA，所以由正弦定理得sinAsin＝sinCsinA，因为sin

����

－

A≠0，所以sin＝sin2C，所以cos＝2sincos，因为0＜＜2，所以cos≠0，所以

π�����π�

sin＝，所以＝2，所以C＝，所以A2错误；2设△2ABC的外接2圆半2径为R，则由2正弦定理

�1�ππ

得2＝22R，即2＝62R，得R＝3，所以C正确；由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，所

�223

π

以s4in＝�a2＋b2－asibn≥32ab－ab＝ab，3当且仅当a＝b时取等号，所以ab的最大值为4，所以S

的最大值为absinC＝×4×＝，所以B正确；由正弦定理得＝＝＝＝，

113���243

π

2223sin�sin�sin�sin33

所以a＝sinA，b＝·sinB，所以a＋b＝（sinA＋sinB）＝［sinA＋sin（－A）］

434343432π

＝（si3nA＋cosA）3＝4（·sinA＋cosA3）＝4sin（A＋），因3为0＜A＜，所3以＜A

433331π2ππ

＋＜32，所以＜2sin（A＋）≤21，所以22＜4sin（A＋）≤46，所以2＜a＋b≤43，所以64＜a

π5π1ππ

＋b6＋c6≤6，所2以周长的最6大值为6，无最小值，所以6D错误.故选B、C.

三、填空题

已知＝＋，且∈（，），则（－）＝

13.sinαcosαα0（－）.

1πcosπ2�

π

答案：22sin�4

14

2

4/6

解析：∵sinα＝＋cosα，即sinα－cosα＝，∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝，即

111

2sinαcosα＝＞02，∵α∈（0，），∴sinα＞20，cosα＞0，∴（sinα＋cosα）2＝1＋2s4inαcos

3π

（－）－（＋－）

＝，即4＋＝，∴2＝＝－＝（

αsinαcosα（－）－cos

77cosπ2�（co－s2�）2cos�sin�)(cos�sin�

π2

42sin�4sin�cos�sin�cos�2

α＋sinα）＝.2

14

14.在△ABC中2，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsinB＝

，则△的面积为

2sinCABC.3

答案3：

3

＋－

解析：因2为2＋2－2＝，所以由余弦定理得＝＝＝，又＜＜，

abcabcosC2220Cπ

���3��3

所以C＝.因为acsinB＝23sinC，所以结合正弦定理可得abc2＝��2c，2所��以a2b＝2.故S△ABC

π

＝absinC6＝×2sin＝3.33

11π3

152.设函数f（2x）＝3sinω6x＋s2in（ωx＋）（ω＞0），已知f（x）在[0，π]上有且仅有3个极

π

值点，则ω的取值范围是.3

答案：（，］

710

解析：f（3x）＝3sinωx＋sin（ωx＋）＝sinωx＋sinωxcos＋cosωxsin＝sinωx＋cosωx

πππ33

＝（sinωx＋cosωx）＝si3n（ωx＋），当x∈[0，3π]时，ωx＋3∈［2，ωπ＋2］，

31ππππ

令t＝3ωx2＋，则t∈2［，ωπ＋3］，作出函6数y＝sint（