2026高考数学复习必刷小题10 平面向量

必刷小题10平面向量、复数

一、单项选择题

1.若复数z＝，则2i·z的虚部是（）

1

A.i1+iB.2i

C.1D.2

－

解析：＝＝＝－，＝（－）＝（－）＝－2＝＋，故虚部是

Cz（－）i2i·z2iii1iii1i

11i1111

1.故选C.1+i1+i)(1i2222

2.已知△ABC满足＝2·，则△ABC的形状为（）

直角三角形2等边三角形

A.������B.

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

解析：D根据＝2·得c2＝2bccosA，即c＝2bcosA，由正弦定理可得sinC＝2sin

，又＝2[－（＋）]＝（＋），∴（＋）＝＋

BcosAsinC��sin��ABsinABsinABsinAcosBcosAsinB

＝2sinBcosA，即sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin（A－B）＝0，且A和B都为三角形的内

角，∴A＝B，则△ABC的形状为等腰三角形.故选D.

3.已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），若＋2＝b＋i，则｜z｜＝（）

�

2023

A.B.2i

C.3D.3

解析5：C∵＋2＝＋2＝2＋ai＝b＋i，∴a＝1，b＝2，故z＝1＋2i，因此｜z｜＝＋

��i

2023202422

＝.故选Ci.i12

已知向量＝（，），＝（，），＝＋，若＜，＞＝＜，＞，则＝（）

4.5a34b10catbacbct

A.－6B.－5

C.5D.6

解析：C由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c

＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即

·＝·，即＝＋，解得＝，故选

｜｜｜｜3tt5C.

����25+3�

5.�在||�平面直�|角|�坐标系5xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝（1，0），则满足

不等式＋a·≤0的点A（x，y）构�成�的�集�合用阴影表示为（）

2

����

解析：B∵A（x，y），向量与关于y轴对称，

∴B（－x，y），＝（－2x，�0�）.�∵�＋a·≤0，

∴2＋2－＝（－）2＋2－≤，故满2足要求的点（，）在以（，）为圆心，

xy2xx��1y10����Axy101

为半径的圆上以及圆的内部.故选B.

1/5

6.已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点（包含端点），则·的取值

范围为（）

����

A.－，－，

11

C.[0，42]2BD..[0，44]4

解析：A以AB的中点O为坐标原点，，的方向为x，y轴正方向，建立如图所示的

－－≤≤

平面直角坐标系，则A（1，0），B（1，��0）�，�C（0，），设P（m，0）（1m1），

∴＝（1－m，0），＝（－m，），∴·＝m23－m＝－－，则当m＝时，

1211

（��·）min＝－；当�m�＝－1时，（3·）�m�ax�＝�2，∴·的�取值2范围4为－，2.故

11

选�A�.��4��������42

7.已知复数z＝cosθ＋isinθ（其中i为虚数单位），下列说法不正确的是（）

A.z·＝1

B.z＋�为实数

1

C.若θ�＝，则复数z在复平面上对应的点落在第一象限

8π

D.若θ∈（30，π），复数z是纯虚数，则θ＝

π

2222

解析：C对选项A，z·＝（cosθ＋isinθ）（2cosθ－isinθ）＝cosθ－（isinθ）＝cosθ＋sinθ

＝，故正确；对选项，因为＋＝＋＋＝＋＋

1A�Bzcosθisinθ＋cosθisinθ

11

－

＝＋＋�－＝cos�，i所sin�以＋为实数故正确；对

（＋－）cosθisinθcosθisinθ2cosθz.B

cos�isin�1

选c项os�Ci，sin因�)(为cosθ�＝isin�为第二象限角，所以cos＜0，sin＞0，所以z�＝cos＋isin在复

8π8π8π8π8π

3333，3

平面对应的点落在第二象限.故C不正确；对选项D，复数z是纯虚数，则又因

，

cos�=0

为∈（，），所以＝，故正确故选

θ0πθD.C.sin�≠0

π

8.已知A，B，C是平面上不2共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝（2＋

11

＋），则点P一定为△ABC的（）��3��2��

1

A.B2�C�边中线的中点

B.BC边中线的三等分点（非重心）

C.重心

D.BC边的中点

解析：B设BC的中点为M，

则＋＝，

11

2��2����

2/5

∴＝（＋2）＝＋，

112

即�3�＝3��＋2�，�也就3是��＝3�2�，

∴，，三点共线，

P��M�A�������

且P是AM上靠近A点的一个三等分点.

二、多项选择题

9.已知z1，z2均为复数，则下列结论中正确的有（）

A.若｜z1｜＝｜z2｜，则z1＝±z2

B.若z1＝，则z1＋z2是实数

（－）2＝｜－｜2

C.z1z�22z1z2

D.若z1＋z2＝0，则z1是实数

解析：＝，＝－，｜｜＝｜｜而≠±，错；令＝＋，则＝－，

BDz11z2�2iz1z2z1z2Az1abiz2abi

222

z1＋z2＝2a为实数，B对；z1＝1，z2＝i，（z1－z2）＝－2i，｜z1－z2｜＝2，则（z1－z2）≠｜

2

z1－z2｜，C错；令z1＝a＋bi，则z2＝－a－bi，＝－a＋bi，z1·＝（a＋bi）（－a＋bi）

＝－2－2为实数，对，故选、

abDBD.�2�2

10.已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的是（）

A.（a＋b）⊥a

B.向量a与向量b的夹角为

3π

C.｜2a＋b｜＝4

向量在向量上的投影向量是（，）

D.b1a013

解析：AB对于A选项，a＋b＝（3，－1），所以（a＋b）·a＝3－3＝0，故（a＋b）⊥a，

·－

A对；对于B选项，cos＜a，b＞＝＝＝－，因为0≤＜a，b＞≤π，故＜a，

｜｜·｜｜

��102

b＞＝，B对；对于C选项，2a＋b�＝2（�1，3）10×＋2（52，－24）＝（4，2），故｜2a＋b｜＝

3π

4（－）

，错；对于选项，向量在向量上的投影向量为｜｜＝

2CDbabcos·｜｜2

3π�25×2

（15，3）＝（－1，－3），D错.故选A、B.4�10

11.引入平面向量之间的一种新运算“ⓧ”如下：对任意的向量m＝（x1，y1），n＝（x2，

y2），规定mⓧn＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有（）

A.aⓧb＝bⓧa

B.（λa）ⓧb＝λ（aⓧb）

C.a·（bⓧc）＝（aⓧb）·c

D.｜a｜·｜b｜≥｜aⓧb｜

解析：ABD设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），c＝（x3，y3）.A项，因为aⓧb＝x1x2－y1y2，

bⓧa＝x2x1－y2y1，所以aⓧb＝8bⓧa，故正确；B项，因为（λa）ⓧb＝（λx1）x2－（λy1）

y2＝λ（x1x2－y1y2）＝λ（aⓧb），故正确；C项，a·（bⓧc）＝（x2x3－y2y3）a，（aⓧb）·c

＝（x1x2－y1y2）c，此时a·（bⓧc）＝（aⓧb）·c不恒成立，故错误；D项，因为（｜a｜·｜

b｜）2＝（＋·＋）2＝＋＋＋，｜aⓧb｜2＝＋－

2222222222222222

1122212122122112122

2x1x2y1y2，所以�（�｜a｜�·｜b�｜）－�｜�aⓧb�｜�＝��＋��＋2x1x2y1y2＝（�x1y�2＋x�2y1�）≥0，

2222

3/5�1�2�2�1

所以（｜a｜·｜b｜）2－｜aⓧb｜2≥0，且｜a｜·｜b｜≥0，｜aⓧb｜≥0，所以｜a｜·｜b｜

≥｜aⓧb｜，故正确，故选A、B、D.

12.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.若＝＋，则点M是边BC的中点

11

B.若��＝2��－2�，�则点M在边BC的延长线上

C.若��＝－��－��，则点M是△ABC的重心

D.若��＝x��＋y��，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的

11

解析�：�ACD��若��＝＋2，则点M是边BC的中点，故A正确2；

11

若＝2－�，�即有2��－2��＝－，

即��＝��，����������

则点在边的延长线上，故错误；

��M��CBB

若＝－－，即＋＋＝0，

则点是△的重心，故正确；如图

��M��ABC����C����

，＝x＋y，且x＋y＝，

1

可得��2�＝�2x��＋2y，2

设＝�2�，����

则为的中点，

�M�A�N�

则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确.

1

故选A、C、D.2

三、填空题

13.复数z＝（2cosθ－1）＋（2sinθ＋）i为纯虚数，则tanθ＝.

答案：

3

解析：∵＝（－）＋（＋）为纯虚数，

3z2cosθ12sinθi

－，＝，3

∴解得1∴tanθ＝.

＋，＝，

2cos�1=0cos�2

33

14.已2s知in�a＝（32，≠1）0，b＝（λ，1s）i，nλ�∈R2，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是.

答案：{λ＞－且}

1

·

解析：因为�cosθ2＝�≠2＝，且θ为锐角，所以2λ＋1＞0，解得λ＞－，又当λ＝2

｜｜·｜｜

��2·�+11

2

时，a＝b，夹角为0，�不是�锐角5，所�+以1{λ｜λ＞－且λ≠2}.2

1

15.已知平面向量a＝（，），则与a夹角为45°2的一个非零向量b的坐标可以为.

（写出满足条件的一个向量即可）

33

答案：（1，0）（答案不唯一，满足b＝（x，y），xy＝0且x2＋y2≠0的任意一个均可）

4/5

解析：设b＝（x，y），∴a·b＝x＋y＝·＋·，∴＋＝x＋y，∴xy＝0，

22222

且b为非零向量，∴x＝1，y＝0满3足题意3，∴6b＝�（1，�0）2