2026高考数学复习必刷小题15 平行、垂直的判定及性质、空间向量与空间角（距离）

必刷小题15平行、垂直的判定及性质、空间向量与空间角（距离）

一、单项选择题

1.已知平面α，β的法向量分别为u＝（3，－1，4），v＝（－2，3，－5），则（）

A.α∥βB.α⊥β

C.α，β相交但不垂直D.α，β的位置关系不确定

解析：C因为平面α，β的法向量分别为u＝（3，－1，4），v＝（－2，3，－5），所以u·v

－

＝－－－＝－≠，即，不垂直，则，不垂直，因为≠≠，即，不平

6320290uvαβ－－uv

314

行，则α，β不平行，所以α，β相交但不垂直，故选C.235

2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近A1的三等分点，设

＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示为（）��

����1��

A.a＋b－c

11

B.－2a＋6b＋c

11

C.a－2b－6c

11

D.2－a6－b＋c

11

解析2：A6＝＋＋＝b－c＋（a－b）＝a＋b－c，故选A.

2111

3.两条异面直线a，b所成的角为60°，在3直线a，2b上分别取点2A，6E和点B，F，使AB⊥a，

且AB⊥b.已知AE＝6，BF＝8，EF＝2，则线段AB的长为（）

A.8B.437

C.4D.86

解析：由题意知＝＋＋，所以＝＋＋＋＋＋

3B32·2·

22222

2·，又异面直线��a，�b�所成��的角�为�60°，则��148＝��6＋��＋8��＋0＋�0±��2×�6×�8�co�s�60°，

2

所�以�｜��｜＝－－，则｜｜＝4或｜��｜＝0（舍去）.故选B.

22

4.如图，�平�面PAD14⊥8平面6AB8CD±，4△8PAD是�等�边三角形6，四�边�形ABCD是矩形，且AD＝2AB，

E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝（）

𝐸

��

A.3B.

1

2

1/9

C.D.2

1

解3析：C分别取AD，BC的中点O，G，连接OP，OG，以O为坐标原点，，，

的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设＝，则

xyzO-xyz.�A�D�2���B

（1，－1，0），E（，1，0），P（0，0，）.设F（0，a，0），则＝（－1，a＋1，

1

0），＝（，1，－2）.因为BF⊥PE，所3以－＋a＋1＝0，解得a＝�－�，所以＝.故

111𝐸1

选C.��2322��3

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的

余弦值为（）

A.

12

C.2B.3

32

解析3D：.B2以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1，则A1（0，

0，1），E，，，D（0，1，0），∴＝（0，1，－1），＝，，设

11

10210,−2

－，，

平面A1ED的一个法向量为n1＝（1，y，z），则即∴∴n1

－，，

��=0

1�=2

＝（1，2，2）.又平面ABCD的一个法向量为n2＝（0，0，1）1，∴2�co=s＜0n1，n�2＞=＝2＝.

22

即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为.3×13

2

3

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1，

1

BC∥AD，已知Q是四边形ABCD内部（包含边界）一点，且二面角Q-PD-A的平2面角大小

为，则△ADQ的面积的取值范围是（）

π

4

A.（0，］B.（0，］

3525

55

2/9

C.（0，］D.（0，）

310210

解析：B5以A为坐标原点建立空间直角坐5标系，如图，设Q的轨迹与y轴的交点坐标为G

（0，b，0）（b＞0）.由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），所以

＝（－2，0，1），＝（－2，b，0），＝（2，0，0）.则平面APD的法向量为n1＝（�0�，

����·，－＋，

1，0），设平面PDG的法向量为n2＝（x2，y2，z2），则即

·，－＋，

�2��=02�2�2=0

令z2＝2，得x2＝1，y2＝，所以n2＝（1，，2）.则二面角�2G�-�PD=-A0的平面角2�的2余�弦�值2=｜0cos

22

｜·｜��

＜n1，n2＞｜＝＝2＝，解得b＝或b＝－（舍去），所以Q在DG上

｜｜·｜｜

�1�2�22525

�1�24255

5+�2

运动，所以△ADQ的面积的取值范围（0，］，故选B.

25

5

7.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，

312

则P到AB的距离为（）��4��2��3��

A.B.C.D.

3453

解4析：C如图5，以A6为坐标原点，5AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空

间直角坐标系，则＝（1，0，0），＝（0，1，0），＝（0，0，1），因为＝

3

｜｜4

＋＋，所以𝐴＝，，，𝐹·＝，｜｜�＝�＋＋＝𝑂，�所�

｜｜

12312����3321222181

2��3����423��4��423144

｜·｜

以点P到AB的距离d＝｜｜－＝－＝.故选C.

｜｜2

2����18195

����144166

8.如图，在正四面体P-ABC中，E在边PA上且AE＝2EP，F是BC边中点，记EF与平面

ABC，平面PAB，平面PBC所成的角分别为α，β，γ，则以下选项正确的是（）

3/9

A.α＞β＞γB.γ＞β＞α

C.β＞α＞γD.β＞γ＞α

解析：A将正四面体P-ABC补成正方体PMAN-DBGC，设该正方体的棱长为6，以点P为

坐标原点，PM，PN，PD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P

（0，0，0），A（6，6，0），B（6，0，6），C（0，6，6），F（3，3，6），E（2，2，

0），设平面ABC的法向量为a＝（x1，y1，z1），＝（0，－6，6），＝（－6，0，6），

·＝－，����

由取z1＝1，可得a＝（1，1，1），设平面PAB的法向量为b＝

·＝－，

���6�1+6�1=0

���6�1+6�1=0·，

（x2，y2，z2），＝（6，6，0），＝（6，0，6），由取x2

·，

���=6�2+6�2=0

＝＝��－－��＝＝

1，可得b（1，1，1），设平面PBC的法向量为c�（�x�3，=y63，�2z+3）6，�2=0（6，0，

·，��

6），＝（0，6，6），由取z3＝－1，可得c＝（1，1，－1），

·，

���=6�3+6�3=0

��｜·｜｜·｜

＝（1，1，6），所以sinα�＝��=6�3+＝6�3=0＝，sinβ＝＝＝，

｜｜·｜｜｜｜·｜｜

���88���66

｜·｜38×311438×3114

s�i�nγ＝＝＝，所𝐸以si�nα＞sinβ＞sinγ，故α＞β＞�γ�.故选�A.

｜｜·｜｜

���44

���38×3114

二、多项选择题

9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，

2，0），＝（－1，2，－1），下列结论正确的有（��）��

A.⊥��

B.��⊥��

C.��是平��面ABCD的一个法向量

D.��∥

解�析�：A�B�C由题意，向量＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－

1），对于A中，由·＝�2�×（－1）＋（－1）×2�＋�（－4）×（－1）＝��0，可得⊥，

所以A正确；对于�B�中�，�由·＝（－1）×4＋2×2＋（－1）×0＝0，所以�⊥��，�

所以B正确；对于C中，由��⊥��且⊥，可得向量是平面ABCD的一�个�法向��量，

����������

4/9

所以C正确；对于D中，由是平面ABCD的一个法向量，可得⊥，所以D不正确.

故选、、

ABC.������

10.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是AC和AE的中点，

那么下列结论正确的是（）

A.AD⊥MN

B.MN∥平面CDE

C.MN∥CE

D.MN，CE异面

解析：ABC由点A为原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间

直角坐标系，设正方形ABCD和ADEF的边长为2，如图，对于A选项，A（0，0，0），D

（0，2，0），M（1，1，0），N（0，1，1），则直线AD，MN的方向向量分别为＝（0，

2，0），＝（－1，0，1），因为·＝0，所以⊥，即AD⊥MN，故��A正确；

对于选项，因为点，分别为，的中点，所以在△中，∥，因为

B��MNAC��A�E����A�CEMNCECE⊂

平面CDE，且MN平面CDE，所以MN∥平面CDE，故B正确，C正确，D错.故选A、B、

C.

⊄

11.如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，

使A到A'，连接A'B，A'C，且A'D⊥DC，平面A'BE与平面A'CD的交线为l，则下列结论

中正确的是（）

A.平面A'DE⊥平面A'BE

B.CD∥l

C.三棱锥A'-CDE外接球的表面积为8π

D.二面角B-A'C-D的余弦值为－

27

7

5/9

解析：ABC对于A，因为A'D⊥DC，ED⊥DC，A'D∩DE＝D，所以CD⊥平面A'DE，因

为CD∥BE，所以BE⊥平面A'DE，因为BE⊂平面A'BE，所以平面A'DE⊥平面A'BE，故

A正确；对于B，因为CD∥BE，CD平面A'BE，BE⊂平面A'BE，所以CD∥平面A'BE，

又平面∩平面＝，所以∥，故正确；

A'BEA'CDlCD⊄lB

对于C，如图所示，由题意知：三棱锥A'-CDE外接球的直径为2R＝A'C＝2，则R＝，

所以外接球的表面积为＝2＝，故正确；对于，由知，⊥平面，则

S4πR8πCDABE2A'DE2

BE⊥A'E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以DE⊥A'E，又BE∩DE

＝E，所以A'E⊥平面BED，以E为原点，分别以EB，ED，EA'所在直线为

x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），A'（0，0，1），C（2，，

0），D（0，，0），所以＝（1，0，－1），＝（2，，－1），＝（0，3，

·，－，

－1），设平面A3'BC的一个法�向'�量为m＝（x，y，z），�则'�3即�'�3

·，＋－，

�'��=0��=0

�'��=02�3�·�=0，

取m＝（1，－，1）；设平面A'DC的一个法向量为n＝（x1，y1，z1），则

3·，

�'��=0

3

－，·

即取n＝（0，，3），所以cos＜m，n＞＝＝�'�，�由=图0可

＋－，｜｜·｜｜

3�1�1=0��7

3��7

知，2二�1面角3�B1-A'C�-1D=的0平面角为钝角，所以二面角B-A'C-D的余弦值为－，故D错误；

7

故选A、B、C.7

12.如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB＝

AD＝BD＝2，SA＝SB，∠ASB＝90°，点E，F分别为棱SB，CD的中点，则下列说法正确

的是（）

A.SD与平面ABCD所成的角为30°

B.AB⊥SD

C.当＝时，SD⊥平面ABM

1

��3��6/9

D.EF∥平面SAD

解析：ABD取AB的中点O，连接SO，OD，因为SA＝SB，O为AB的中点，所以SO⊥AB，

因为平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，SO⊂平面SAB，所以SO⊥平面

ABCD，因为AB＝AD＝BD＝2，则OD⊥AB，以点O为坐标原点，OA，

OD，OS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B

（－1，0，0），C（－2，，0），D（0，，0），S（0，0，1），E（－，0，），F

11

（－1，，0）.对于A选项3，＝（0，，3－1），易知平面ABCD的一个2法向量2为a

·

＝（0，0，31），所以cos＜，a�＞�＝3＝－，故SD与平面ABCD所成的角为30°，

｜｜·｜｜

���1

A对；对于B选项，＝�（�－2，0，0�）�，则�·2＝0，∴AB⊥SD，B对；对于C选项，

当＝时，＝��＋＝（－1，0，1�）�＋��（0，，－1）＝（－1，，），所

11132

以��·3�＝�1－≠��0，所��以A3M��与SD不垂直，所以3SD与平3面ABM不垂直，C错3；3对于D

2

选项��，�设�平面S3AD的法向量为n＝（x，y，z），＝（－1，0，1），＝（－1，，0），

·＝－＋，

则取y＝1，可得n＝（��，1，），因为𝐹＝（，－3，），

·＝－＋，11

�����=0

33��232

则�·�n�＝－�＋3�＝=00，所以⊥n，又因为EF平面SAD，所以EF∥平面SAD，D对.

33

故选��A、B2、D.32��⊄

三、填空题

13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，二面角B-AA1-C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1

的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值

为

3.3

答案：

解析：由题意可知，∠＝，点到平面的距离为，点到平面

7BAC60°BACC1A1CABB1A1

的距离为2，所以在三角形ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，∠3ABC＝90°，则·

＝（－3）·（＋）＝4，｜｜＝2，｜3｜＝4，cos〈，〉

����2

＝＝，故tan〈，〉＝.

2

14.如图，在正三棱柱4ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝27.E，F分别是BC，A1C1的中点.设D是线

段B1C1上的（包括两个端点）动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为时线段BD的长

10

为.4

7/9

答案：2

解析：如图2，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），F（，，2），B

31

（0，－1，0），设D（0，t，2）（－1≤t≤1），则＝（，，2），2＝（20，t＋1，

31

｜·｜2｜2｜

），设直线与所成角为，所以＝𝐸＝＝��，即2＋

2BDEFθcosθ｜｜�+123t14t

����·（2+4）10

��||��24

5�+1+4

－37＝0，解得t＝1或t＝－（舍去），此时D与C1重合，＝（0，2，2），所以｜｜

37

23����

＝＋＋＝2.

222

0222

15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，则EF与平面A1BC1

所成角的正弦值为.

答案：

2

解析：在3正方体ABCD-A1B1C1D1中，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间

直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则E（2，1，2），F（1，2，0），B（2，

2，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2）.所以＝（－2，2，0），＝（0，－2，2），

�1�1��1·，

＝（1，－1，2），设平面A1BC1的一个法向量为n＝（x，y，z），则即

·，

��1�1=0

��

－，���1=0

取y＝1，则n＝（1，1，1），设EF与平面A1BC1所成角为α，则sinα＝｜

－，

2�+2�=0

｜·｜

cos＜2�n+，2�=＞｜0＝＝＝.

｜｜·｜｜

���22

�����3×63

8/9

16.已知正四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD为边长为2的正方形，PA＝，其内切球为

球，平面过与棱，分别交于点，，且与平面所成二面角为，则

GαADPBPCMNABCD530°

平面α截球G所得截面的面积为.

答案：

π

解析：如3图，建立空