2026高考数学复习必刷小题18　椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质

必刷小题18椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质

一、单项选择题

若是和的等比中项，则圆锥曲线2＋＝的离心率是（）

1.m28x21

�

A.或�

3

C.25B.5或

335

解析2：D∵.2是2和的等比中项，∴＝或＝－，当＝时，方程为2＋＝，

Am28m4m4m4x21

�

表示椭圆，∴＝，＝，＝－＝，∴离心率为，当＝－时，方程为42－

a2b1cm4x2

223�

��324

＝1，表示双曲线，∴a＝1，b＝2，c＝＋＝，∴离心率为，故选A.

22

2.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点�为F�.若直线5x＝4与C交于5A，B两点，且｜AB｜

＝8，则｜AF｜＝（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：C将x＝4代入y2＝2px，解得｜y｜＝2，则A（4，2），B（4，－2），

所以｜AB｜＝4＝8，解得p＝2，则｜AF｜＝2�＋4＝5.故选C.2�2�

�

3.阿基米德在他的2著�作《关于圆锥体和球体》中计算2了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一

个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.

已知椭圆：＋＝（＞＞）的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆

C221ab06πF1F2PC

��

22

的上顶点.直线�y＝�kx与椭圆C交于A，B两点，2若PA，PB的斜率之积为－，则椭圆C的

8

长轴长为（）9

A.3B.6

C.2D.4

解析：椭圆的面积＝＝，即＝，①因为点为椭圆的上顶点，所以

2BSπab6π2ab6.PC

（，）因为直线＝与椭圆交于，两点，不妨设（，），则（－，－）

P0b.ykxC2AB2AmnBmn

－－－

且＋＝，所以2＝2－因为，的斜率之积为－，所以＝－，把

221ma22.PAPB·－

����8����8

222

2＝�2－�代入整理化简得�＝，②①②联立解得＝，＝9所以�椭圆�的长9轴长为

ma222.a3b2.C

���8

22

2a＝6.故选�B.�92

4.已知抛物线C：y2＝4x的准线与x轴的交点为D，过焦点F的直线l与抛物线C的一个交

点为A，交准线于点B，若＝2，则△BDF的面积为（）

A.��B�.2�

C.45D.25

解析：A

22

1/6

直线l过该抛物线的焦点F（1，0），过A作准线的垂线，垂足为E，如图所示，易得

△BDF∽△BEA，由抛物线的定义知：｜FD｜＝2.因为＝2，所以｜AE｜＝6，所以xA

＝，＝－，故（，－），所以｜｜＝，｜｜＝，所以＝

5yA2A52ED2���B�DS△BDF.

故选

A.55555

经过椭圆：＋＝（＞＞）的左焦点和上顶点的直线记为若椭圆的中心到直

5.M221ab0l.M

��

22

线l的距离等于�2，且�短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为（）

＋＝＋＝

A.221B.221

����

5＋4＝10＋8＝

C.221D.221

����

解2析0：1D6设椭圆的半焦距为c，由2题5意2知0，椭圆的左焦点为（－c，0），上顶点为（0，b），

则直线的方程为＋＝，即－＋＝，因为椭圆的中心为坐标原点，所以

l－1bxcybc0M

���＋�

��22

＝2①.又短轴长是焦距的2倍，所以2b＝2×2c，即b＝2c②.联立①②，解得b2＝2�0，�

2＝，所以2＝2＋2＝，所以椭圆的方程为＋＝，故选

c5abc25M221D.

��

已知双曲线：－＝（＞，＞）的离心率2为52，0直线与交于，两点，

6.C221a0b02lCPQD

��

22

为线段PQ的中点�，O�为坐标原点，则l与OD的斜率的乘积为（）

A.2B.3

C.4D.6

－，

22

解析：B设P（x1，y1），Q（x2，y2），D（x0，y0），则�1�1两式作差，并化简

22

�－�，

22=1

�2�2

（－＋）（－＋）（＋）（－2）2

得，＝，所以＝·��，=因1为D为线段PQ的中

2（＋）（－）

�1�2)(�1�2�1�2)(�1�2��1�2�1�2

222

�＋���1�2�1�2

＝，－（－）

2

点，即�1�2所以＝·，即e－1＝kODkl，由e＝2，得klkOD＝3.故选

＋22（－）

0＝2，��2�0�1�2

�2

�1�2�2�0�1�2

B.�02

设1，2分别为椭圆：＋＝（＞）的左、右焦点，过1垂直于长轴的直线交

7.FFC2－21a1F

��

22

椭圆C于A，B两点，且｜A�B｜�＝31.P（1，1）为C内一点，Q为C上任意一点，则｜PQ｜

＋｜QF1｜的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

解析：A连接QF2，PF2，由椭圆方程可得c＝－＝1，故F1（－1，0），F2（1，

22

－

），在椭圆方程＋＝（＞）中，令＝－�，�则+＝1±，因为｜｜＝，故

02－21a1x1y2AB3

���1

22

��1�

2/6

－

×＝，解得＝，故椭圆方程为＋＝而｜｜＋｜｜＝｜｜＋－｜

223a2221.PQQF1PQ4

�1��

QF2｜�，因为｜｜PQ｜－｜QF2｜｜≤｜4PF23｜，故｜PQ｜－｜QF2｜≥－｜PF2｜，当且仅

当P，Q，F2三点共线且P在F2，Q中间时等号成立，故｜PQ｜＋｜QF1｜≥4－1＝3，即｜

PQ｜＋｜QF1｜的最小值为3.故选A.

8.我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”.已知F1，F2是

一对“优美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当∠F1MF2＝时，这一对“优美

π

曲线”中双曲线的离心率是（）3

A.2B.

23

C.3

222

解析：D设F1M＝m，F2M＝n（m＞n＞0），F1F2＝2c，由余弦定理（2c）＝m＋n－2mncos

2D.3

222

60°，即4c＝m＋n－mn①，设a1是椭圆的长半轴长，a2为双曲线的实半轴长，由椭圆以

及双曲线的定义，可得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，∴m＝a1＋a2，n＝a1－a2，代入①式，可得

22

3－4c＋＝0，又·＝1，即c＝a1a2，可得3－4a1a2＋＝0，解得a1＝3a2，e1·e2

22��22

�2�1�1�2�2�1

＝·＝＝1，解得e2＝.故选D.

��1�2

二、�1多�2项3选�择2题3

已知双曲线：－＝（＞）的左、右焦点分别为，，离心率为，为上一

9.C221a0F1F22PC

��

2

点，则（）�3

A.双曲线C的实轴长为2

B.双曲线C的一条渐近线方程为y＝x

｜｜－｜｜＝

C.PF1PF223

D.双曲线C的焦距为4

解析：ABD由双曲线方程知b＝，离心率为e＝＝＝2，解得a＝1，故C：x2－

22

��+3�

＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝23，A正确；因为可�求得�双曲线渐近线方程为y＝±x3，

＝｜｜｜－｜

故一条渐近线方程为yx，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有PF13

PF2｜｜＝2，C错误；焦距3为2c＝2＋＝4，D正确.故选A、B、D.

22

10.已知直线l：x－y－＝0过抛物�线C�：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线C交于

，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法错误的

ABA3B3MN

是（）

A.抛物线的方程为y2＝4x

B.线段AB的长度为

18

3

3/6

C.∠MFN＝90°

D.线段AB的中点到y轴的距离为

8

解析：BD3

由题意不妨设点A在点B上方，直线l：x－y－＝0与x轴交点（1，0），又l经过y2

＝的焦点，故（，），可得＝，即抛物线方程为2＝，正确；由

2pxFF10p233y4xA

－－，

可得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或，可得A（3，2），B（，－），

，

3��3=01123

23333

所�以=｜4A�B｜＝（－）＋（＋）＝，B错误；由以上分析可知，M（－1，2），

1223216

3323333

（－，－），（，），可得＝×＝－，则⊥，即∠＝，

N1F10kNF·kMF23－1MFNFMFN90°

23323

C正确；因为3A（3，2），B（，－），2故线段2AB的中点为（，），则线段AB

123523

的中点到y轴的距离为，3D错误.故3选B3、D.33

5

已知椭圆＋＝的3左、右焦点分别为，，直线＝（－＜＜）与该椭圆相交于

11.221ACxt4t4

��

点B，D，则2（59）

A.当t＝0时，△ABD的面积为12

B.不存在t，使△ABC为直角三角形

C.存在t，使四边形ABCD的面积最大

D.存在t，使△ABD的周长最大

解析：AC由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝－＝4.根据题意作出图形，如图所示.

22

��

对于A，当t＝0时，S△ABD＝×2b×c＝×6×4＝12，A正确；对于B，∵b＜c，∴以AC

11

为直径的圆与椭圆必有交点，2则存在t，当2B，D为以AC为直径的圆与椭圆的交点时，△ABC

为直角三角形，B错误；对于C，∵当t＝0时，S△ABC取得最大值，其最大值为×2c×b＝

1

12，∴四边形ABCD面积的最大值为2（S△ABD）max＝2×12＝24，C正确；对于2D，由椭圆

的定义得：｜AB｜＋｜AD｜＋｜BD｜＝（2a－｜BC｜）＋（2a－｜CD｜）＋｜BD｜＝4a

＋｜BD｜－｜BC｜－｜CD｜，又｜BC｜＋｜CD｜≥｜BD｜，∴｜BD｜－｜CD｜－｜

4/6

CB｜≤0（当BD过点C时，等号成立），∴｜AB｜＋｜AD｜＋｜BD｜＝4a＋｜BD｜－｜

BC｜－｜CD｜≤4a，即当直线x＝t过椭圆的右焦点时，△ABD的周长最大，此时t＝4，

但－4＜t＜4，∴不存在t使得△ABD的周长最大，D错误.故选A、C.

已知是椭圆：＋＝（＞）上任意一点，，是椭圆上关于坐标原点对称的

12.PE221m0MN

��

两点，且直线PM，PN4的�斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若｜k1｜＋｜k2｜的最小值为1，

则下列结论正确的是（）

椭圆的方程为＋2＝

A.E2y1

�

B.椭圆E的离心率为4

1

C.曲线y＝log3x－经2过E的一个焦点

1

D.直线2x－y－2＝20与E有两个公共点

解析：设（，），（，），≠±，≠±，则（－，－），

ACDPx0y0Mx1y1x0x1y0y1Nx1y12

�0

－＋－

＋＝，＋＝，所以＝－，＝－，＝＝＝－于是｜4

21221m2m2k1k2－·＋2－2.

�0�1�1��0��1�0�1�0�1�0�1�

2222

�4��04�14�0�1�0�1�0�14

k1｜＋｜k2｜≥2｜｜·｜｜＝2｜｜＝2－＝，依题意，得＝1，解得

�

1212

＝，故的方程为�＋2＝�，正确；�离�心率为，4错误�；焦点为（±�，），曲线

m1E2y1AB0

�3

y＝log3x－经过焦点（4，0），C正确；又直线2x2－y－2＝0恒过（1，0），3且点（1，0）

1

在E内，故2直线2x－y－32＝0与E有两个公共点，D正确.故选A、C、D.

三、填空题

13.已知点F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两

点，满足｜FA｜＋｜FB｜＝10，＋＋＝0，则p＝.

答案：

4������

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），而F（，0），则｜FA｜＋｜FB｜＝x1＋＋x2＋＝x1

���

＋x2＋p＝10，①，＝（x1－，y1），＝2（x2－，y2），＝（－，0），2由＋2

���

＋＝0，得（x1＋�x�2－p，y1＋2y2）＝（�0�，0），所2以x1＋x2＝��p，②，2联立①②得��p＝�4�.

33

�已�知双曲线：－2＝的右焦点为，点在双曲线的一2条渐近线上，为坐标原

14.C2y1FPCO

�

点.若｜PO｜＝｜PF4｜，则△OPF的面积为.

答案：

5

解析：因8为双曲线：－2＝，可知右焦点为（，），又｜｜＝｜｜，所以点

C2y1F0POPF

�

在线段的中垂线上4，所以点的横坐标为，又5双曲线：－2＝的渐近线方程为

POFPC2y1

5�

y＝±x，所以点P的纵坐标为±，即△OPF的2高为，所以△O4PF的面积为××

15515

＝.244254

5

158.定义：点P为曲线L外的一点，A，B为L上的两个动点，则∠APB取最大值时，∠APB

叫点P对曲线L的张角.已知点P为抛物线C：y2＝4x上的动点，设P对圆M：（x－3）2

＋y2＝1的张角为θ，则cosθ的最小值为.

5/6

答案：

3

2

解析：如4图，cosθ＝cos∠APB＝cos2∠APM＝1－2sin∠APM，要使cosθ最小，则sin∠APM

｜｜

＝＝最大，即需｜PM｜最小.设P（，a），则｜PM｜＝（－）＋＝

｜｜｜｜222

��1��2

𝐴𝐴