2026高考数学复习必刷小题22 排列、组合与二项式定理

必刷小题22排列、组合与二项式定理

一、单项选择题

1.＋＋＋…＋＋＝（）

33333

A.�3�4�5�10�11

C.34

�12B.�12

解析4：B由题意，＋＋＋…3＋＋＝＋＋＋…＋＋＝＋＋…

�11D.�11

＋＋＝＋＋3…＋33＋＝…3＝3＋4＝3故3选3343

�3�4�5�10�11�4�4.�5B.�10�11�5�5

从3名学3生中4选出3名分别3参加数3学、物理4、化学3、生4物四科竞赛，其中甲不能参加生物

2.�105�11�6�64�10�11�11�11�12

竞赛，则不同的参赛方案种数为（）

A.48B.72

C.90D.96

解析：D由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛.①当甲

参加另外3场竞赛时，共有＝72（种）选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共

有＝（种）选择方案综上1所3述，所有参赛方案有＋＝（种）

24.�3�4722496.

六4名毕业生（其中名男生、名女生）被安排到，，三所学校实习，每所学校人，

3.�442ABC2

且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，则不同的安排方法共有

（）

A.9种B.12种

C.15种D.18种

解析：D第一步2名女生分配到A，B两个学校，方法数为，第二步A学校选1名男生，

方法数为（不含男生甲），第三步学校从剩下的名男生2中选名，方法为，最后

B3�21

还有名男1生到学校，所以总方法数为＝故选1

2�3C18.D.�3

在（＋－2）5的展开式中，含4的项的2系1数1为2（）

4.2xxx�2�3�3�2

A.－120B.－40

C.－30D.200

25255－r2r

解析：C（2＋x－x）＝[（2＋x）－x]，其展开式为：Tr＋1＝（2＋x）（－x），r

＝，，…，，根据题意可得：＝，，，当＝时，则＝�（＋）5，（＋）5展

015r012r0T1�52x2x

5－kk4

开式为：T'k＋1＝2x，k＝0，1，…，5，∴k＝4，则x的项的系数为2＝10；当r＝1

时，则＝（�＋）4（－2）＝－2（＋）4，（＋）4展开式为：4＝4－kk，

T2�25xx5x2x2xT�'k5＋12xk

＝，，…，1，∴＝，则4的项的系数为－×2×＝－；当＝时，则�＝

01�54k2x52120r2�4T3

（＋）3（－2）2＝4（＋）3，（＋）3展开式为：2＝3－kk，＝，，，2，

2xx10x2x2x�4T'k＋12xk012�35

∴＝，则4的项的系数为×3×＝，综上所述：含4的项�的系数为－＋

k0x10280x�31012080

＝－故选0

30.C.�3

5.某校毕业典礼上有6个节目，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须

排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有

（）

A.120种B.156种

C.188种D.240种

1/5

解析：A记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类：①当甲在1号位置时，丙、丁相

邻的情况有4种，则有＝48（种）；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3

种，共有＝（种1）2；③3当甲在号位置时，丙、丁相邻的情况有种，共有

36�4�2�333

＝（种）1所2以3编排方案共有＋＋＝（种）123

36�3�.2�3483636120.�3�2�3

6.将二项式（＋）8的展开式中所有项重新排成一列，有理式项不相邻的排法种数为

1

4

（）�2�

A.

C.363

�7B.�6�6

6373－－

67778－kkk－k

解�析�：D.�根�据题意，得＋＝（）（）＝（）＝（），因

CTk18��163�

121414

�4��

�8－�2��8�2�2－�8�

为0≤k≤8且k∈N，当k＝0时，＝4，即T1为有理式；当k＝4时，＝1，即T5

163�163�

－－

44

为有理式；当k＝8时，＝－2，即T9为有理式；当k∈{1，2，3，5，6，7}时，∉Z，

163�163�

8

即Tk＋1为无理式；所以（4＋）展开式一共有9项，有3个有理式，6个无理式4，先

1

4

对6个无理式进行排列，共�有2种�方法；再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理

式中，共有种方法；利用分步6乘法计数原理可得，一共有种方法故选

�6.C.

第届亚运3会召开前，某高校位男同学和位女同学通过6筛3选加入志愿者服务，通过

7.18�732�6�7

培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，

要求2位女同学不安排一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的

安排方法种数为（）

A.144B.150

C.168D.192

解析：D由题可得，参与志愿服务的项目人数为：2，1，1，1，若没有限制则共有·

＝种安排方法；当两个女同学在一起有＝种安排方法；当男同学小王、女同学2大4

24024�5�4

雅在一起有＝种方法，所以当要求位女4同学不安排一起，且男同学小王、女同学大

242�4

雅由于专业需4要必须分开，则不同的安排方法种数为－－＝，故选

�42402424192D.

8.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B

不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为（）

A.56B.63

C.72D.78

解析：D若没有限制，5列火车可以随便停，则有种不同的停靠方法；快车A停在第3

道上，则列火车不同的停靠方法为种；货车停5在第道上，则列火车不同的停靠

5B�515

方法为种；快车停在第道上，且4货车停在第道上，则列火车不同的停靠方法

A3�4B15

为种，4故符合要求的列火车不同的停靠方法数为－＋＝－＋＝

�45212048678.

二、3多项选择题543

�3�5�4�3

9.已知二项式（2x－）7的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（）

�

A.a＝1�

B.展开式中二项式系数之和为256

C.展开式中第5项为

280

�2/5

D.展开式中x－5的系数为－14

解析：AC对于A，令x＝1可得（2－a）7＝1，解得a＝1，故A正确；对于B，二项式系

777－rr7－2r

数和为2＝128，故B错误；对于C，（2x－）展开式的通项为Tr＋1＝2（－1）x，

1�

34－17

第5项即r＝4，所以T5＝·2（－1）x＝�，故C正确；对于D，令�7－2r＝－5，解得

4280

－516

r＝6，所以展开式中x的�系7数为2（－1）�＝14，故D错误.故选A、C.

现分配甲、乙、丙三名临床医学专6家到，，，，五家医院进行交流学习，每名专

10.�7ABCDE

家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）

A.所有可能的安排方法有125种

B.若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种

C.若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种

D.若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种

解析：AB对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有53＝125种，A

正确；对于B，由选项A知，所有可能的方法有53种，A医院没有专家去的方法有43种，

所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有53－43＝61种，B正确；对于C，专家甲必

须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有52＝25种，C错误；对于D，三名专家所选医院

各不相同的安排方法有＝60种，D错误.故选A、B.

已知（－）n＝＋3＋2＋…＋n，设（－）n的展开式的二项式系数之和为

11.3x1a0�5a1xa2xanx3x1

Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an，则（）

A.a0＝1

nn

B.Tn＝2－（－1）

C.n为奇数时，Sn＜Tn；n为偶数时，Sn＞Tn

D.Sn＝Tn

nn

解析：BC由题意知Sn＝2，令x＝0，得a0＝（－1），令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an

nnn

＝2，所以Tn＝2－（－1），故选B、C.

将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨

12.（）

�1

�

三角形.莱布尼茨三角形具有很��多优美的�性+1质�，�如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”

两个数之和，如果n≥2（n∈N*），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（）

第0行

1

第1行

111

第2行22

111

第3行363

1111

41…2…124

第行……

n（）（）（）

111

01�

A.第8行第2个数是�+1���+1���+1��

1

B.当n是偶数时，中间72的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最

大值

3/5

＝（∈，≤≤）

C.（）－rN0rn

1（1）

���

�

�+1�＋�+1��＝（∈，≤≤）

D.－（）－rN1rn

（1）11

�1��1

�

解析�：+1��对于�+1，�第��行�第个数是＝，正确；对于，当是偶数时，中

ACA82（）ABn

11

1

间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间8+的1两�8项相72等，且同时取得最小值，B错误；对于

－

，由于组合数的性质＝，所以＝，正确；对于，由于每一个

C－CD

（）（）

���11

���

���

数均等于其“脚下”两�个数�之和，则�+1�＋�+1��＝，错误故选、

－－D.AC.

（）（）

111－

�1��1

�+1��

三、填空题�+1�����1

13.（1－x）（1＋2x）6展开式中x3的系数为.

答案：100

解析：因为（1－x）（1＋2x）6＝（1＋2x）6－x（1＋2x）6，且（1＋2x）6展开式的通项公

rrr332

式为Tr＋1＝（2x）＝2x，故x的系数为2－2＝100.

某医院从�名男医生（含�一名主任医师），名3女医生2（含一名主任医师）中选派名男

14.�67�66�6�64

医生和3名女医生支援抗震救灾工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案

数为.

答案：550

解析：若选派的主任医师只有一名男主任医师，此时再从剩余的6名男医生中选派3名男医

生，从5名女医生（主任医师除外）中选派3名女医生，有＝200种，若选派的主任医

师只有一名女主任医师，此时再从剩余的名男医生（主任医3师3除外）中选派名男医生，

6�6�54

从