2026高考数学复习微专题：91.解析几何中的非对称计算

91.解析几何中的非对称结构与应用

一．基本原理

y2x

在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似21为定值的情形，通过直

y12x2

y2xkx2xkxx2x

线代换可得：2121121，但此时式子并不能完全整理为韦达定

y12x2kx16x2kx1x26x2

理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：

y1t

kxxytxkxx(mt)x

PA1212122

kPBy2tx1y2tx1kx1x2(mt)x1

x2

还有诸如线段的比例关系会得到：或者的结构（凌点数学）

x1x2y1y2.

我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x1x2和

x1x2之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．

这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决：

2

1xxxx

（1）利用关系式12122,将问题转化韦达定理求解.

x2x1x1x2

（2）韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.

xxf(t)

具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：12代入

m(t)(x1x2)n(t)x1x2

x1x2g(t)

之后进行代换消元解题.下面通过例题来分析

二．典例分析

例1.（2023年新高考2卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为25,0，离心率

为5．

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点4,0的直线与C的左支交于M,N两点，M

在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上.

x2y2

解析：（1）设双曲线方程为1a0,b0，由焦点坐标可知c25，

a2b2

cx2y2

则由e5可得a2，bc2a24，双曲线方程为1.

a416

（2）（方法1）消x留y

由（1）可得A12,0,A22,0，设Mx1,y1,Nx2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直

11x2y2

线MN的方程为xmy4，且m，与1联立可得

22416

22232m48

4m1y32my480，且64(4m3)0，则y1y2,y1y2，

4m214m21

yy

12

直线MA1的方程为yx2，直线NA2的方程为yx2，联立直线MA1与直

x12x22

x2y2x12y2my12my1y22y1y22y1

线NA2的方程可得：

x2y1x22y1my26my1y26y1

4832m16m

m22y2y

221211x21

4m14m14m1，由可得x=1，即x1，

4848mP

m6y6y3x23

4m2114m211

据此可得点P在定直线x=1上运动.

（方法2）消y留x

记过点(4,0)的直线为l.当l与x轴垂直时,易知点

M(4,43),N(4,43),P(1,23).

当直线l与x轴不垂直时,设点Mx1,y1,Nx2,y2,Px0,y0,直线l:yk(x4).将

x2y2

yk(x4)代人1,得

416

0,

2222

(4kx8kx1616k0.依题意,得x1x20,

x1x20,

2

8k2161k

xx,xx.

124k2124k2

2161k25

设，即8k即①.

x1x2(x1x2).x1x2x1x24

4k24k22

yy

12

直线MA1的方程为yx2，直线NA2的方程为yx2，联立直线MA1与直

x12x22

x02y1x22x14x22

线NA2的方程可得：,

x02y2x12x24x12

x2xx2x4x8x233x1x28

即01212.将①代入式得03,即x1，

x02x1x24x12x28x023x1x28

据此可得点P在定直线x=1上运动.

x2y2

例2．已知点F为椭圆E:1的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线

43

k1

l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为k1,k2,证明

k2

为定值．

x2y2

1

解析：方法1.先联43，消x得(43t2)y26ty90，易知△>0，则

xty1

6t

yy

1243t23

．tyy(yy)，代入目标信息得，

912212

yy

1243t2

313

(yy)yyy

ktyyy121k121

11212稍作整理，即可得122，为定值，得

3

k2ty1y23y2k2393

(y1y2)3y2yy

22122

证．

若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定一下系数，

3

96t

设y1y2y1y22t，

43t243t2

0

3

∴tyy(yy)，完毕，实质上，利用上述待定系数法我们可以进一步解决ykxm

12212

的情形.

333

方法2.显然先考虑直线l斜率不存在时的情形，此时M1，，N1，，或M1，，

222

31313k11

，，对应为，或，，此时均有，为定值．

N1k1k2k1k2=

22222k23

x2y2

1

当直线l斜率存在时，不妨就正设直线l：ykx1，联立43，

yk(x1)

8k2

x1x2

34k2

消y得(34k2)x28k2y4(k23)0,易知△＞0，则

4(k23)

xx

1234k2

5

4(k23)8k2(84)k23

设x1x2(x1x2)，即，解得2，

34k234k234k2

4

5

即xx(xx)4.

12212

513

(xx)42xx2xx2

kxx2xx21212121

则11212222，得证．

kxxx2x25393

21212(xx)4x2x2xx6

212122122

例2.（2018年重庆预赛）设椭圆C的左、右顶点为A,B(a,0),过右焦点F(1,0)作非水

k

平直线与椭圆交于两点记直线的斜率分别为试证1为定值,并

lCP,Q,AP,BQk1,k2,:

k2

求此定值(用a的函数表示).

x2y2

证明：设l:xty1，代入椭圆方程1得

a2a21

((a21)t2a2)y22(a21)ty(a21)20，

2(a21)t(a21)2

设P(x,y),Q(x,y),则yy，yy.

112212(a21)t2a212(a21)t2a2

yy2a21

两式相除得12,

2tty1y2(y1y2).

y1y2a12

yyyy

由题意知11,22

k1k2.

x1aty1a1x2aty2a1

ky(tya1)(a21)(yy)/2ayy

从而1121211

2.

k2y2(ty1a1)(a1)(y1y2)/2ay2y2

(a22a1)y(a21)y

12

22.

(a1)y1(a2a1)y2

a22a1a1a21ka1

因为，所以1

22.

a1a1a2a1k2a1

可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构，所谓蝴蝶定理，指的

x2y2

是：A、B分别为椭圆E:1(ab)的左、右顶点，T(t,0)为x轴上一定点，过M

a2b2

kat

直线交椭圆于C,D两点，连接AC,BD，那么AC.

kBDat

x2y2

例4.已知椭圆C:1(ab0)的右焦点F与抛物线y24x的焦点相同,椭圆C

a2b2

1

的离心率为.

2

（1）求椭圆C方程;

（2）若直线l:ykx2交椭圆C于P、Q两点,l交y轴于点R.

（i）求三角形POQ面积的最大值(其中O为坐标原点);

（ii）若RPRQ,求实数的取值范围.

c1x2y2

解析：（1）由e，可得a2c，故b2a2c23c2，设椭圆C:1．

a24c23c2

x2y2

又抛物线y24x的焦点1,0，即c1，∴椭圆C:1．

43

125

（2）（ⅰ）当且仅当tt0，t23，k时，等号成立，此时面积最大为3．

t2

x

1

（ⅱ）RPx1,y12，RQx2,y22，RPRQx1x2，

x2

22

1xxxx1xx

12122，212，

x2x1x1x2x1x2

4164k2641

16kxx2k2

又，1222

x1x2234k34k34

34k4

k2

11

24,162,14743,11,743．

下面我们将会看到，在很多定直线问题中也会出现非对称韦达定理的结构.

22

xy5

例5．已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，点A，B分别为C的上下顶点，点

a2b25

D0,1为AB的四等分点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点D的直线l与C交于异于A，B的E，F两点，且直线AE，BF交于点M，证

明：点M在定直线上．

c5

解析：（1）由题意可知，，因A0,b，B0,b，且D0,1为AB的四等分点，所

a5

c5

以2b4，所以b2，又知a24c2，所以由a5，解得a5，c1，

22

a4c

x2y2

故椭圆C的方程为1．

54

（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l方程为ykx1，Ex1,y1，Fx2,y2．

x2y2

110k15

由，得22，所以，．

545k4x10kx150x1x22x1x22

5k45k4

ykx1

所以3x1x22kx1x2．由（1）可知，A0,2，B0,2，

y12kx11kx11

所以kAE，所以AE的方程为yx2，

x1x1x1

kx23

同理可知BF的方程为yx2，将两直线方程联立方程组可知，

x2

2x2x

12

kx1kx322kx1x23x1x223x1x23x1x2

y124，故点M在定直线

xx

123x1x23x1x2

kx11kx23

y4上．

三．习题演练

1．已知B1,0,C1,0为ABC的两个顶点，P为ABC的重心，边AC,AB上的两条中线

长度之和为6.

（1）求点P的轨迹C的方程.

（2）已知点N3,0,E2,0,F2,0，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与

FQ交于点M，求证：当点P变化时，点M恒在一条定直线上.

【详解】（1）因为P为ABC的重心，且边AC,AB上的两条中线长度之和为6，

2

所以PBPC64BC,故由椭圆的定义可知P的轨迹C是以B1,0,C1,0为焦

3

点的椭圆（不包括长轴的端点），且a2,c1，所以b3，所以P的轨迹C的方程为

x2y2

1x2；

43

xmy3

22

（2）设直线PQ的方程为：xmy3，Px1,y1,Qx2,y2，联立方程xy得：

1

43

18m155

3m24y218my150，则yy,yy，所以2myyyy，

123m24123m2412312

y1y1

又直线PE的方程为：yx2x2，

x12my11

y1

yx2

yymy11

又直线QF的方程为：y2x22x2，联立方程得：

x2my5y

22y2x2

my25

22my1y2y25y15

x，把2my1y2y1y2代入上式得：

y25y13

2104

2y2y1y5y4

333214，所以当点P运动时，点M恒在定直线x上.

x3

y25y1y25y13

x2y22233

2．已知椭圆E:1(ab0)的离心率为，且点(,)在椭圆E上．

a2b2233

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若过定点F（0,2）的直线交椭圆E于不同的两点G､H(点G在点F､H之间)，且满足

FGFH，求的取值范围.

c2

a2a2

41x2

【详解】（1）由题意可知：，解得：b1椭圆C的标准方程为：y21．

332

1c1

a2b2

222

abc

11

（2）①当直线GH斜率不存在，方程为x0，则FGFH，.

33

ykx2

②当直线斜率存在时，设直线方程为ykx2，联立2得：

GHGHx2

y1

2

113

(k2)x24kx30.由Δ16k21（2k2）0得：k2.设G(x,y)，H(x,y)，则

2221122

4k8k36

x1x22x1x22

12，12，又，（x,y2）（x,y2），

k12kk12kFGFH1122

22

x1

x1x2，则，

x2

2

xxxx132k232

121222

xxxx312k21

122132

k2

311611

由于k2，所以42，解得：3,又01，1

2333

1

综上所述：的取值范围为[,1).

3

x2y2

3.已知双曲线C:1(a0,b0)过点A(3,2),且渐近线方程为x3y0.

a2b2

(1)求双曲线C的方程;

(2)如图,过点B(1,0)的直线1交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线x1于点P、

|PB|

Q,求的值.

|BQ|

【详解】（1）∵双曲线C的渐近线方程为x3y0，则可设双曲线C的方程为

x2322

y20，代入点A3,2，即21，故双曲线C的方程为

33

x2

y21.

3