2026高考数学复习微专题：85.解析几何新概念多选压轴中的八种命题形式

85.解析几何新概念多选压轴中的八种命题形式

★1.卡西尼卵形线

定义：到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.

设两定点为，且，动点满足2（且为定值），取直线

F1,F2F1F22PPF1PF2aa0

作为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系设，则

F1F2xF1F2y.P(x,y)

(x1)2y2(x1)2y2a2，整理得：(x2y2)22(x2y2)a21，解得

y2(x21)4x2a2(1ax21a).

于是曲线C的方程可化为y2(x21)4x2a2(1ax21a).

进一步，对于常数a0

当时，图像变为两个点，

a0F1(1,0)F2(1,0)

当时，图像分为左右两支封闭曲线，随着的减小而分别向点收缩

0a1F1,F2

当a1时，图像呈8字形交叉，称为双纽线

当1a2时，图像为中部凹陷的光滑曲线

当a2时，图像中部接近水平

当a2时，图像为光滑卵形封闭曲线

例1．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形

线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲

线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为

2

常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F11,0和F21,0的距离的积等于常数aa1的

点的轨迹，则下列命题中错误的是（）

A．曲线C过坐标原点B．曲线C关于坐标原点对称

12

C．曲线C关于坐标轴对称D．若点P在曲线C上，则△FPF的面积不大于a

122

解析：由题意设动点坐标为x,y，则(x1)2y2(x1)2y2a2，

22224

即(x1)y(x1)ya，

22224

即曲线C的方程为(x1)y(x1)yaa1，

若曲线C过坐标原点0,0，将点0,0代入曲线C的方程中可得a21与已知a1矛盾，

故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中的x被x代换，y被y代换，方程不变，

故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的x被x代换，方程不变，故此曲

线关于y轴对称，把方程中的y被y代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，

2

故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则PF1PF2a，

11

SPFPFsinFPFa2，当且仅当FPF90时等号成立，

F1PF221212212

1

故△FPF的面积不大于a2，故D正确.故选：BCD.

122

例2．（2023届广州一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，

它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy

中，M(2,0)，N(2,0)，动点P满足|PM||PN|5，则下列结论正确的是（）

A．点P的横坐标的取值范围是5,5B．OP的取值范围是1,3

5

C．PMN面积的最大值为D．PMPN的取值范围是25,5

2

解析：设点P(x,y)，依题意，[(x2)2y2][(x2)2y2]25，

对于A，25[(x2)2y2][(x2)2y2](x2)2(x2)2(x24)2，当且仅当y0时取等号，

解不等式(x24)225得：3≤x≤3，即点P的横坐标的取值范围是[3,3]，A错误；

对于B，[(x2y24)4x][(x2y24)4x]25，则x2y242516x2，

显然0x29，因此|OP|x2y22516x24[1,3]，B正确；

115

对于C，PMN的面积S|PM||PN|sinMPN|PM||PN|，当且仅当MPN90

222

时取等号，当MPN90时，点P在以线段MN为直径的圆x2y24上，由

39

22x

xy445

解得，所以PMN面积的最大值为，C正确；

x2y242516x252

y

4

对于D，因为点(3,0)在动点P的轨迹上，当点P为此点时，PMPN516，D错误.

故选：BC

★2.双扭线

例3．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线

条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把与定点F1a,0,F2a,0

2

距离之积等于aa0的动点的轨迹称为双纽线．曲线C是当a22时的双纽线，P是曲

线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的是（）．

①曲线C关于原点对称

②曲线C上满足PF1PF2的P有且只有一个

③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4

④若直线ykx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为,11,

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

解析：根据双纽线的定义可得，(xa)2y2(xa)2y2a2，当a22时，曲线C：

(x22)2y2(x22)2y28，即y42y2(x28)(x28)264，整理，得

(x2y2)216(x2y2)，①：用(x,y)替换方程中的(x,y)，原方程不变，所以曲线C关于

原点中心对称，故①正确；

②：若曲线C上点P满足PF1PF2，则点P在y轴上，即x0，代入曲线方程，解得y0，

所以这样的点仅有一个，故②正确；

16(x2y2)

③：由(x2y2)216(x2y2)，得x2y216，所以曲线C上任意一点到原点

x2y2

的距离dx2y24，即都不超过4，故③正确；

④：直线ykx与曲线C一定有公共点(0,0)，若直线ykx与曲线C只有一个交点，

将ykx代入方程(x2y2)216(x2y2)中，得k4x42k2x2(x28)(x28)264，

整理，得(1k2)2x416(1k2)x2，方程无解，则1k20，解得k1或k1，故④错误.

故选：A.

例4．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符

合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与

智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，

却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C：

2

x2y29x2y2是双纽线，则下列结论正确的是（）

A．曲线C的图象关于原点对称

B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3

D．若直线ykx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为,11,

22

解析：把x,y代入x2y29x2y2得x2y29x2y2，所以曲线C的图象关

于原点对称，故A正确；令y0解得x0，或x3，即曲线经过0,0,3,0,3,0，

1115117369

结合图象，3≤x≤3，令x1，得y21，令x2，得1y22，

22

因此结合图象曲线C只能经过3个整点，0,0,2,0,2,0，故B错误；

22

29xy

x2y29x2y2可得x2y29，所以曲线C上任意一点到坐标原点O的

x2y2

2

距离dx2y23，即都不超过3，故C正确；直线ykx与曲线x2y29x2y2

2

x2y29x2y2

一定有公共点0,0，若直线ykx与曲线C只有一个交点，所以，

ykx

2

整理得x41k29x21k2无解，即1k20，解得k,11,，故D正确.故

选：ACD.

★3.心形线

例5（.2019年北京理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y

就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A.①B.②C.①②D.①②③

222

2222|x|3x3x24

解析：由xy1xy得,yxy1x,y1,10,x,

2443

22

所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:xy1xy恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),

(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.

22

22xy

由xy1xy得,x2y21,解得x2y22,所以曲线C上任意一点到原

2

点的距离都不超过2.结论②正确.

如图所示,易知A0,1,B1,0,C1,1,,D0,1,四边形ABCD的面积

13

S1111,很明显“心形”区域的面积大于2S,即“心形”区域的面积大

ABCD22ABCD

于3,说法③错误.故选C.

★4．阿波罗尼斯圆

|PA|

定义：已知平面上两点A,B，则所有满足,1的动点P的轨迹是一个以定比为

|PB|

m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.若A(a,0),B(b,0),则圆的半径

21

为|||AB|，圆心为(|AB|,0).

2121

解析：设A(c,0),B(c,0),P(x,y)．因为APBP(c0,0且1)由两点间距离公

22

212

式得2222，化简得2．

(xc)y(xc)yx2cy2c

11

21

所以点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆．

P2c,02c

11

例6.在平面直角坐标系中，三点A1,0，B1,0，C0,7，动点P满足PA2PB，

则

2

A.点P的轨迹方程为x3y28B.PAB面积最大时PA26

42

C.PAB最大时，PA26D.P到直线AC距离最小值为

5

解析：由题意可设Px,y，由PA2PB，可得PA22PB2，

即2222，化简可得22，故选项正确；

x1y2x1yx3y8A

2

对于选项B，AB2，且点P到直线AB的距离的最大值为圆x3y28的半径r，

1

即为22，所有△PAB面积最大为22222，此时P3,22，所以

2

22

PA312226，故选项B正确；

2

对于选项C，PAB最大时，为过点A作圆x3y28的切点，求得切点不为

3,22，则PA26，故选项C错误；

对于选项D，直线AC的方程为7xy70，则圆心3,0到直线AC的距离为

73714214242

，所以点P到直线AC距离最小值为22，故选项D正

721555

确；故选ABD.

结论：已知圆(xa)2(yb)2r2上任意一点P和坐标轴上任意两点A,B，求形如

PAPB(PAPB)的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.

例7．已知圆C是以点M2,23和点N6,23为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点

A2,0，点B1,1，则2PAPB的最大值为（）

A．26B．42C．852D．2

解析：由题设，知：C(4,0)且|MN|(2323)2(62)28，即圆C的半径为4，

∴圆C：(x4)2y216，

ACPC1

如上图，坐标系中D(4,0)则OD2ACCPOC4，∴，即△APC△PCD，

CPDC2

PA1

故，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.

PD2

∴2PAPB|PD||PB|，在△PBD中|PD||PB||BD|，∴要使|PD||PB|最大，

P,B,D共线且最大值为|BD|的长度.∴|BD|(14)2126.故选：A

★5.四叶玫瑰线

3

例8．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:x2y24x2y2被称为“四叶玫瑰线”（如图

所示）.给出下列三个结论：

①曲线C关于直线yx对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；

③存在一个以原点为中心､边长为2的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

解：对于①，用y,x替换方程中的x,y，方程形式不变，所以曲线C关于直线yx对称，

故①正确，

3

对于②，设点Px,y是曲线上任意一点，则x2y24x2y2，则点P到原点的距离为

222

3

2222xy221

x2y2，由xy4xy4，解得x2y21，当且仅当xy时取

22

等号，故②正确，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，

所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故③错误.

故选：A

★6.包络曲线

例9.（湖北省部分地市州25届高三元月联考）．直线族是指具有某种共同性质的直线的全

体，例如ykx1kR表示过点0,1的直线族（不包括直线x0）．直线族的包络曲线

定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切

线都是该直线族中的某条直线．已知直线族axby1a,bR，则下列说法正确的是（）

A．若acos,bsin0,2π，则该直线族的包络曲线为圆

cossin

B．若a,b(mn0,0,2π)，则该直线族的包络曲线为椭圆

mn

313

axby1

C．当a,b(t0)时，点x0,2x0x00可能在直线族上

2t2t3

D．当a2b0时，曲线x24yx0是直线族axby1的包络曲线

sinθ

解析：对于A，设圆O：x2y21上的点为P(cos,sin)，直线OP的斜率为k，

OPcosθ

cosθ

过点P作圆的切线l，由kk1，得k，所以切线l的方程为

OPllsinθ

cosθ

ysinθ(xcosθ)，即xcosθysinθ1，故A正确；

sinθ

x2y2

对于B，设椭圆1上的点为P(mcos,nsin)，过点P作圆的切线l，当切线斜率存

m2n2

x2y2

1

在时，设ykxb，m2n2，联立得：(n2m2k2)x22kbm2xm2b2m2n20，

ykxb

kbm2n2bmcoskm2

所以mcos，nsinkmcosb.作商：，得

n2m2k2n2m2k2nsinn2

ncosncosθxcosysin

k，所以切线l的方程为ynsinθ(xmcosθ)，即1；

msinmsinθmn

xcosysin

当切线斜率不存在时，0或，则切线方程yn和yn亦满足1，

mn

故B正确；

323323323

对于C，将x0,2x0代入y3tx2t得2t3tx02x00，构造f(t)2t3tx02x0，

f(t)6t(tx0)，当t(0,x0)时，f(t)0；当t(x0,)，f(t)0.所以f(t)在(0,x0)上单调

递减，f(t)在(x0,)上单调递增，因而当tx0时，f(t)取到最小值

3233323

f(x0)2x03x0x02x0x00，所以f(t)在(0,)无零点，2t3tx02x00无解，故C错

误；

11

对于D，若x,y不在直线族上，则将x,y代入直线yx得ya2ax10无解，

0000aa200

2

2x02

则x04y00，所以y,因而可得当x0,y0在曲线x4y上时，则一定在直线族上，

04

2

112444411

联立和2得xx0，所以，故直线

yx2x4y2Δ40yx2

aaaaaa2aa

2

和x24y相切，又axby1不包括直线y0，所以x4yx0是直线族axby1的包络曲线，

故D正确.故选：ABD.

★7.高次曲线

nn

xy

例10．（2025·江西·一模）我们把形如1a,b,nR的曲线叫作拉梅曲线，该曲

ab

线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的

是（）

nn

xy

A．若n1，则拉梅曲线1围成的封闭区域的面积为4ab

ab

nn

1xy2

B．若n，则拉梅曲线1围成的封闭区域的面积小于4πa

2aa

nn

xy

C．若拉梅曲线1与曲线xy1恰有4个公共点，则nloga2

aa

nnnn

xynab

D．若Px0,y0为拉梅曲线1上第一象限内一点，则xy

ab004

xy

解析：当n1时，拉梅曲线方程为1为菱形，与坐标轴交于点a,0，0,b，

ab

则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab，A不正确．

nn

1xy

当n时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线1在第一象限的情形，

2ab

xy222

此时由1可得yax，下证axaa2xa，

aa

即证a2axxa2axx2，即证x2ax2axx20，

即证x2ax2a，即证2a2x2ax4a，即证x2axa，

2

即证x2axa2，即证xa0，这显然成立．

2

因为yaa2xa（0xa）表示圆心为a,a，半径为a的四分之一圆弧，

12

所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为1πa，

4

nn

xy12

则拉梅曲线1与第一象限围成的封闭区域的面积小于1πa，

ab4

2

则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于4πa，B正确．

nn

xy

当拉梅曲线1与曲线xy1恰有4个公共点时，

ab

nn

xy

1

根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由aa，

xy1,

整理得x2nanxn10恰有1个正根，则a2n40，

n

解得a2，即nloga2，C正确．

nn

xy

若Px0,y0为拉梅曲线1上第一象限内一点，

ab

nnnnnn

xynab

则00≥x0y0，从而≤，正确．

12x0y0D

abab4

故选：BCD．

★8.圆锥曲线（前面曲线）的拼接与组合

例11.（24-25高三下·浙江·开学考试）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两

x2y2

条曲线构成，曲线C:1，上顶点为E，右顶点为G，曲线C2上的点满足到F0,1

134

和直线y1的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过F作斜率小于0

的直线l与两曲线从左到右依次交于A,B,C,D且yA1，则（）

A．曲线C2由两条抛物线的一部分组成

B．线段AF的长度与A点到直线y5的距离相等

53

C．若线段AB的长度为，则直线l的斜率为

64

23

D．若S△AFE3S△DFG，则直线l的斜率为

3

解析：

对于A选项，设曲线C2上任意一点Mx,y，

22

由C2定义可知，x,y满足x(y1)y14，移项，平方可得：

12y24,y1

x2(y1)2(4y1)2168y1(y1)2，即x2164y8y1，

4y8,y1

为两条抛物线，故A正确；

对于B选项，F和直线y5分别为抛物线x212y24的焦点和准线，由抛物线定义可知，

故B正确

对于C选项，设l与y轴夹角为,F同时为抛物线x212y24和椭圆的焦点，p=6，

63544

ABAFBF，解得cos，则k，故C错误.

1cos2cos65l3

对于D选项，易知F为抛物线x24y8和x212y24的焦点，前者p2，后者

p6,AF,DF分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此

62

AF,DF,AF3DF，由于S△3S△，则dd，因此EG//l，

1cos1cosAFEDFGElGl

23

所以kk，故D正确，故选：ABD

lEG3

三．习题演练

1．（2025·山东潍坊·模拟预测）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形

线、卵形线等．已知卵形线C：x2xy20，则（）

A．C关于直线y0对称

B．C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个

C．C上存在点P，使得P到点1,0的距离小于1

D．C围成区域的面积大于4

2．（2025·安徽合肥·一模）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美

曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”C：x225x2y2y290，

则（）

A．曲线C关于直线yx对称

B．曲线C有4个顶点

C．曲线C与直线yx3有4个交点

27

D．曲线C上动点P到原点距离的最小值为

5

2

3．（2025·云南昆明·一模）“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线C:(x2y2)34xy，

其形态极像“四叶草”，设O为坐标原点，P为C上异于原点的一点，过点P作直线OP的垂

线交坐标轴于A，B两点，则（）

A．C有4条对称轴B．C围成的面积大于4π

C．AB4D．OAB的面积最大值为4

参考答案

1.解析：由C:x2xy20，则C:(x1)2y21，对于曲线上任意点(x,y)，其关于x轴对

称点为(x,y)，把x,y代入x2x(y)2x2xy20成立，曲线关于直线y0对称，

A对；

所以y21(x1)211y1，得0x2，故0x4，x0时y0；x1时y1；

x4时y0，故曲线过点(0,0),(1,1),(4,0)，曲线C上恰好有4个整点，B对；

由圆(x1)2y21过点(0,0),(1,1),(1,0)，故圆上点均在曲线上或内，所以曲线C上不存在

点P，使得P到点(1,0)的距离小于1，C错；

1

如图中，四边形OACB在曲线C内部，故曲线C所围成区域的面积大于S244，

OACB2

D对.故选：ABD

2.解析：对于A，将x,y交换方程依然成立，所以曲线关于yx对称，A正确；

对于B，易得曲线有四条对称轴x轴，y轴，直线yx，直线yx，共有8个顶点，B错

误；

2222

x25xyy9022

对于C，由得x225x2x3x390，

yx3

22

即25x2x32xx30，可得xx325x75x20，对于方程25x275x20，

(75)242520，则方程25x275x20有两不等实根，且方程的根不为0和3，

所以方程xx325x275x20有4个不等实根，

从而曲线C与直线yx3有4个交点，C正确；