2026高考数学复习微专题：82.双曲线焦点三角形的内切圆

82.焦点三角形的内切圆与应用

一．基本原理

椭圆中，假设焦点的内切圆半径为，则.

1.PF1F2rS(ac)r

2.（★高频考点）双曲线中，焦点三角形的内心I的轨迹方程为xa(byb,y0).

证明：设内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T，则由切线长定理可得

PMPN,F1MF1T,F2NF2T,因为PF1PF2F1MF2MF1NF2T2a，

F1F2F1TF2T2c，所以F2Tca，所以点T的坐标为(a,0)，所以点I的横坐标为定

值a.

3.设焦点在轴的椭圆中，的内切圆圆心为，且与相切于点，

xPF1F2IPF1F2A,B,M

设点的坐标为，点的坐标为.则有如下性质:

Px0,y0IxI,yI

（1）PAPBac.

eyc

（2）xex,y0，其中e为椭圆的离心率.

I0I1ea

e1

（3）设直线IF,IF的斜率分别为k,k,则kk.

121212e1

（证明见下面例题1）

4.注意到内心是三角形角平分线的交点，我们也可以利用向量关系来刻画内心：

（2）三角形三条角平分线的交点.内心为OBCOACAOBABOC0

（2）内心性质.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAC

OPOA()，0,则P点的轨迹一定通过ABC的内心

ABAC

AB

证明：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，

ABABACe1和e2

AB

又，则原式可化为，由菱形的基本性质知平分，

OPOAAPAP(e1e2)APBAC

那么在ABC中，AP平分BAC，则知一定过内心.

二．典例分析

x2y2

例1．已知F1，F2分别是椭圆C：1的左、右焦点，P为第一象限内椭圆C上一点，

54

△

PF1F2的内心为点I，则直线IF1与IF2的斜率之积为（）

555353

A．B．C．D．

5842

x2y2

00

解析：设Px0,y0x00,y00，Ix1,y1x10,y10，则1，易知F11,0，

54

222

2

故224x0x0x0x0，

PF1x01y0x02x0142x0555

5555

x0

则由椭圆的定义可得PF25．设A，B，M分别为△PFF的内切圆与边PF，PF，

51212

F1F2的切点，则Mx1,0，根据内切圆的性质知PAPB，AF1MF1，BF2MF2，

x0x0

因此PF1PF2AF1BF2MF1MF2，得55x111x1，解得

55

xy

0△110

x1．在PF1F2中，y0F1F2PF1PF2F1F2y1，解得y1，因此

52251

x0y0

I,，故

551

yy

0000

5y2204x253

kk515100故选：．

IF1IF222.D

x0x0222

1151x0551x05

55

2

2y

例2.（多选题）已知F1、F2分别为双曲线x1的左、右焦点，过F2且倾斜角为的直

3

△△

线与双曲线的右支交于A、B两点，记AF1F2的内切圆O1的半径为r1，BF1F2的内切圆O2

的半径为r2，圆O1的面积为S1，圆O2的面积为S2，则（）

π5π

A．的取值范围是,B．直线O1O2与x轴垂直

66

10π

C．若r1r22，则AB6D．SS的取值范围是2π,

123

y2

解析：对于A选项，在双曲线x21中，a1，b3，ca2b22，

3

2

2y

所以，F12,0、F22,0，若直线ABx轴，此时AB:x2与双曲线x1的右支交

3

π

于两点，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx2，设点

2

22

3xy32222

Ax1,y1、Bx2,y2，联立可得3kx4kx4k30，

ykx2

3k20

Δ16k443k234k20

2

由题意可得4k，解得或，

xx0k3k3

12k23

4k23

xx0

12k23

πππ2ππ2π

因为0π，此时,,，综上所述，的取值范围是,，A错；

322333

对于B选项，设圆O1分别切AF1、AF2、F1F2于点M、N、T，设点Tt,0，由切线长定

理可得F1MF1T，F2NF2T，AMAN，所以，

22aAF1AF2AMF1MANF2NF1MF2NF1TF2T

t22t2t，可得t1，即点T1,0，故点T为双曲线的右顶点，同理可知，圆O2

切F1F2与点T，且O1Tx轴，O2Tx轴，故O1O2x轴，B对；

1π

对于C选项，连接OF、OF，则OFOOFTOFTAFFBFF，

12221221222221212

π

即OFOF，因为TOFTOFTOFOFT，所以，TOFOFT，

12221222121222212

1r

1

所以，tanTO2F2tanO1F2T，且TF2ca1，所以，，则r1r21，又因为r1r22，

r21

△

所以，r1r21，此时，O1、O2关于x轴对称，所以，O1TF2为等腰直角三角形，则

ππ

OFT，故AFF2OFT，即ABx轴，此时，直线AB的方程为x2，联

12421122

x2

x2

立2，可得，故，对；

2yAB6C

x1y3

3

π2ππ2πππ

对于D选项，,，所以，AF2T,，故O1F2T,，

333363

3111

则，则2，因为函数在上

r1F2TtanO1F2TtanO1F2T,3r1,3yx,1

33x3

1

为减函数，在1,3上为增函数，由C选项可知，r1r21，则r2，所以，

r1

110π

222，对故选：

S1S2πr1r2πr122π,D.BCD.

r13

2

2y

例3．（多选题）已知双曲线C:x1的左右焦点分别为F1,F2，左顶点为A1，点P是C

3

的右支上一点，则（）

22

A．PF1PF2的最小值为8

B．若直线PF2与C交于另一点Q，则PQ的最小值为6

2

C．PF1PF2|OP|为定值

△

D．若I为PA1F2的内心，则IF1IF2为定值

2

2y

解析：对A，x1得a1,b3,c2，所以PF1PF22a2,F1F22c4，

3

22

所以PF1PF2PF1PF2PF1PF22PF1PF22F1F28，

22

当P为双曲线右支与x轴交点时，取等号，即PF1PF2的最小值为8，故A正确；

对B，若直线l经过F2，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y0，

与双曲线C的两个交点为Q1,0,P1,0，此时PQ2，故B错误；

对C，因为2POPF1PF2,F2F1PF1PF2，

222222

所以，，

4POPF1PF22PF1PF2F2F1PF1PF22PF1PF2

2222

两式相加得，4PO162PFPF，

122PF1PF24PF1PF284PF1PF2

2

所以PF1PF2|PO|2，故C正确；

△

对D，设I(x,y),A(1,0),F2(2,0),Px0,y0,I为PA1F2的内心，

PF2IA1PA1IF2A1F2IP0，

22，

2x01(1x,y)x01y0(2x,y)3x0x,y0y0

22

x12x1y

x000

22

2x2x1y

000，

3y0

y

22

2x02x01y0

222222

2

x02x014x01y04x01x01y03y0

2y

x2

322

2x2x1y

000

22222

x01y04x014x01x01y02

12y

2，I在双曲线x1上，

22

2x2x1y3

000

IF1IF22,为定值，D正确，故选：ACD．

x2y2

例4．（★考频压轴考题）已知F,F分别为双曲线1(a0,b0)的左右焦点，过F且

12a2b22

△

斜率为k(k0)的直线与双曲线的右支交于A,B两点，记AF1F2的内切圆半径为r1,BF1F2的

r13

内切圆半径为r2．若，则k_______.

r22

△、、

解析：如图，记AF1F2的内切圆圆心为C，内切圆在边AF1AF2F1F2上的切点分别为

M、N、E，易知C、E两点横坐标相等，AMAN,F1MF1E,F2NF2E，

由AF1AF22a，即AMF1MANF2N2a，得F1MF2N2a，即

F1EF2E2a，记C点的横坐标为x0，则Ex0,0，则x0ccx02a，得x0a．

△

记BF1F2的内切圆圆心为D，同理得内心D的横坐标也为a，则CDx轴，设直线AB的

πr

π1

倾斜角为，则OF2D,CF2O，在△CEF2中，tanCF2Otan，

22222F2E

π

rtan

2r1236

同理，在△DEF2中，tanDF2Otan，所以，即tan，

2F2Er2

2tan23

2

2tan

所以ktan226．故答案为：

26.

1tan2

2

x2y2

例5．（上题迁移到椭圆中）已知椭圆C：1ab0的左、右焦点分别是F1，F2，

a2b2

1△

斜率为的直线l经过左焦点F且交C于A，B两点（点A在第一象限），设AF1F2的内切圆

21

r

△1

半径为r1，BF1F2的内切圆半径为r2，若2，则椭圆的离心率e__________.

r2

△

解析：如图所示，由椭圆定义可得AF1AF22a，BF1BF22a，设AF1F2的面积为S1，

11

2a2cr2cy

r1SAry

△BFF的面积为S，因为12，所以2121A2，

122r1S1ry

22a2cr22cy2B

222B

即yA2yB，设直线l:x2yc，则联立椭圆方程与直线l，可得

2

x2yc222244bc

222222(a4b)y4bcyb0，由韦达定理得：yy，

bxayabABa24b2

2

4b2c

2

422

byAyByya4b

yy，又A2B，即11

AB22422

a4byAyByByAb22

a24b2

16c21

化简可得32c2a24a2c2，即36c25a2，即36c25a2时，有

a24b22

555

e2e.故答案为：

3666

三．习题演练

22

xyPx,y

1．设F，F2为椭圆C：1的两个焦点，00为C上一点且在第一象限，Ix1,y1

12516

△△

为F1PF2的内心，且F1PF2内切圆半径为1，则（）

551

A．IP5B．xC．x12D．kIFkIF

03124

【详解】如下图所示，设切点为A，B，C，

x2y2

对于A，由椭圆的方程1知：a5,b4,c3，由椭圆的定义可得：

2516

PF1PF22a10，易知AF1BF2F1F26，所以PAPB2，所以IP145，

故A正确；

11

对于BCD，SFPFSFPISIPFSFIFPF1PF2F1F2r2a2cr，

12121222

118

又因为S6y1061，解得：y，

F1PF220203

22

Px,yx0y055

又因为00为C上一点且在第一象限，所以1，解得：x，故B正确；

251603

c

从而PFax55，所以AFPFPA35，

1a011

所以AF1CF135，而OF13，所以I5,1，故C错误；

111

从而kIFkIF，故D正确.故选:ABD．

1253534

x2y2

2．已知双曲线1，a,b0的左右焦点记为F1，F2，直线l过F2且与该双曲线的

a2b2

b

一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得△PFF的内切圆半径恰为，则此双曲

123

线的离心率为（）

511

A．2B．C．3D．

32

x2y2

【详解】令双曲线1的半焦距为c，则F1(c,0),F2(c,0)，由对称性不妨令与l平行

a2b2

bb

的渐近线为yx，直线l方程为：y(xc)，即bxaybc0，令△PFF的内切圆O

aa12

△

与PF1F2三边相切的切点分别为A，B，C，令点A(x0,0)，如图，

由切线长定理及双曲线定义得：

|PF1||PF2||PC||CF1|(|PB||BF2|)AF1AF2x0ccx02x02a，

bb

即xa，而AOx轴，圆O半径为，则有O(a,)，点O到直线l的距离：

033

b

|aba()bc|

b

3，整理得|4a3c|c，即43ee，而e1，解得e2，

a2b23

所以双曲线的离心率为2.故选：A

x2y2

3．已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2，斜率为1的直线经过左焦点

a2b2

F1且交C于A,B两点（点A在第一象限），设△AF1F2的内切圆半径为r1,BF1F2的内切圆半

r

1

径为r2，若2，则椭圆的离心率的值为（）

r2

1132

A．B．C．D．

3233

【详解】如图所示，由椭圆定义可得AF1AF22a，BF1BF22a，设△AF1F2的面积

r

△1

为S1，BF1F2的面积为S2，因为2，所以

r2

11

2a2cr2cy

1SAry

2121A2，即y2y①，

1S1ryAB

2a2cr22cy2B

222B

设直线l:xyc，则联立椭圆方程与直线，可得

2

xyc222242bc

222222(ab)y2bcyb0，所以yy②，

bxayabABa2b2

b4(2b2c)2b42

yy③，联立①②③得，2，整理得2a29c2，所以e．

ABa2b2(a2b2)2a2b23

故选：D

x2y2

4．已知双曲线1的左，右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线l交该双曲线的

a2b2

△△

右支于M，N两点(M点位于第一象限)，MF1F2的内切圆半径为R1，NF1F2的内切圆半

R

1

径为R2，且满足4，则直线l的斜率为_________

R2

△

【详解】设圆O1与MF1F2的三边的切点分别为A，B，C，如图

令MAMCm，AF1BF1n，BF2CF2t，根据双曲线的定义可得

mnmt2a,

△

可得nac，由此可知，在F1F2M中，O1Bx轴于B，同理O2Bx

nt2c,

轴于B，∴O1O2x轴.过圆心O2作CO1的垂线，垂足为D.易知直线l的倾斜角与O2O1D

大小相等.不妨设R14，R21，则O2O15，O1D3，所以根据勾股定理，O2D4，所

44

以tan.故答案为：

33

x2y2

5．已知双曲线1的左，右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且倾斜角为直线l与

424

△△

该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），MF1F2的内切圆半径为R1，NF1F2的

R1

内切圆半径为R2，则为_________.

R2

△

【详解】设MF1F2的内切圆为圆O1，与三边的切点分别为A,B,C，如图所示，

△

设MAMCm，AF1BF1n，BF2CF2t，设NF1F2的内切圆为圆O2，

(mn)(mt)2a

△

由双曲线的定义可得，得nac，由此可知，在MF1F2中，O1Bx

nt2c

轴于点B，同理可得O2Bx轴于点B，所以O1O2x轴，过圆心O2作CO1的垂线，垂足为D，

因为OODBFC180,BFCCFx180，所以OODCFx，

212222124

R

1

∴O1O22O1D，即R1R22R1R2，∴21R121R2，即322

R2

故答案为：322.

222

xy2y

6．已知椭圆C:1ab0的左右焦点F1，F2分别是双曲线C:x1的左右

1a2b229

10

顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．

10

(1)求椭圆C1的方程；

(2)设P是第一象限内C1上的一点，PF1、PF2的延长线分别交C1于点Q1、Q2，设r1、r2分

别为△PF1Q2、△PF2Q1的内切圆半径，求r1r2的最大值．

2

2y

【详解】（1）椭圆的左右焦点分别为F1c,0，F2c,0，而双曲线C:x1的顶点分

29

y2

别为1,0，1,0，所以c1．又椭圆上顶点为0,b，而双曲线C:x21的一条渐近

29

b2

10222x2

线为y3x，则有，解得：b1．故a112，所以椭圆C1的方程为y1．

10102

y

Px,y0

（2）设Q1x1,y1，Q2x2,y2，00，直线F1P的方程为：yx1，

x01

22

xy2

0

将其代入椭圆C1的方程可得2x11，整理可得

2x01

2

2223x04x03x04

2x3x4yx3x4x0，则xx，得x1，

000001

2x032x03

y03x04y03x04y0

y11，故Q1,．当x01时，直线F2P的方

x012x032x032x032x03

y

程为：y0x1，将其代入椭圆方程并整理可得

x01

3x4y1

2x3x24y2x3x24x0，同理，可得Q0,0，因为S42r，

00002△PF1Q21

2x032x032

1

S△42r，所以

PF2Q122

11

2y22y1

S△S△S△S△

PF1Q2PF2Q1F1F2Q2F1F2Q122

r1r2

22222222

yy2yy22xy22221

120000

22x18y

2242x032x03x018y000x18y3，

200

yx

00y0x0

351022

当且仅当，时，等号成立，若PFx轴时，易知P1,，，

x0y02y1

510210

yy24211

212

y，此时r1r2，综上，r1r2的最大值为.

222241053

2

x2

7．如图，椭圆C:y1的左右焦点分别为F、F，设Px0,y0是第一象限内椭圆C上

212

、、

的一点，PF1PF2的延长线分别交椭圆C于点Q1x1,y1Q2x2,y2．

(1)若PF2x轴，求PF2的值；

△

(2)若F1PF260，求F1PF2的面积及点P的坐标；

(3)求y1y2的最大值．

x2

【详解】（1）由椭圆C:y21，得a22,b21，则a2,b1,c1，所以F(1