2024-2025学年天津市津南区某中学九年级（上）期中数学试卷+答案解析

2024-2025学年天津市津南区小站一中九年级(上)期中数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()

A.2x2+-+5=0B.ax2+brr+c=()

x

C.(7—1)(T+8)=6D.x3—2xy+5/=0

2.一元二次方程/一2N+1=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

3.用配方法解方程/+87+3=0,正确的变形为()

A.(①—4)2=13B.(x+4产=5C.(x+4)2=13D.(x+4)2=—5

4.若方程3,+7z—9=0的两个实数根分别为3、，2,则为+电等于()

77

A.—B.—C.—3D・3

33

5.将二次函数沙=2/的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是()

A."=2(N+2)2+3B.g=2(①+2产-3

C.y=2(x-2)2-3D."=23-2)2+3

6.抛物线v=2(/-3产的顶点坐标为()

A.(3,0)B.(-3,0)C.(0,3)D,(0,-3)

7.关于二次函数沙=一57+1的最值情况是()

A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值5D.有最大值一5

8.已知点4(一2.伊)，B(1，V2)，C(3,g)在二次函数//=一2/图象上，则？/1,"2,班的大小关系是()

A.?/1<?/3<y-2B.yi<y-2<%c.y-2<yi<z/3D.y3<yi<y-2

9.由二次函数〃=2(①一3产+1,可知()

A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线宓=-3

C.其最小值为1D.当n<3时，y殖x的增大而增大

10.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从某月份的30()万元，连续两个月降至26()万元，设平均降低率

为工，则可列方程()

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A.300(1+1)2=260B.300(1-=260

C.300(1-2x)=260D.300(1-T)2=260

11.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x

是直线①=一1,其部分图象如图所示,

A.r<1

B.r>-3

C.-3<x<1

D.r<-3或①>1

12.如图，要围一个矩形菜园48c。，其中一边彳。是墙，且力。的长不能超过26小，其余的三边48,BC,

。。用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①48的长可以为6相；②48的长有两个不同的值满足菜园

月8C。面积为192〃八③菜园48。面积的最大值为200川2其中，正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.将一元二次方程4/-5c=81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项的和为

14.方程/=4的解为____.

15.已知二次函数g=(2/71-3)/有最大值，则机取值范围是____.

16.有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了一

个人.

17.二次函数g=a/+历:一1(Q#0)图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:

X•••-4-3-2-101•••

y•••-1m32-1-6•••

则见的值为

18.如图，已知二次函数g=a/+厉:+c(Q#0)的图象如图所示，其对称

轴为直线7=1，以下4个结论：①Q/K<0；②(Q+C)2cb2：

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③a+b<m(am4-b),其中m/1：@4a4-26+00.其中正确结论的有.(写序号)

三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题8分)

解下列方程：

⑴/+8/=-7；

⑵2/-6J:-3=0.

20.(本小题8分)

解下列方程：

⑴1(2①-5)=4N-10；

(2)(21-I)2=(3-1产.

21.(本小题8分)

二次函数〃=a/+敌+c(a#0)的自变量x与对•应的函数y的值(部分)如表所示：

X-3-2-1012

Vm71-1I7

解答下列问题：

(“求这个二次函数的解析式；

(H)表格中m的值等于；

(HI)在直角坐标系中，画出这个函数的图象；

(IV)将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式.

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22.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程2/+/+m=0(m为常数).

(1)若，=1是该方程的一个实数根，求m的值和该方程的另一个实数根；

(2)若该方程有两个不相等的实数根，求〃?的取值范围.

23.(本小题8分)

如图，在△43。中，N8=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点。从点彳开始沿边力〃向点5以2cm/s

的速度移动，动点。从点8开始沿边8c向点。以4cm/s的速度移动，如果P,0两点分别从48两点同

时出发，设运动时间为①s.

(I)用含x的式子表示：

AP=cm,

BP=_____cm,

BQ=_____cm：

(H)当AP/Q的面积为32s户时，求运动时间；

(H【)四边形AP0c的面积能否等于172C"J?若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.

24.(本小题8分)

某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每周可卖出300件.如果每件商品的售价每降价1元，每周

可多卖20件(每件售价不能低于40元).设每件商品的售价下降x元，每周的销售利润为y元.

(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)每件商品的售价定为多少兀时，每周可获得最大利润？最大的周利润是多少兀？

(3)每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是5280元？

25.(本小题8分)

如图，抛物线g=/-bc+c交x轴于点A(l,0),交y轴交于点8,对称轴是直线£=2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在抛物线上存在一点。，使△AGO的面积为8,请求出点。的坐标.

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(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使△P/13的周长最小？若存在，求出点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意.

4、当Q=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意.

C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意.

。、该方程属于二元三次方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

本题根据一元二次方程的定义求解.

一元二次方程必须满足两个条件：

(1)未知数的最高次数是2；

(2)二次项系数不为。.

本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，

一般形式是a/+加+°=()(且Q#。).特别要注意的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.

2.【答案】B

【解析】解：由题意可知△=(-2)2-4x1x1=0,

.•.一元二次方程/一2N+1=0有两个相等的实数根.

故选B.

本题考查一元二次方程的根的判判式.

根据根的判别式即可求出答案.

3.【答案】C

【解析】解：,.•/2+8丁+3=0,

/./+8N=-3,

/./+8④+16=—3+16»

.•.3+4)2=13,

故选:C.

把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方.

本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,

最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.

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4.【答案】A

7

【解析】解：根据题意得，3+磔=一(.

故选：A.

直接利用根与系数的关系求解.

本题考查了根与系数的关系：若可，了2是一元二次方程的2+批+。=0缶加)的两根时，为+①2=一幺

a

c

X\X2=—.

a

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键.

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【解答】

解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数沙=2:，的图象向右平移2个单位所得函数的解析式为

y=2(x-2)2；

由“上加下减”的原则可知，将二次函数？/=2&-2产的图象再向下平移3个单位所得函数的解析式为

—产一工

故选C.

6.【答案】A

【解析】解:抛物线g=2Q—3产的顶点坐标为(3,0),

故选：A

根据二次函数的顶点式解答即可.

此题考查二次函数的性质，关键是根据二次函数的顶点式解答.

7.【答案】B

【解析】解：•.•二次函数g=—5/+l,Q=-5<0,

7.抛物线开口向下，顶点坐标为(0,1).

.•.函数有最大值，最大值为1.

故选：B.

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由二次函数的性质及函数的顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得出答案.

本题考查了二次函数的最值，明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：•.•点4（-2,协）,仇1,重），。⑶明）在二次函数y=—2/图象上，

二.y\=-2x4=—8：y-2=-2x1=—2；禽=—2x8=—18,

y3<yi<V2-

故选：D.

分别计算出自变量为-2、-1和3的函数值，然后比较函数值的大小.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

9.【答案】C

【解析】解：由二次函数y=2（①一3/+1,可知：

/：Q〉。，其图象的开口向上，故此选项错误；

8.其图象的对称轴为直线1=3,故此选项错误；

C其最小值为1,故此选项正确；

。.当£<3时，歹随x的增大而减小，故此选项错误.

故选：C.

根据二次函数的性质，由a的值得出开口方向，再得出最值、龙称轴和增减性，分别分析即可.

此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质.

1（）.【答案】D

【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.根据该企业某月份的生产总值及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此

题得解.

解:依题意,得：300（1-x）2=260.

故选D.

11.【答案】C

【解析】解：•.♦抛物线与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴是直线，=一1,

.•.抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0）,

•.・抛物线开口向下，

,当一3cze1时，y>0.

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故选：c.

利用抛物线的对称性确定抛物线与X轴的另一个交点坐标为（-3,0）,然后结合二次函数图象，写出抛物线

在工轴上方所对应的自变量的范围即可.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a/+法+c（a,Ac是常数，。#0）与x轴的交点坐标问

题转化为解关于入•的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

12.【答案】C

>4（）_T

【解析】解：设4）边长为初?，则48边长为长为三

40—

当,43=6时，-^T=6,

解得：a;=28,

•二,4。的长不能超过26小，

.”<26,

故①不正确：

•.•菜园48CZ）面积为192加2,

整理得：x2-404+384=0，

解得：3；=24或3；=16，

,43的长存两个不同的值满足菜园/"CO面积为192m2,

故②正确；

设矩形菜园的面积为

根据题意得：y=x-—4（比）=一：（£—20）2+2（）（）,

—~<0»20<26>

二.当二=20时，y有最大值，最大值为200.

故③正确.

综上所述，结论②®正确，即正确的结论有2个，

故选：C.

设,4。边长为m?,则48边长为长为三根据48=6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范

围判断①；根据矩形的面积=192.解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为可小，

根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③.

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此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程

是解题的关键.

13.【答案】-82

【解析】解：将一元二次方程4/—5z=81变为一般形式为：4/一5%-81=0，

二.根据一元二次方程的定义，二次项系数为：4,一次项系数为：-5,常数项为：-81,

所以一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为：4+(-5)+(-81)=-1-81=-82.

故答案为：一82.

根据一元二次方程的定义先求出二次项系数，一次项系数，常数项，再求出它们的和即可.

本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的定义是解答关犍.

14.【答案】为=2,X2=-2

【解析】【分析】

本颍考杳了一元二次方程的解法-直接开平方法，比较简单.利用直接开平方法，求解即可.

【解答】

解：开方得，啰=±2,

即X\=2,X2=-2.

故答案为£1=2,x2=-2.

15.【答案】m<^

【解析】解：•.•二次函数g=(2m-3)i有最大值,

/.2m-3<0,即

故答案为：771<

直接利用二次函数有最大值，则。<0,进而得出答案.

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数的性质是解题关键.

16.【答案】12

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

(1+£)2=169

1+]=±13

=12,X2=一14(舍去).

答：每轮传染中平均一个人传染了12个人.

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故答案为：12.

根据增长率问题：增长率=增长数量/原数量xlOO%.如：若原数是。，每次增长的百分率为x,则第一次增

长后为Q(l+»第二次增长后为Q(l+①)2,即原数x(l+增长百分率)2=后来数.

本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关犍是掌握增长率问题：增长率=增长数量/原数量xlOO%.如:

若原数是m每次增长的百分率为X,则第一次增长后为。(1+/)；第二次增长后为。(1+①)2,即原数X(l+

增长百分率)2=后来数.

17.【答案】2

【解析】解：•.•£二-4或二=0的函数值相同，都是一1,

-4+0

.,.函数的对称轴为n=---=-2,

•.•点(-3,2)和点(-1,2)关于直线z=-2对称，

m=2»

故答案为：2.

根据函数的对称性即可求解.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键.

18.【答案】(D@④

【解析】解：①根据图象可知：G<0,c>0,

•.・对称轴在)，轴右侧，

.■/〉0，

abc<0»故①正确；

②当z=—1时，？/<0,即Q—力+。<0,

当工=1时，沙>0,即Q+b+c>0,

(Q-6+c)(a+6+c)<0,

?.(a+c)2<b2,

二.所以②正确；

③当z=l时，g=Q+b+c,

而当z=m时，y=am2+bm+c,其中

o+b+c>am2+bm+c，

/,a+b>am2+brn»也就是a+b>m(am4-b),故③错误.

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④由对称知，当£=2时的函数值与z=0时的函数值相等，即"=4Q+2b+c〉0,故④正确；

故答案为：①②④.

由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y轴的交点判断。的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴

交点情况进行推理，分别观察z=2，，=一1，z=l时的函数值，进而对所得结论进行判断即可.

此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握二次函数性质是关键.

19.【答案】解：(1)原方程可化为7+8/+7=0，

(N+7)(z+1)=0,

二.工+7=。或①+1=0,

X\=-7,X2=-1：

(2)由题意得，Q.=2,6=-6,c=-3,

/.A=62-4ac=36-4x2x(-3)=36+24=60>0,

-6±\/A6±2\/153±715

x=--------=---------=--------，

2a42

3+\/153-x/15

「•©=-2-'①2=-—•

【解析】。)把一7移到方程的右边，利用因式分解法解一元二次方程即可.

(2)先根据△〉0得出根的情况，再代入求根公式计算即可.

本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键.

20.【答案】解：(1)原方程整理为：x(2x-5)=2(2x-5),

二(2①一5)-2(2z-5)=0,

(2a—5)(①-2)=0,

2/一5=0或①一2=0,

5

•••工1=5，①2=2；

(2)原方程整理为：3/+2/-8=0，

(3J-4)(工+2)—0,

/.3工—4=0或N+2=0,

幻=：，宓2=-2.

【解析】(1)方程右边先提公因式2,再把方程右边移到方程左边，继续提公因式(22-5),即可利用因式

分解法解一元二次方程.

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（2）先把方程整理成3"+2z-8=0,再利用十字相乘法解一元二次方程即可.

本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键.

21.【答案】解：（I）由表格可知，

该函数有最小值，当£=0时，沙=-1，当力=一1和.=1时的函数值相等，

即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线1=0,顶点坐标为（0,-1），

设二次函数为“=。/一1,把工=1，〃=1代入得，1解得Q=2,

二次函数的解析式为V=2犷-1；

（11）17：

（in）在直角坐标系中，画出这个函数的图象如图：

（iv）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，则平移后的二次函数解析式为

V=2（］-2）2.

【解析】解：（I）见答案；

（n）把①=-3代入〃=2/-1得，y=17.

：.m=17>

故答案为17：

（川）见答案；

（IV）见答案.

（I）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法即

可求得：

（H）把z=—3代入求得的解析式即可求得m的值：

（IH）描点、连线画出图象即可；

（IV）根据平移的规律即可求得.

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本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得二

次函数的解析式是关键.

22.【答案】解：(1)二・①=1是该方程的一个实数根，

/.2x仔+1+血=o，

解得：m=-3,

二.原方程为：2/+N-3=0，

令方程的另一实数根为A则有：

1+U=W，

解得：V=-

(2)•.•方程有两个不相等的实数根，

/.A=I2-4x2m>0，

解得：m<1.

【解析】(1)把z=l代入原方程，得到关于，〃的方程，即可求阴的值，再利用根与系数的关系即可求另一

根；

(2)利用根的判别式进行求解即可.

本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用.

23.【答案】2x(12-2.T)

【解析】解：(I)根据题意得：AP=2xcm，BQ=4j：cm,

•/AB=12cm»

BP=AB-AP=(12-2x)cmt

故答案为：2x；(12-2x)；4x；

(II),/BQ=4xcm,BP=(12—2x)cmf

/.S色PBQ=-BQ=：x(12—2x)x4x>即SABQ=_4rr2+24T,

/.-4T24-24a:=32，

解得：z=2或4,

.•.当△P〃Q的面枳为32cm2时，运动时间是2.s-或4s；

(HI)四边形APQC的面积不能等于172。"/,理由如下：

S四边形APQC=S〉ABC-S"BQ=：x12x24-(-4/+24T)=4T2-24c4-144,

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若四边形APQC的面积能否等于172。加2,则4?-24z+144=172，

：.x=7或一1，

<0<£<6,

.•.四边形/PQC的面积不可能等亍172cm2.

(1)由题意可得42=2£夕几，BQ=^xcm,从而可以解决问座：

(11)由区(？=4*771,BP=(12-2rr)cm,得=—4«+24m可列方程一4,+24①=32，解方程

即可；

(IH)由S四边形力PQC=S'ABC-S"BQ=5x12x24—(—4/+24④)=4/—24c+144>可得

4?-24x-+144=172,解方程结合x的范围即可得到答案.

本题是动点问题，主要考查了图形的面积，一元二次方程的解法，解决问题的关键是能够化动为静，并且

注意x的取值范围，属于常考题.

24.【答案】解：(1)由题意得：

y=(60-X-40)(300+20c)=(20-6)(300+20")=-20/+1()(比+6000,

•.•每件售价不能低于4()元，

.•.()</<20,

.7与x的函数关系式为〃=-20r2+1()0,+6000(()(tW20)；

5

⑵u=-20/+100c+6000=-20(，--)2+6125,

乙

'：-20<0,

5

.•.当2=5时，y有最大值，最大值为6125,

5

售价为60-弓二57.5(元)，

答：当售价为57.5元时，每周可获得最大利润,最大利润6125元;

(3)由题意得:一20/+lOOx+60()()=5280，

解之得：为=-4(不符合题意，舍去)，交=9,

二.售价=60—9=51(元).

答：售价为51元时，每周利润为5280元.

【解析】(1