2024-2025学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（含参考答案）

2024・2025学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）如图，在Rta/18。中，ZC=90°,那么sinJ的值为（）

2.（2分）如图，A,B,。是上的三个点，N4OC=l（）0",则N8/1C的度数是（)

B.50°C.40°D.60°

3.（2分）把二次函数y=，-2x+4化为歹（x-/?）2+k（°W0）的形式，下列变形正确的是（）

A.y=（x+1）2+3B.y=（x-2）2

C.y=（x-1）2+3D.y=（x・1：2

4.（2分）如图，直线直线。被/］，h，，3所截得线段4B,BC,直线被/2,/3所截得线

段EF,则下列等式错误的是（）

AAD=BEBAB=D^cAB=DED坐里

*BE-CF.BC-EF,AC-DF,DE-EF

5.（2分）已知点/在反比例函数图象上，过点力作/4_Lx轴于点8,若△408的面积为1,则此反比例

函数的表达式为（）

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6.（2分）如图，OO是△力4c的内切圆，切点分别是。，E,F,AB=3,CE=2,则△/8C的周长为（）

A.5B.7C.8D.10

7.（2分）如图，在平面直角坐标系xQy中，△/I8C〜△©夕。且4（1,0）,B（2,0）,4（4,2）,B'

<6,1）,若△48c的面积为1,则△©夕。的面积为（）

8.（2分）如图，。。的半径为2V§，48为直径，过40中点。作CO_L18交OO于点。，连接40,

BD,点p为半圆力〃必上一动点，连接QO,过点。作。E_LP。，交尸8的延长线于点上.有如下描述

①N力。8=90°；

②当点。由点力向点B运动时，QE■的长增大；

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③/£=30°：

④。£最长时为6.

A.①②B.②③C.①③D.①③④

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）函数y=3的自变量x取值范围是.

X

10.（2分）把二次函数y=Z/图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式

为.

11.（2分）某小组同学为测楼高刍制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观

测视线与水平线的夹角为°，若观测者与楼的距离为10/〃（如图2）,则可测算长

为m.（结果精确到0/，73^1.732）

图1图2

12.（2分）精美的瓷器易碎，修补的技艺一一“铜瓷”便应运而生（如图1）.非凡的铜瓷技艺，以巧夺

天工般的神奇“魔法”使得瓷器“破镜重圆”的同时，也让器物所附属的那份特定情感记忆得以传承,

继续陪在人们身边.如图2一件圆形瓷器破坏了一部分，测得圆形瓷器的直径为12cm,缺口48之

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间距离为6cm，则AB的长为cm.

图1图2

13.（2分）已知二次函数丁=4『+及-3（。¥0）的图象经过点力（-1,0）,对称轴为直线x=l.除点力

外，请再写出此函数图象经过的一个点坐标.

14.（2分）如图，在△力3C中，乙4=45°，N8=60°,AC=342,则的长为

15.（2分）如图一块矩形铁板其中力。=86，4B=2M,现需要将此铁板裁剪为直角三角形形状,

且需要以力。为斜边，直角顶点E在8c上，则8E长为m.

AD

BC

16.（2分）某区域的快递网点位于尸处，负责区域内力、B、C、。、£五个小区的配送业务，小区间有道

路相连，道路长度如图所示.快递员每次配送任务都是从P处出发，所有快件配送完毕即完成任务，

不用返回网点尸处，此过程希望快递员的总路程尽可能短.若某次配送任务只包含8、C小区，则配送

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的最短路程为.若某次配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为

E

三、解答题（本题共12道小题，第17〜22题，每小题5分，第23〜26题，每小题5分，第27〜28题,

每小题5分，共68分）

17.（5分）计算：2sin45°-（4-兀）°+6）-1+|1”历卜

18,（5分）如图，在RtZ\/8C中，ZACB=90°,CQ_L/8于点。.

（1）求证：AACDsMBD；

(2)若CDH/8，BD=T,求力。.

19.（5分）在平面直角坐标系xOy中，点力（2,-3）,4（-1,〃）.

（1）若反比例函数y二X的图象经过点力和点以求火和〃的值；

X

（2）若反比例函数y=q的图象与线段04有交点，直接写出用的取值范围

X

2（）.（5分）如图，。0是边长为4的正方形的外接圆.

（1）求。。的半径；

（2）求图中阴影部分的扇形面积.

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21.（5分）已知二次函数），=«-4x+3.

（1）求该二次函数图象的顶点坐标，并在平面直角坐标系xQ），中画出函数图象;

（2）若1VXV4,直接写出歹的取值范围.

yA

1।—I•~~ta—■।--a6------•—a।-l-ii—a।--

r?-

I

L-?-

1

1?Y-

rA

—5X

rJ4_

I

L

I—

I

F

I

uT

f

22.（5分）如图，在△48C中.

求作：正方形DEFG,两个顶点在彳8上，另两个顶点分别在8c和AC上.

作法：

①在力4上任取一点P,作尸。_L川以交/4C于点。：

②在力8上截取PN=P。，过点N和。分别作尸N和尸。的垂线，交于点M：

③作射线AM交3c于点D；

④过点D作DE//MQ交力C于点E,过点D作DG//MN交AB于点G；

⑤过点E作EFLAB于点F.

则正方形DEFG为所求作正方形.

（1）补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成卜.面的证明.

证明：V4QPN=NMQP=4PNM=90°,

J四边形MNP。是矩形.

•:PN=P0,

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，矩形MNP。是正方形.

，：DE〃MQ,

MAMQsAADE.

,地=股（）（填写依据）.

ADDE

同理可得：幽二幽.

ADDG

・_MN

DG

，：MN=MQ.

:・DE=DG.

同理可得：四边形OE〜G为止方形.

23.（6分）炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度〃（单位：米）与

时间/（单位：秒）满足二次函数表达式：h=at2+bt+c（a#。），具体数据如表：

t0135•・♦

h2274727•••

（1）结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为米；

（2）若炮弹高度为42米时，求炮弹的飞行时间.

24.（6分）如图，OO直径为力出点C,。为OO上的两个点，OCLOD,过点C的直线交,44延长线于

点E,且N8C£=L/8OC.

2

（1）求证：CE为。。的切线；

（2）连接8。，若8c=2函，tanN8C£=工，求8。的长.

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25.（6分）如图，现有8小长篱笆和一段墙，围成区域为等腰△相＜:时面积为9〃2,围成区域为矩形尸。S7

（2）在平面直角坐标系x（方中，已经绘制力的图象和为图象上的部分点，补全刈的图象;

（3）根据图象，完成下列填空：

①当时，S/、,ABC=S沌彩p°ST：

②当时，S^MC=2S矩形PQST，

26.（6分）在平面直角坐标系他＞，中，己知抛物线y="2-叱1（“NO）过点（1,2a2+a+\）

（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

（2）若对于抛物线上的两个点（a-2,刈），（2a-1,力），都有为〈以.求。的取值范围.

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27.(7分)己知，在△48。中，AB=AC,NB4C=a,点、D,E分别是8C,力C的中点，点?是线段

上的动点，连接后凡点。关于£〃的对称点是G.

(1)如图1,若a=60°,且点G恰好在线段8E上，求理；

DF

(2)①如图2,当60°<a<180°时，依题意补全图形;

②连接力G,DG,恰好AG=DG,用等式表示线段8r，AC,〃。之间的数量关系，并证明.

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,对于平面上的点N和M给出如下定义：若在。。

上能找到一点P，使得MW=〃・NP(左为常数)，且NPMW=«(0Va<180°),则称点M是。。关于点

N的(A,a)关联点.

(1)已知点/(3,3).

①点8(4,0),C(6,1),D(1,6)中，是。。关于点H(I,90°)关联点的是；

②若点E(a,b)是。。关于点力的(2,90°)关联点，则b的取值范围是；

(2)点尸(对，力)是直线y=x上一点，点G的是OO关于点尸的(6，45°)关联点，若存在点G

在直线x=-2上，求点尸横坐标勺的取值范围.

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2024・2025学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（共16分，每题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）如图，在RtZX/lBC中，ZC=90°,那么sin/1的值为（）

A.gB.SC.AD.A

4553

【分析】根据正弦函数的定义求解.

【解答】解：在中，sinJ=B^=S.

AB5

故选：B.

【点评】本题考杳解直角三角形，解题的关键是记住正弦函数的定义.

2.（2分）如图，A,B,。是00上的三个点，NBOC=100°,则N8/1C的度数是（)

A.80°B.50°C.40°D.60°

【分析】根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求解即可.

【解答】解：,:/BOC=2/BAC,N8OC=10（T,

.*.Z^C=Xxi00°=50°,

2

故选：B.

【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键.

3.（2分）把二次函数卜=--2丹4化为歹=〃（x-h）2+k（aHO）的形式，下列变形正确的是（）

A.y=（x+1）2+3B.y=（x-2）2

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C.y=（x-I）2+3D.尸（X-112

【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可.

【解答］解:y=x2-2x+4

=x2-2r+l+3

=（x-1）2+3,

故选：C.

【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式是一般步骤是解题的关键.

4.（2分）如图，直线4〃，2〃/3：直线。被3方/3所截得线段力&BC,直线b被八,12,/3所截得线

段。区EF,则下列等式错误的是（）

AAD=MB岖=亚（、AB=£LD妪亶

.BE-CF.BC-EF.AC-DF,DE"EF

【分析】利用平行线分线段成比例定理判断即可.

【解答】解：•・•直线/|〃/2〃和直线。和力被/1，I＞，3所截，

.AB=DEAB=DEAB=BC

••而EF*ACDF*DE而，

故符合题意的是选项4

故选：A.

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

5.（2分）已知点/在反比例函数图象上，过点力作轴干点儿若△408的面积为1,则此反比例

函数的表达式为（）

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【解答】解：设反比例函数解析式为7=工（KWO）.

x

由题意S"OR=I卜L

2

,因=2,

•・•反比例函数图象在一，三象限，

">0,

:・k=2,

，反比例函数的解析式为尸2.

K

故选：A.

【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数A的几何意义，反比例函数图象上

的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

6.（2分）如图，是△NBC的内切圆，切点分别是。，E,F,AB=3,CE=2,则△ABC的周长为（）

［分析】由切线长定理得AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,则AF+BE=AD+BD=AB=3,求得AC+BC+AB

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=CF+AF+BE+CE+AB=\O,于是得到问题的答案.

【解答】解：：。。与44、BC、4c分别相切于点。、E、F,4B=3,CE=2,

：.AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,

：・AF+BE=AD+BD=AB=3,

:.AC+BC+AB=CF+AF+BE+CE+AB=2+3+2+3=10,

•••△/BC的周长为10,

故选：D.

【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出CF=CE=2,AF+BE=AB=

3是解题的关键.

7.(2分)如图，在平面直角坐标系xQy中，△/8C〜△/EC且力(1,0),B(2,0),4(4,2),B'

(6,1),若△4AC的面积为I,则9。的面积为()

【分析】先求出48=1,A，B』心再根据△川“?〜得一也幽一=()2=",由

S”B，一气，B，5

此可得夕。的面积.

【解答】解：•・•点4(1,0),B(2,0),A'(4,2),B'(6,1),

.•.48=2-1=1,48*(6-4)2+(1-2产=后

■:△力8c〜△48'。，

•S△烟—g2=工

飞.落一A「B-r

•••SM^C'=5S,M8C，

,•,△48C的面积为1,

••9481=5,

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即△川夕。的面积为5.

故选：D.

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积，坐标与图形，理解相似三角形的面积的比

等于相似比的平方是解决问题的关键.

8.（2分）如图，的半径为2«，为直径，过力0中点。作CO_L/也交于点。，连接/1。，

8。，点P为半圆力〃?8上一动点，连接PQ,过点。作。E_LPD,交P8的延长线于点有如下描述

@ZJD5=90°；

②当点P由点A向点B运动时，DE的长增大；

③/E=30°；

④QE最长时为6.

A.①②B.②③C,①③D.①③④

【分析】根据连接力P，OD,根据直径所对的圆周角得到/力。4=90”,故①正确，再由CQ_L/14,半

径长为27”，利用锐角三角函数求/。。。=60°,再由圆周角定理求出NO尸4=N4?Q=30°,由圆

内接四边形的知识证明得到△£MPs△。“，推出殳，/£=乙10。=30°,故③

DPDE

正确，进而推出。£=d&DP，判断②④错误，则问题可解.

,:AB为OO直径,

:.NADB=M，故①正确,

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,CCDLAB,半径长为2«，

:.CO=y/3,

cos/COD=^^=—■»

・・・NCOQ=60",

：・NDPA=N4BD=30°,

：.AD=2V§»BD=6,

CDLAB,

：・/PDE=90°,

J/ADP=/BDE,

由题意得，A,P,B,。四点共厕，

：・ND/1P+NDBP=180°,

「N/Jm+/""〃=1M,

:./DAP=NDBE,

:•△DAPsWBE,

A—=—,ZE=ZAPD=30°，故③正确，

DPDE

£>f=^^>=V3DP，

AD

二.当点尸由点力向点“运动时，当QP过圆心。时，OE的长最大，

此时DP=AM，

：,DE=y/3X4>/3=12,故④错误，

随着点P继续向运动，的长度逐渐减小，故②错误，

故选：C.

【点评】本题考查了直径所对的圆周角、圆内接四边形、相似三角形的性质与判定以及由特殊角三角函

数值，求特殊角等知识.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）函数y=3的自变量x取值范围是#（）.

x

【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，得到答案.

【解答】解：由题意得：xWO，

故答案为：xWO.

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【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记分式的分母不为零是解题的关键.

10.(2分)把二次函数图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式

为v，=2(x・2)2+1.

【分析】根据二次函数图象的平移法则解答即可.

【解答】解:把二次函数y=2x2图象向右平移2个单位得到y=2(x-2)2,再向上平移1个单位所得

图象的二次函数表达式为y=2(x-2)2+1.

故答案为：y=2(x-2)2+l.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键.

11.(2分)某小组同学为测楼高刍制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观

测视线与水平线的夹角为6()°,若观测者与楼的距离AN为1(加(如图2)，则可测算长为

17.3m.(结果精确到().1,4―1.732)

图1图2

【分析】根据图1得到观测视线与水平线的夹角为60°,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：由图1知，观测视线与水平线的夹角为60°,

在Rt△力CM中，VJC=Z?/V=1O/H,ZC/4M=60°,Z/1CAf=90°,

ACA/=JC*tan600=10x73^17.3(/«),

答：MC长约为17.3加，

故答案为：60,17.3.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用■仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键.

12.(2分)精美的瓷器易碎，修补的技艺一一“镉瓷”便应运而生(如图1).非凡的铜瓷技艺，以巧夺

天工般的神奇“魔法”使得镜器“破镜重圆”的同时，也让器物所附属的那份特定情感记忆得以传承,

第16页(共36页)

继续陪在人们身边.如图2一件圆形瓷器破坏了•部分，测得圆形瓷器的直径为12o〃，缺口4B之

间距离为6c7〃，则AB的长为2n.cm.

图1图2

【分析】设圆的圆心为。，连接力4，OA,0B,根据已知条件得到01=04=/4B=6a〃，推出△力08

是等边三角形，得到/力。4=60°,根据弧长公式即可得到结论.

【解答】解：设圆的圆心为O,

连接48,OA,OB,

•・•圆形瓷器的直径为12c〃?，缺口力，8之间距离为6c〃?，

.\OA=OB=AB=6cm,

是等边三角形，

ZAOB=GO<>,

，忘的长为60兀X6=2n(cm),

180

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，弧长的计算，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的

关键.

13.(2分)已知二次函数y=or2+bx-3(oWO)的图象经过点力(-1,0),对称轴为直线x=l.除点力

外，请再写出此函数图象经过的一个点坐标(3,0)(答案不唯一).

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【分析】根据题意和二次函数图象具有对称性，可以写出该函数图象与X轴的另一个交点坐标.

【解答】解：•・•二次函数产瓜-3（丘0）的图象经过点力（-1,0）,对称轴为直线x=l.

，该函数图象与x轴的另一个点的坐标为（3,0）,

故答案为：（3,0）（答案不唯一）.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用

二次函数的性质解答.

14.（2分）如图，在△川寅？中，ZJ=45°,ZZ?=60°,AC=372»则44的长为3+F.

【分析】过点C作。。于点。，证明△力。是等腰直角三角形，得/1。=。。=叵1。=3,再由含

2

30°角的直角三角形的性质得8c=2B。，然后由勾股定理求出8。=«,即可解决问题.

【解答】解：如图，过点C作CO_L44于点。，

则NCTU=NCOA=90°,

VZ/4=45°,

・•・△/CO是等腰直角三角形，

：.AD=CD,AD2+CD2=AC2,

：.AD=CD=

22

VZ5=60°,

：・NBCD=90°-60°=30°,

:・BC=2BD,

CZ）=22

•••7BC-BD=7（2BD）2-BD2=MBD=3,

:・BD=M，

：.AB=AD+BD=3+V3，

第18页（共36页）

故答案为：3+V3.

【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知

识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

15.（2分）如图一块矩形铁板48。。，其中4。=8/〃，AB=2m,现需要将此铁板裁剪为直角三角形形状,

且需要以力。为斜边，直角顶点E在8c上，则8E长为4±2，§加.

A|------------------\D

B1------------------1c

【分析】通过证明可得幽二理，即可求解.

ECCD

【解答】解：如图，以力。为直径作圆，交.BC于E,

•・•四边形44co是矩形,

・・・N4=NQ=90°,

t：AD为直径，

/.ZJFD=90°,

・•・N4EB+NDEC=90°=/AEB+/BAE,

JZBAE=/DEC,

:./XABEsMCD,

•・•■AB二-B-E-，

ECCD

'：BC=AD=^n,CD=AB=2ni,

:BE)=4,

・・.8E=4±2V§,

故答案为：4±2爪.

第19页（共36页）

Aj--------------------------

n-一-

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键.

16.（2分）某区域的快递网点位于尸处，负责区域内/、B、a。、月五个小区的配送业务，小区间有道

路相连，道路长度如图所示.快递员每次配送任务都是从P处出发，所有快件配送完毕即完成任务，

不用返回网点尸处，此过程希望快递员的总路程尽可能短.若某次配送任务只包含8、C小区，则配送

的最短路程为.若某次配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为20.

E

【分析】根据题意列式计算.

【解答】解:2+3+5=10,

5+3+4+2+6=20,

故答案为：10,20.

【点评】本题考查了有理数的加法，理解题意是解题的关进.

三、解答题（本题共12道小题，第17〜22题，每小题5分，第23〜26题，每小题5分，第27〜28题,

每小题5分，共68分）

17.（S分）计算：2cin45°+1-V2|-

第20页（共36页）

【分析】先根据特殊角的三角函数值、零指数基、负整数指数幕、绝对值的运算法则计算，再合并即可.

【解答】解：2sin45°-（4-兀）°+g）+|I

=2x^--1+2+72-1

=V2-l+2+V2-l

=2也

【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟冻掌握运算法则是解题的关键.

18.（5分）如图，在中，ZJC5=90°，CO_L45于点。.

（I）求证：AACDsACBD；

（2）若CD/，BD=T,求/£）.

【分析】（1）推导出N4OC=NCQ8=90°,ZACD=ZCBD,由此能证明

（2）由△XCOS/XCAO.得到，由此能求出力。的长.

【解答】（1）证明：在Rt△/BC中，/ACB=90°,CD工/IB于点、Q.

:・NADC=NCDB=90°,N4+/4=90°,

二NB+/BCD=9U,

工/A=/BCD,

:./\ACDs£CBD.

（2）解：♦:AACDSACBD,

.CD=AD

..而CD，

•：CD=M，BD=1,

：,AD=3.

【点评】本题考查三角形相似的证明，考杳线段长的求法，考查相似三角形的性质等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

19.（5分）在平面直角坐标系xS，中，点N（2,-3）,8（-1,〃）.

（1）若反比例函数y二上的图象经过点力和点儿求4和〃的值：

x

（2）若反比例函数厂典的图象与线段。力有交点,直接写出，〃的取值范围-七，〃V0.

第21页（共36页）

【分析】（1）利用待定系数法求解:

（2）根据反比例函数y二四的图象与线段04有交点，判断出”的取值范围即可.

X

【解答】解：（1）反比例函数y二X的图象经过点力和点8,点力（2,-3）,8（-1,〃），

X

:・k=-6,〃=6：

（2）・・•反比例函数结果点4时，k=-6,

又•・•反比例函数y二&的图象与线段04有交点，

x

：.m的取值范围：-6W〃?V0.

故答案为：-6W〃?V0.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.

20.（5分）如图，是边长为4的正方形48CQ的外接圆.

（1）求。。的半径；

（2）求图中阴影部分的扇形面积.

【分析】（1）由正方形44。的边长为4,O为外心，得到CZ）=4,△OCO是等腰直角三角形，根据

等腰直角三角形的性质得到"=。。=返CQ=2点；

2

（2）根据扇形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：（1）•・•正方形力BCO的边长为4,O为外心，

•,•CN>=4,△OC。是等腰直角二角形，

：,0C=0D=^~CD=2圾,

2

的半径是2A/2：

（2）是边长为4的正方形力8C。的外接圆，

・・・NCOQ=360°,=9（）。,

4

第22页（共36页）

工图中阴影部分的扇形面积=9°兀义（2迎,）2=2m

360

【点评】本题主要考查了正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，熟练掌握正多边形和圆的性质是解题

的关键.

21.（5分）已知二次函数y=x2-4x+3.

（1）求该二次函数图象的顶点坐标，并在平面直角坐标系X。），中画出函数图象；

（2）若1V.IV4,直接写出y的取值范围.

【分析】（1）先将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标，然后写出该函数图象上的几个

点，再画出该函数的图象即可；

（2）根据（1）中的函数图象，可以写出当1VXV4时，y的取值范围.

【解答】解：（1）•・•二次函数y=X-4x+3=（x-2）2-1,

・••该函数图象的顶点坐标为（2,-1）,

当x=O时，y=3,当x=l时，y=O,当x=3时，y=O,当x=4时，y=3,

该函数图象如下所示：

第23页（共36页）

（2）由图象可得,

当1VXV4时，y的取值范围是-1W），V3.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图

象，利用数形结合的思想解答.

22.（5分）如图，在△力8C中.

求作：正方形DEFG,两个顶点在48上，另两个顶点分别在8c和4C上.

作法：

①在48上任取一点P,作夕。_1_4以交/1C于点。；

②在48上截取PN=P。，过点N和0分别作PN和尸。的垂线，交于点M：

③作射线4W交BC于点。；

④过点D作DE//MQ交AC于点E,过点。作DG//MN交AB于点G；

⑤过点E作EFLAB于点F.

则正方形DEFG为所求作正方形.

（1）补全图形（保留作图痕迹）：

（2）完成下面的证明.

证明：•:/QPN=NMQP=4PNM=90°,

・•・四边形MV尸0是矩形.

•:PN=PQ,

・•・矩形MN产。是正方形.

'JDE//MQ,

丛AMQs丛ADE.

，幽二皿（相似三角形对应边成比例）（填写依据）.

ADDE

同理可得：幽二BL.

ADDG

•MQ=MN

DE-DG,

,:MN=MQ.

：.DE=DG.

同理可得：四边形QEFG为正方形.

第24页（共36页）

c

【分析】（1）根据平行线的作法以及垂线的作法补全图形即可；

（2）证明矩形MNP。是正方形.根据相似三角形对应边成比例推出新需.从而得出QE=QG从

而可推出结论.

【解答】（1）解：补全图形如图所示：

工四边形MVPQ是矩形.

•：PN=PQ,

，矩形MN尸。是正方形.

，：DE〃MQ,

丛AMQs丛ADE.

・・・幽=/（相似三角形对应边成比例）（填写依据）.

ADDE

同理可得：AM=M.

ADDG

.MQ=MN

**DEDG,

,:MN=MQ.

：,DE=DG.

同理可得：四边形QEFG为正方形.

故答案为：相似三角形对应边成比例，政.

DE

第25页（共36页）

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，作图■复杂作图，平行线的作法，垂线的作法，正方形

的判定等知识，熟记各性质定理是解题的关键.

23.（6分）炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度〃（单位：米）与

时间，（单位：秒）满足二次函数表达式：h=#+bi+c（aW。），具体数据如表：

/0135—

h2274727•••

（1）结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为47米；

（2）若炮弹高度为42米时，求炮弹的匕行时间.

【分析】（1）根据抛物线过点（1,27）,（5,27）,可得抛物线的对称轴，那么可得抛物线的顶点坐标,

结合表中所给的数据，可得炮弹飞行的最大高度；

（2）用顶点式表示出抛物线的解析式，取4=42可得炮弹此时的飞行时间.

【解答】解：（1）•・•抛物线过点（1,27）,（5,27）,

，抛物线的对称轴为：直线x=3,

・••抛物线的顶点坐标为：（3,47）,

结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为47米，

故答案为：47；

（2）设抛物线的解析式为：（/-3）2+47,

•・•过点（0,2）,

.••9。+47=2,

解得：a=-5,

:・h=-5（/-3）2+47,

当方=42时，・5（L3）2+47=42,

整理得：（-3）2=1,

解得：“=2,12=4,

答：若炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2秒或4秒.

【点评】本题考查二次函数的应用.用到的知识点为：抛物线上两点为（〃，用），（/）,那么抛物线

的对称轴为：直线也.

2

24.（6分）如图，OO直径为川?，点C,。为。。上的两个点，OC1OD,过点C的直线交加？延长线于

点E,且NBCE=L/BOC.

2

第26页（共36页）

（I）求证：CE为。。的切线；

（2）连接8。，若8c=2函，tan/8CE=l,求8。的长.

2

A

【分析】（1）连接力C,根据等腰三角形的性质得到N4=N/CO,求得N4=NBCE,得到N/1CO=N

BCE,根据圆周角定理得到N/C8=9（T,求得NBCE+/80）=90。，得到NOC£=90°,根据切线

的判定定理得到CE为OO的切线；

（2）连接C。，得到NCD8=N4,求得NCDB=NBCE,根据等腰直角三角形的性质得到/。5。=

45°,过C作C7/_L«£＞于，，根据等腰直角三角形的性质得到C〃=g"=返3。=返~乂2泥=。13,

22

根据三角函数的定义得到结论.

【解答】（1）证明：连接力C,

,：OA=OC,

ZA=ZACO,

VZJ=1ZBOC,NBCEgNBOC,

乙乙

・•・/A=/BCE,

・•・ZACO=NBCE,

•・・。。的直径为/14，

:•NACB=900,

AZACO+ZBCO=90°,

；・/BCE+/BCO=90°,

・・・NOCE=90°,

TOC是OO的半径，

••・C£为。。的切线：

（2）解：连接8,

；・NCDB=N/i,

'：N4=NBCE,

第27页（共36页）

:・/CDB=/BCE,

AZDC；C=90°，

：.ZCBD=45°，

过C作CH18。于“，

：.CH=BH=返皿=叵X2V5=，

22

VtanZZ?Ci?=X

2

・仙/8。。=里=工

DH2

：,DH=2CH=2y[ld，

:.BD=DH+BH=3V10.

【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判断定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质,

圆周先定理，正确地作出辅助线是解题的关键.

25.（6分）如图，现有8小长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为加〃2,围成区域为矩形PQS7

第28页（共36页）

（2）在平面直角坐标系xQu中，已经绘制心的图象和.力图象上的部分点，补全川的图象:

（3）根据图象，完成下列填空：

①当'=-42_时，S△/sc=S矩形p0sr：

②当x、—ZJ—时，SA43C=2s用形p0sr・

【分析】（1）当x=7时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积；

（2）描点，连线即可；

（3）①观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可：

②结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时，S△48c=2S矩形P0S7.

【解答】解：（1）当7S=7〃？时，7P=左二=（）5〃，

2

・・・〃=7X0.5=3.5,

故答案为：3.5；

（2）

第29页（共36页）

0I12345678910x/m

（3）①观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7.

故答案为：4.7；

②结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.加时，5澳叱=25矩形也sr.

故答案为：7.1.

【点评】本题考查二次函数的应用.利用数形结合的方法解决函数问题是解决本题的关键.

26.（6分）在平面直角坐标系x（万中，已知抛物线y=ax2-5叶1（〃大。）过点（］,2a2+a+l）

（1）求抛物线的对称轴（用含。的式子表示）；

（2）若对于抛物线上的两个点（4・2,M），C2a-1,j，2）,都有.求。的取值范围・

【分析】（1）根据对称轴公式即可得解；

（2）分类讨论，根据二次函数的对称性求解即可.

【解答】解：（1）•••抛物线》=仆2-。/1（qWO）过点（］,2cr+a+\）,

。-什1=2a2+。+1,

:・b=-2a2,

・•・抛物线解析式为直线x=-土=-。：

2a

（2）①当