2024-2025学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷（含参考答案）

2024・2025学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（3分）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智普与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习

惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

B.¥Z冰裂纹

D.hrI风车纹

2.（3分）如图,PA,P8分别与相切于48两点，NP=70°,则NC为（)

C.110°D.140°

3.（3分）将抛物线y=一向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）

A.y=，+lB.y=x2-1C.y=(x+1)2D.y=(x-1)2

4.（3分）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（）

C.点CD.点D

5.（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（）

A.两枚硬币都正面向上的可能性最大

B.两枚硬币都反面向上的可能性最大

C.一枚硬币正面向上，一枚便币反面向上的可能性最大

D.以上三种情况的可能性相同

第1页（共27页）

6.（3分）二次函数》=外2+/丫匕的图象如图所示，下列各式成立的是（)

B.b<0C.c<0D.b2-4ac<0

7.（3分）据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量

从2021年到2023年增长了5.1%,设这两年的平均增长率为x,下列方程正确的是（）

A.（1+x）2=105.1%B.（1+x）2=5.1%

C.（17）2=5.1%D.l+x2=105.1%

8.（3分）已知关于x的方程X2+5X+C=O（bc^=0）有两个不相等的实数根干，.n（A）＜X2）＞关于x的方程

bx+c=0的根为有，给出下面三个结论：

①X]Vx2VX3；

②X1VX3VX2；

③X3VX1＜X2.

上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（）

A.①B.②C.①③D.①②③

二、填空题（共24分，每题3分）

9.（3分）在平面直角坐标系xO了中，点尸（2,-3）关于原点。对称的点的坐标是

10.（3分）已知关于x的一元二次方程（a・1）%2-2x+/・I=0有一个根为x=0,则Q=

11.（3分）请举一个反例说明命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的：.

12.（3分）若代数式『+10=+。可以配方为＜x+b）2,则0+/）=.

13.3（分）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：

根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是

14.（3分）如图，从一张边长为2a〃的正方形纸片上剪出一个扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，此

圆锥的底面圆的半径为

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15.（3分）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之

父”.他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼：点力）和亚

历山大（点8）是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约8（）（）%〃，，在塞伊尼城有一口垂直于地面

的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利

用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角a约为？.2°,据此可以估算地球的周长约为

16.（3分）在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8,这两条弦的中点的距离x的取值范围

是.

三、解答题（共52分，第17・22题，每题5分，第23・24题，每题7分，第25题8分）

17.（5分）解方程：X2+2X-1=0.

c2

18.（5分）已知关于x的一元二次方程乂2-（m-2）xJL-m=0.

4

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个根都是正整数，求机的最小值.

19.（5分）二次函数_），=⑪2+儿什。（.wo）的部分图象和对称粕如图所示.

（I）求该二次函数的表达式；

（2）若方程ad+队+c=%总有两个正实数根，直接写出左的取值范围.

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20.（5分）北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群.天坛内坛由陶丘、祈谷坛、

斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圈丘坛（图1）最下层圆形石坛的直径，先画出直径再

直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制了一个直角曲尺，制定了测算

方案并画出了示意图.

直角曲尺的短边力。长为0.5〃?，在测量时，用直角曲尺的长边/也贴紧圆形石坛的边缘，并使短边力C

与圆形石坛的边缘接触，此时长边力8与圆形石坛的接触点记为点。，最得力。的长为5.2必示意图如

图2所示.

请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径.

21.（5分）甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的假子，规则如下：

甲胜两枚骰子点数相同：

乙胜两枚骰子的点数之和为用.

是否存在小的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论.

22.（5分）如图，在RtZXO/IB中，NOAB=90°,N/8O=30'，。为08边的中点，0。经过点C,BD

与。0相切于点。.

（1）求证：48与。。相切；

（2）若48=2,求的长.

AB

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23.（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线），=取2+反与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（-

b,0).

（1）求"的值和抛物线的对称轴（用含〃的式子表示）;

（2）若点A（2,川），B（R力），C（6+1,为）在该抛物线上，且为求b的取值范围.

24.（7分）在正方形N8CO中，E为射线48上一点（不与点48重合），将线段。E绕点E顺时针旋转

90°得到线段E凡连接CR作/G_LC尸交射线于点G.

（1）如图1,当点E在线段上时，

①依题意补全图形，并证明

②用等式表示线段力£和EG之间的数量关系，并证明；

（2）已知力4=1,ZXMG能否是等腰三角形？若能，直接写出使△石FG是等腰三角形的力E的长度;

D

备用图

25.（8分）对于平面直角坐标系xOy中的两点"（xpy\）和N（右，及）给出如下定义：如果皿-对？

1,或者历-及及1，则称点M到点N的距离很远.

已知点4（3,0）,B（3,3）.

（1）在点C（&,1）,D（1,2）,£（4,二•）中到点力的距离很远的是点

222

（2）若抛物线y=ad上的任意一点到力，B两点的距离都很远，则a的取值范围

是;

（3）点P在△。力8的内部或边上，点。在直线丫=2乂上，若点P到。，A,B,。四点的距离都很远,

3

直接写出点尸运动区域的面积的最小值及此时的点。的坐标.

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2024・2025学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（共24分，每题3分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（3分）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是占人智普与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习

惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

B.¥7冰裂纹

D.4I风车纹

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就

叫做中心对称图形：如果•个羽形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形，这条直线叫做对称轴，据此讲行判断即M.

【解答】解：/是轴对称图形，但不是中心对称图形，则力不符合题意；

4既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意；

C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；

。不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键.

2.（3分）如图，PA,04分别与相切于4B两点,ZP=70°,则NC为（）

卜2、

B

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A.55°B.70°C.110°D.140°

【分析】连接04、08,根据切线的性质定理，结合四边形”％尸的内角和为360°,即可推出N/1O4

的度数，然后根据圆周角定理，即可推出NC的度数.

【解答】解：连接04、OB,

•・•直线"、尸〃分别与OO相切于点4、B,

：,OAA.PA,OBSB,

VZP=70°,

/.ZAOB=WO°,

•••c是。。上一点，

:・NACB=55°.

故选：A.

【点评】本题主要考杳切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通

过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果.

3.（3分）将抛物线），=/向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）

A.y=x2+\B.y=x2-1C.y=（x+1）2D.y=（x-1）2

【分析】直接根据''左加右减”的原则进行解答即可.

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=/向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式

为丁=（X-1）2.

故选:D.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的

关键.

4.（3分）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（）

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A

【分析】观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组木应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进

行验证即可.

【解答】解：如图，两个格点三角形分别为△48P和连接C4、CQ.CP、CB、CR,

设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1,

22

由勾股定理得CA=CP=CQ=yjI+2=y[s»CB=CR=d12+心=如，

•••△/8P和△QH4的每一组对应顶点到点。的距离都相等，

・••两个格点△力4〃和△弓穴力的旋转中心是点C,

【点评】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对

应顶点的距离都相等的点是解题的关键.

5.（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（）

A.两枚硬币都正面向上的可能性最大

B.两枚硬币都反面向上的可能性最大

C.一枚硬币正面向上，一枚便币反面向上的可能性最大

D.以上三种情况的可能性相同

【分析】先画出树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两正面朝上的、两背面朝上的和一个正面

朝上，另一个背面朝上的结果数，然后分别计算它们的概率，再比较大小即可.

【解答】解：画树状图为：

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开始

共有4种等可能的结果数，其中两正面朝上的占1种，两背面朝上的占1种，一个正面朝上，另一个背

面朝上的占2种，

所以两正面朝上的概率=工，两反面朝上的概率=工，一个E面朝上，另一个背面朝上的概率=2=1.

4442

故选：C.

【点评】本题考杳了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出〃，再从中选

出符合事件4或8的结果数目加，然后利用概率公式求事件4或8的概率.

6.（3分）二次函数y=a”+云+c的图象如图所示，下列各式成立的是（）

U

0WX

A.a<0B.6<0C.c<0D.b2-4ac<0

【分析】根据函数图象可以判断。、机e的正负情况，从而可以解答本题.

【解答】解:由函数图象，可得

函数开口向上，则a>0,

对称轴在》轴右侧，则分<0,

图象与y轴交点在y轴正半轴，则c>0,

图象与x轴有两个交点，则户-4ac>0,

故选：B.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确人爪。的符

号与图象的关系.

7.（3分）据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量

从2021年到2023年增长了5.1%,设这两年的平均增长率为x,下列方程正确的是（）

A.（1+x）2=105.1%B.（1+x）2=5.1%

C.（1-x）2=5.1%D.l+x2=105.1%

【分析】利用2023年原油产量=2021年原油产量X（1+这两年的平均增长率）2,即可列出关于x的

一元二次方程，此题得解.

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【解答】解：根据题意得：（1+x）2=1+5.1%.即（1+X）2=105.1%.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

8.（3分）已知关于x的方程1+5x+c=0（AW0）有两个不相等的实数根町，X2CqVx2），关于x的方程

云+c=0的根为冷，给出下面三个结论：

①R<X2<X3；

②Xl<X3<A2；

③X3<X]<X2.

上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（）

A.①B.②C.①③D.①②③

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出修+必，为必，再用/），c表示出X3,进而得出不，X2,

X3之间的关系，据此进行分类讨论即可解决问题.

【解答】解：因为关于X的方程/+云+,=0（AW0）有两个不相等的实数根勺，》2，

所■以X]+x2=-b,X\X2=Ct

XiX0

贝ij—9

X1+X2b

又因为关于x的方程反+。=0的根为心，

所以二上，

sb

则上必，

xl+x2

则当x\Vx2Vo时，43>肛»xi>X2，

所以X]V》2<X3；

当0VjQ<X2时,Vjq»<X2，

所以X3VX]V》2；

当X|V0〈X2，且同|〈阅时，工3Vxi,%3<工2,

所以X3<Xj<X2：

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当；qV0Vx2,且阮1>旧时，13>阳，，3>X2,

所以X|<X2<XJ.

故选：C.

【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根与

系数的关系及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键.

二、填空题（共24分，每题3分）

9.（3分）在平面直角坐标系XQJ中，点P（2,-3）关于原点。对称的点的坐标是（-2.3）.

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案.

【解答】解：点尸（2,-3）关于原点。对称的点的坐标是：（-2,3）.

故答案为：（-2,3）.

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键.

10,（3分）已知关于x的一元二次方"程（a-1）x2-21+/-i=o有一个根为工=0,则〃=[.

【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到关于。的一元二次方程，解得。=±1，

然后根据一元二次方程的定义确定。的值.

【解答】解：把x=0代入（a-1）x2-Zrd_]=。得/_]=0,解得。=±],

Ta-1#0,

：.a=-1.

故答案为-L

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二

次方程的根.也考查了一元二次方程的定义.

11.3（分）请举一个反例说明命题”各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的：矩形.

【分析】根据矩形的性质、正多边形的概念解答即可.

【解答】解：矩形的各角都是90°,即各角相等，但矩形不一定是正多边形，

则命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的，

故答案为：矩形.

【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、

论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

12.（3分）若代数式N+10x+a可以配方为（x+b）2,则。+6=30.

【分析】利用配方法原式变形，根据题意分别求出。、b,计算即可.

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【解答］解：*2+10升。=/+10工+25-25+。=(x+5)2-25+a,

由题意得：-25+4=0,b=5,

.*.tz=25,b=5,

，a+Q25+5=30,

故答案为：30.

【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键.

13.（3分）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：

根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是0.8

【分析】首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根据频率即可估计概率.

【解答】解:15+20=0.75,

33・40=0.825,

78-?100=0.78,

1584-200=0.79,

3214-400=0.8025,

8014-1000=0.801,

,估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是0.80.

故答案为：0.80.

【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概

率解决问题.

14.（3分）如图，从一张边长为2c〃?的正方形纸片上剪出一个扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，此

圆锥的底面圆的半径为工cm.

~2~

【分析】先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径.

第13页（共27页）

【解答】解：•・•弧3。的长为9°兀X2=m即圆锥底面周长为口,

180

设圆锥的底面半径为厂”〃，

则2m=n,

.1

2

•••圆锥的底面圆的半径为工”.

2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查圆锥的计算，熟练掌握公式是关键.

15.（3分）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之

父”.他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼：点力）和亚

历山大（点4）是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约800儿?，在塞伊尼城有一口垂直于地面

的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利

用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角a约为7.2。，据此可以估算地球的周长约为40000km.

【分析】易得同的长度为80（）〃〃?，同所对的圆心角为7.2°,根据弧长公式可得m•的值，进而可求得

地球的周长.

【解答】解：

由题意得：OA"BC,ZCBD=7.2°,定的长度为800h〃,

,408=7.2°,

第14页（共27页）

设地球的半径为

・.7・2兀r=800,

180

解得:—=20000,

・•・地球的周长为27ir=40000ArM,

故答案为：4000（）.

【点评】本题考查弧K的计算.根据所给条件得到m的值是解决本题的关键.

16.（3分）在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8,这两条弦的中点的距离x的取值范围是_1

【分析】过点。作。于£,。尸_LCO于尸，连结08、OD,如图，根据垂径定理得到/£=8£=

3,CF=DF=4,再利用勾股定理计算出OE=4,OF=3,所以点E在以。点为圆心，4为半径的圆上；

点七在以。点为圆心，3为半径的圆上，然后求出两圆上两点之间的最小距离和最大距离即可.

【解答】解：过点。作。£_1_月4于后（"_LCO于"，连结。4、OD,如图，48=6,CD=X,

则力CF=DF=LJD=4,

22

在Rt△OBE中，OE=J。B2.BE2=也2_§2—4,

在Rt△ODF中，OF=>\/OD2-DF2=也2_42=3,

・••点£在以。点为圆心，4为半径的圆上；点£在以。点为圆心，3为半径的圆上，

•・•两圆上两点之间的最小距离为4-3=1：两圆上两点之间的最大距离为4+3=7,

・••戈的取值范围为14W7.

故答案为：1WXW7.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股

定理.

三、解答题（共52分，第17・22题，每题5分，第23・24题，每题7分，第25题8分）

第15页（共27页）

17.（5分）解方程：F+2x-1=0.

【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解.

【解答】解：方程变形得：X2^2X=1,

配方得：1+2x+l=2,即（x+1）2=2,

开方得：x+l=±V2＞

解得：xj=-1+V2»X2=-1-V2.

【点评】此题考查了解一元二次方程■配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

c2

18.（5分）已知关于x的一元二次方程乂2-（m-2）xJL-nF。.

4

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个根都是正整数，求机的最小值.

【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到△=4,则△＞（）,然后根据根的判别式的意义得到结论；

（2）先路求根公式得到》|=则，由=更3,再利用国＞0且也刍＞0得〃?＞4,然后根据三和典WL都是

222222

正整数可确定〃？的值.

【解答】（1）证明：vA=（W-2）2-4（直-〃?）

4

=ni2-4m+4-ni2+4m

=4＞0,

...方程总有两个不相等的实数根；

（2）・・・x=m-2±2,

2X1

•・•方程的两个根都是正数，

.,.典＞0且也生＞0,

22

解得，〃＞4,

•・•方程的两个根都是正整数，

・・・亚和Q1都是正整数，

22

・••〃?的最小值为6.

【点评】本题考查了根与系数的关系，若X］，X2是一元二次方程”2+云+c=0（4X0）的两根时，.盯+必

=-豆，孙卬=£・也考查了根的判别式.

第16页（共27页）

19.（5分）二次函数旷=0¥2+儿什。（q#0）的部分图象和对称如如图所示.

（1）求该二次函数的表达式：

（2）若方程*2+队+c=%总有两个正实数根，直接写出左的取值范围.

斗■

X

【分析】（I）直接利用待定系数法求得二次函数解析式为y=x2-2x-3；

（2）根据题意可知J，=OX2+6+C与y=k的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0,结合函

数图象即可得到答案.

【解答】解：（1）由图象可得，y=or2+bx+a的图象过点（・1,0）,（0,3）,对称轴是直线x=l,

a-b+c=0

,c=3

a=-l

解得：b=2，

lc=3

，二次函数解析式为y=-『+2什3；

（3）由（1）知，二次函数解析式为y=-”+2什3,贝l」y=-（x-1）2+4,

,该抛物线的顶点坐标是（1,4）.

•・・ad+cx+c=Z有两个正实数根，

・・・尸加+6什c与尸片的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0,

，3V3W4.

【点评】本题主要考查二次函数与不等式、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值，解题关

键是熟知二次函数的图象与性质，利用数形结合思想解决问题.

20.（5分）北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群.天坛内坛由圜丘、祈谷坛、

斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圜丘坛（图1）最下层圆形石坛的直径，先画出直径再

直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制了一个直角曲尺，制定了测算

方案并画出了示意图.

第17页（共27页）

直角曲尺的短边长为05”，在测量时，用直角曲尺的长边44贴紧圆形石坛的边缘，并使短边力C

与圆形石坛的边缘接触，此时长边44与圆形石坛的接触点讨为点。，量得力。的长为5.2阳，示意图如

图2所示.

请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径.

【分析】如图，连接。。，过点C作C兀LO。于点「设。O=OC=/7〃.利用勾股定理构建方程求解.

【解答】解：如图，连接。。，过点C作Cr_LO。于点7.设OD=OC=3.

是OO的切线，

：.ODLAB,

■:CT工OD,ACLAB.

：・NCTD=NCAD=NADT=90",

，四边形力力7C是矩形，

CT=/tD=52m,DT=AC=05m,

在RtZXOCT中，OC1=OT1+Cf1,

"=（r-0.5）2+5.22,

解得r=27.29.

所以圆形石坛的直径=27.29X2=54.58〃?.

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

21.（5分）甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的骰子，规则如下：

甲胜两枚骰子点数相同；

乙胜两枚骰子的点数之和为用.

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是否存在机的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论.

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数相同和点数和的情况,

再利用概率公式即可求得两人获胜的概率，可得结果.

【解答】解：存在.

•・•共有36种等可能的结果，点数相同的结果有6种，

・•・甲胜的概率为且二L

366

•・•两枚骰子的点数之和为7的结果为6和I

・••当w=7时，

乙胜的概率为a=工

366

即当〃?=7时，甲、乙两人获胜的概率相同.

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.(5分)如图，在中，ZOAB=90°,ZABO=W,。为04边的中点，。。经过点C,BD

与相切于点。.

(I)求证：48与0。相切；

(2)若48=2,求力。的长.

AB

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【分析】（1）在中，NO4B=90°,N48O=30°,得到。力=-1。&由C为08边的中点,

2

求得OC=_LOB，根据切线的性质得到结论；

2

（2）连接OZ）,根据切线的性质得到48=80,根据全等三角形的性质得到/。8。=乙48。=30°,根

据等边三角形的判定和性质得到结论.

【解答】（1）证明：在RtZ\O.48中，ZOAB=90°,乙44。=30°,

：.OA=^OB,

2

TC为08边的中点，

/.OC=-i«0B,

乙

：,OA=OC,

：.OA是OO的半径，

.•・44与。O相切;

（2）解：连接0£）,

〈BO与。。相切于点。，48与。。相切，

；・AB=BD,

在△48。与△08。中，

OA=OD

<AB=BD>

OB=OB

；AABO9ADBO（SSS）,

；・NDBO=N4BO=30°,

AZABD=60°,

/\ABD是等边三角形，

:•AD=AB=2.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三

角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

第20页（共27页）

23.（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线），=〃/+反与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（-

b,0）.

（1）求"的值和抛物线的对称轴（用含〃的式子表示）；

（2）若点力（2,川），B（R力），C（6+1,为）在该抛物线上，且为求b的取值范围.

【分析】（1）将（-/），0）代入》=。小+反，可得。=1,则抛物线的解析式为卜=”+反，即可得抛物线

的对称轴为直线乂二上.

2

（2）由题意得，点。到对称轴的距离小于点/I到对称轴的距离小于点4到对称轴的距离，即也+1+卷〈

|2+与<|6+与，求出6的取值范围即可.

22

【解答】解：（1）将（-40）代入》=加+限，

得加・房=0

•・ZW0,

.MW。.

••Cl=\.

・•・抛物线的解析式为y=x2+bx,

・•・抛物线的对称轴为直线x=巨.

2

（2）•・•点力（2,yj）,B（b,j，2）,C31,y3）在该抛物线上，且为〈刈〈儿，

・•・点C到对称轴的距离小于点力到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，

即归+1+与V|2+与V|b+与，

222

解得-3<b<-i.

2

・・方的取值范围为

2

【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键

是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

24.（7分）在正方形/8CQ中，C为射线上一点（不与点44重合），将线段。E绕点E顺时针旋转

90°得到线段后厂，连接CE,作尸G_LC户交射线力〃于点G.

（1）如图1,当点E在线段月8上时，

①依题意补全图形，并证明//。七=//力7；

②用等式表示线段/1E和EG之间的数量关系，并证明；

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（2）已知力8=1,△EFG能否是等腰三角形？若能，直接写出使△EPG是等腰三角形的,4£的长度;

若不能，说明理由.

【分析】（1）①由/力=90°得出//。E+N力石0=90°,由/。月/=9（）°得出N4EO+N/EG=90°,

从而N/IDE=NFEG；

②作CHJ_OE,交AD于H,交DE于R,可证得△/。/名△。⑦，从而得出CH=DE,DH=AE,可

证得C"〃七兄从而得出四边形EFC”是平行四边形，进而挂出NEFG,进而证得△。以7名4

EFG,从而QH=EG,进一步得出结果；

（2）可推出当点E在/出上时，△EPG不能是等腰三角形；当点E在力8的延长线上时，作FHLCE

于H,当EF=FG时,可推出E"=GH=4G=」ME,从而得出/E=248=2.

22

【解答】解：（1）①如图1,

图1

•・•四边形力8c。是正方形，

/.ZJ=90°,

/.ZADE+ZAED=90°,

•・•线段DE绕点E顺时针旋转90"得到线段EF,

AZD£F=90°,

:・NAED+NFEG=90°,

,ZADE=NFEG；

②如图2,

第22页（共27页）

图2

作C〃_LO£,交AD于H,交DE于R,

:.NDRC=90°,

；・NDCR+NRDC=90°,

•••四边形/AC。是正方形，

AZA=^ADC=90°,AD=CD,

/.ZADE^ZCDR=9Qa,

：.NDCR=/ADE,

:.ZXADEW△OC〃(ASA),

:・CH=DE,DH=AE,

••・线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,

:,DE=EF,NDEF=90°,

：・DE1EF,CH=EF,

J.CH//EF,

・•・四边形EFCH是平行四边形，

AZ//EF+ZCF£=180°,

・•・ZDEH+ZDEF+ZCFG-NEFG=180°,

•：CF±FG,

：,ZCFG=90°,

；・NDEH+90。+90°-ZEFG=180°,

J/DEH=ZEFG,

由(1)知，

ZADE=ZFEG,

:•△DEHgAEFG(ASA),

:・DH=EG,

；.AE=EG；

第23页（共27页）

(2)如图2,

当点£在上时，

由(2)得，

△DEgXEFG、

:・EH=FG,NDHE=/EGF,

•：AE=EG,EH>AE,

：,FG>EG,

VZDHE=ZA+ZAEH^O0+NAEH>900,

/.ZEGF>9G0,

/.NEGF>NFEG,

；.EF#FG,

:・2EFG不能是等腰三角形，

如图3,

当点£在的延长线上时，

作FHA.CE于H,

/.ZJ=ZFZ/£=90°,

■:NADE=/EFG,DE=EF,

：,/\ADE^^HEF(AAS),

:.FH=AE,EH=AD=AB,

当律=R7时，过CM工FH于M,

工四边形CB//M为矩形，

：,MH=BC=AD,DM=BH,

第24页（共27页）

:.FM=BE,

，：EH=AB,

:.CM=FH,

■:CF1FG,FH工EG,NEFH=NGFH,

，ZCFM=/FEH,

:.丛CFM叁丛FEH,

:・FM=EH,

:.AE=2AB=2；

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形

的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论.

25.（8分）对于平面直角坐标系xQy中的两点M（占，y\）和N（/2，及）给出如下定义：如果以一工2|2

1,或者回-.间21,则称点M到点N的距离很远.

已知点力(3,0),B(3,3).

（1）在点C（&,1）,D（1,2）,E（4,」•）中到