第8课时　直角三角形的性质与判定

1.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角

;

(2)勾股定理:直角三角形两直角边的

等于斜边的平方。

2.直角三角形的判定方法(1)有两个角互余的三角形是直角三角形;(2)勾股定理的逆定理:如果三角形两边的

等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

第8课时直角三角形的性质与判定互余平方和平方和3.命题和定理(1)互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的

和

,那么这两个命题称为互逆命题;如果把其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就称为它的

。

(2)逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是

,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

结论条件逆命题真命题探究点1直角三角形中角的性质与判定例1如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACD=∠B。求证:△ACD是直角三角形。证明:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=180°-∠ACB=90°。又∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°。∴∠ADC=180°-(∠A+∠ACD)=90°。∴△ACD是直角三角形。1.在直角三角形中,一个锐角为35°,则另一个锐角的度数为

。

55°探究点2直角三角形中边的性质与判定例2

在四边形ABCD中,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,∠B=90°。求证:△ACD为直角三角形。2.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=4,AB=6,则BC的长为

。

探究点3逆命题和逆定理例3

写出下列各命题的逆命题,并判断逆命题的真假。(1)如果a,b都是无理数,那么ab也是无理数;(2)三边对应相等的两个三角形全等。解:(1)逆命题:如果ab是无理数,那么a,b都是无理数。是假命题。(2)逆命题:如果两个三角形全等,那么它们的对应边分别相等。是真命题。1.直角三角形中,两锐角的平分线所夹的钝角的度数是()A.120° B.135° C.150° D.160°2.下列定理中没有逆定理的是()A.对顶角相等B.全等三角形的对应边相等C.两直线平行,内错角相等D.直角三角形的两个锐角互余3.已知一个三角形的三边之比是5∶12∶13,若它的周长是60cm,则它的面积是

cm2。BA1201.[易错题]若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则它的第三边长为()B2.已知下列命题:①若a=b,则a2=b2;②若x>0,则|x|=x;③若a>0,b>0,则a+b>0;④若a≠b,则a2≠b2。其中原命题与逆命题均为真命题的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个A3.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,EF∥BC,若∠1=50°,则∠C的度数为

。

40°4.如图所示,等腰三角形ABC的底边BC=13cm,D是腰AB上一点,且CD=12cm,BD=5cm。(1)求证:△BDC是直角三角形;(1)证明:∵BC=13cm,CD=12cm,BD=5cm,∴BC2=BD2+CD2。∴△BDC为直角三角形。(2)求△ABC的周长。5.下列命题:①同旁内角互补,两直线平行;②若a2=b2,则a=b;③锐角与钝角互为补角;④相等的角是对顶角。它们的逆命题是真命题的有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个6.(2025河源期末)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=52°,将其折叠,使点A落在边BC上的点E处,CA与CE重合,折痕为CD,则∠EDB的度数是

。

B14°7.如图所示,在四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°。求证:∠BAD+∠BCD=180°。证明:如图所示,连接AC。∵AB=20,BC=15,∠B=90°,∴由勾股定理,得AC2=202+152=625。又∵CD=7,AD=24,∴CD2+AD2=625。∴AC2=CD2+AD2。∴∠D=90°。∴∠BAD+∠BCD=(∠BAC+∠BCA)+(∠DAC+∠DCA)=(180°-∠B)+(180°-∠D)=90°+90°=180°,即∠BAD+∠BCD=180°。8.[推理能力]如图所示,在Rt△AB