2025-2026学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（上）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在△ABC中，AD=13ABA.BD=12DC B.BD=2CD2.设a,b均为非零向量，则“a与a+2b共线”是“a与bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知集合A={x|x≥1}，B={x|x>2}，则(

)A.∃x∈A，x∈B B.∃x∈B，x∉A C.∀x∈A，x∉B D.∀x∈A，x∈B4.设函数f(x)=(12)x(x−a)在区间(0,1)单增，则aA.(−∞,−2] B.[−2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)5.将函数y=tan(12x+π3)A.π6 B.π3 C.2π36.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是(

)A.8π3cm

B.4π3cm

C.2π7.若定义在R上的函数f(x)满足：当x∈[0,+∞)时，(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0A.[−2,1]∪[5,+∞) B.[−1,1]∪[5,+∞) C.[−1,1]∪[3,5] D.[0,1]∪[2,5]8.当x∈[0,2π]时，曲线y=sin2ωx与y=sin(ωx−π6)有3个交点，则正实数A.[1112,4336) B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设正实数x，y满足x+2y=4，则以下说法正确的有(

)A.xy的最大值为2 B.x2+y2的最小值为165

C.x+10.已知不等式2kx2+kx−3A.若k=1，则不等式的解集为{x|−34<x<14}

B.若不等式对∀x∈R恒成立，则整数k的取值集合为{−2,−1}

C.若不等式对0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围是−3411.已知函数f(x)=|log2(−2x)|,−2≤x<04sin(π3x+π6),0≤x≤24，若g(x)=f(x)−t(t>0)有2n(n∈N∗)A.t∈(0,2)

B.x1+x2的取值范围[−178,−1)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知3sinα=sin(α−π6)13.已知向量a,b满足a=(cosθ,sinθ),|b|=2，且a与b的夹角为60°，则|14.设定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈[−1,0)时f(x)=−x(x+1).若对任意x∈(−∞,λ]，不等式f(x)≤1恒成立，则实数λ的最大值是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=(m2−5m+1)xm+1为幂函数，且为奇函数．

(1)求m的值；

(2)求函数g(x)=16.(本小题15分)

(1)已知tanα=2，求sin(π−α)+2cos(3π2+α)cos(2π−α)−sin(−α)；

(2)已知cos17.(本小题15分)

已知函数f(x)=4sinx⋅cos(x−π3)−3．

(1)求f(x)的单调减区间；

(2)若关于x的不等式mf(x)−1<0在|x|≤π4时恒成立，求实数m的取值范围；

(3)若函数y=f(x)+a(a∈R)在区间18.(本小题17分)

某学校附近有条长500米，宽6米的道路(如图1所示的矩形ABCD)，路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位(如矩形AEFG)，由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度AM=d(米)，停车位相对道路倾斜的角度∠E′A′M=θ，其中θ∈(π6,π3)．

(1)若cosθ=45，求EE′和E′M的长；

(2)求d关于θ的函数表达式d(θ)19.(本小题17分)

设函数y=f(x)在区间D上有定义，若对任意x1∈D，都存在x2∈D，使得x1+f(x2)=m，则称函数y=f(x)在区间D上的“和值”为m．

(1)判断函数f(x)=2x在R上的“和值”是否为0，并说明理由；

(2)若函数f(x)=log2(4x)⋅log2(2x)在区间[参考答案1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】ACD

11.【答案】AC

12.【答案】−13.【答案】2114.【答案】10−15.解：(1)因为函数f(x)=(m2−5m+1)xm+1为幂函数，

所以m2−5m+1=1，即m=0或m=5，

当m=5时，f(x)=x6为偶函数，不符合题意，

m=0时，f(x)=x为奇函数，符合题意，

故m=0；

(2)函数g(x)=x2+2f(x)=x2+2x为开口向上，对称轴x=−1的抛物线，

因为x∈[t,2]，则t<2

当|t+1|≥3，即t≤−4时，x=t时，函数取得最大值．t2+2t，

当−4<t<−2时，x=2时，函数取得最大值8．

16.解：(1)tanα=2，则sin(π−α)+2cos(3π2+α)cos(2π−α)−sin(−α)=sinα+2sinαcosα+sinα=3tanα1+tanα=3×21+2=2；

(2)因为知cos(α+β)=45，且3π2<α+β<2π，①

所以sin(α+β)=−1−cos2(α+β)=−35；

又sin(α−β)=35，且π2<α−β<π，②

同理可得，cos(α−β)=−45，

所以cos2β=cos[(α+β)−(α−β)]=cos(α+β)cos(α−β)+sin(α+β)sin(α−β)=45×(−45)−35×35=−1，

由①②，得π2<2β<3π2，

所以2β=π，解得β=π2．

17.解：(1)f(x)=4sinx⋅cos(x−π3)−3=4×sin(2x−π3)+sinπ32−3=2sin(2x−π3)，

令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，

解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z，

故f(x)的单调减区间为[5π12+kπ,11π12+kπ]，k∈Z；

(2)当−π4≤x≤π4时，−5π6≤2x−π3≤π6，sin(2x−π3)∈[−1,12]，

所以f(x)∈[−2,1]，

若关于x的不等式mf(x)−1<0在|x|≤π4时恒成立，

当f(x)=0时，m∈R，

当0<f(x)≤1时，m<1f(x)恒成立，则m<1，

当−2≤f(x)<0时，m>1f(x)恒成立，则m>−12，

故实数m的取值范围为(−12,1)；

(3)若函数y=f(x)+a在区间[0,π2)上有两个零点x1，x2，19.解：(1)函数f(x)=2x在R上的“和值”不为0，理由如下：

若函数f(x)=2x在R上的“和值”为0，

由于2x∈(0,+∞)，不妨令x1=1，此时2x2=−1无解，矛盾，

从而函数f(x)=2x在R上的“和值”不为0；

(2)x1,x2∈[12,2]，则m−x1∈[m−2,m−12]，log2x2∈[−1,1]，

由于对任意x1∈[12,2]，都存在x2∈[12,2]，使得log2x2=m−x1，

那么[m−2,m−12]⊆[−1,1]，于是m−2≥−1m−12≤1，解得m∈[1,32]；

(3)x∈[0,2]，则m−x∈[m−2,m]，

若t≤0，则y=x2−tx在[0,2]单调递增，则y=x2−tx∈[0,4−2t]，

则f(x)=|x2−tx|∈[0,4−2t]，

于是m−2≥0m≤4−2t，则2≤m≤4−2t，

其中4−2t≥4，故2≤m≤4，与有唯一“和值”m矛盾；

若t=4，则y=x2−4x=(x−2)2−4在[0,2]单调递减，

又x=0时，y=0，x=2时，y=−4