2025年浙江省台州市温岭中学九年级选拔考试数学试题(含答案)

2025年浙江省高中名校自主招生选拔数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为(

)A.13 B.12 C.232.正六边形M1内接于⊙O，正六边形M2外切于⊙O，则M1与M2A.2：3 B.3：4 C.4：5 D.5：63.已知a，b，c为三角形的三边，且每边长均大于1，则下列各组线段作为三边一定能组成三角形的是(

)A.a−1，b−1，c−1 B.a+1，b+1，c+1

C.a2，b2，c2 D.1a4.函数y=−2x2+2xA. B.

C. D.5.甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下：

甲：“乙、戊作案了”；

乙：“甲、丁作案了”；

丙：“乙、己作案了”；

丁：“甲、丙作案了”；

戊：“甲、己作案了”.

已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假.则作案的两人是(

)A.甲、丙 B.乙、戊 C.丁、己 D.甲、戊6.设m=a2+b2+c2，a，A.一定是奇数 B.一定是偶数 C.有时是无理数 D.奇数偶数均有可能7.已知对于任意的x1，x2，…，x2022[0≤xi≤4(i=1,2,3,…，2022)]，关于x的方程|x−x1A.0.5 B.1 C.2 D.38.如图，点D是直角三角形ABC斜边AC延长线上一点，AB=CD=2，∠CBD=30∘，则AC=(

)

A.7 B.23 C.3二、填空题：本题共8小题，每小题6分，共48分。9.已知34+34+310.如果等腰三角形一边上的中线等于这边长，则它的底角的正切值为

.11.将自然数0，1，2，3，…，按第k组含(k+1)个数分组：(0,1)，(2,3,4)，(5,6,7,8)，…，记aki表示第k组中第i个数，如a23=4.若aki=2022，则k=

，12.已知x=13+2，把3用含x的有理系数的三次多项式表示，即13.不论k取不等于1的任意实数，一次函数y=(k+1)x−3k+5k−1的图象都与以M(2,0)为圆心的圆有交点，则⊙M的面积的最小值为

.14.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，线段PQ在正六边形内，且PQ//AB，点R为正六边形内任一点(点P，Q，R可在正六边形的边界上)，则△PQR的面积的最大值为

.

15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E在线段OC上，且OE=13OC，连接AE并延长交⊙O于点G，连接DG交BC于点F.若AB=10，OH=3，则BF=

.

16.学校组织部分学生参加某项测试，要求解答五个题目，并且规定答对三题或三题以上的同学为合格.测试结果有72人合格，统计每题答对的人数分别为：83，93，87，81，76人，则参加这次测试的学生至少有

人.三、解答题：本题共5小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题20分)

已知a=1+52，b=1−52.

(1)求ab及a18.(本小题20分)

已知关于x的方程x3−(a2+a)x+a2=0.

(1)当a=119.(本小题20分)

定义：对于给定的一个函数，另一个函数称为它的互联函数须满足下列条件：任取自变量x的一个值，若x<0，则它的互联函数值与原函数值互为相反数；若x≥0，则它的互联函数值比原函数值大1.如函数y=−x+1，它的互联函数为y=x−1(x<0)−x+2(x≥0).

(1)已知函数y=2x+2.

①写出它的互联函数表达式；

②当−1≤x≤3时，求它的互联函数y的取值范围；

(2)已知二次函数y=−x2+2x+k.

①对于1≤p≤1.5的任一p值，当它的互联函数y=p时，对应的自变量x都有三个值，求k的取值范围；

②若k=1，当−1≤x≤m(m>−1)时，它的互联函数y的取值范围为20.(本小题20分)

如图，在等腰△ABC中，AC=BC，E为BC上一点，ED⊥AC于D，∠AED=∠ABC.

(1)如图1，若∠C=30∘，AB=22，求BE和CD的长；

(2)如图2，当∠C为任意锐角时，从(1)中猜想BE与CD的数量关系，用等式表示，并给出证明21.(本小题24分)

[概念学习]圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角.如图1，直线MN切⊙O于点A，AB是弦，则∠MAB、∠NAB都是弦切角，把弧AB称为弦切角∠MAB所夹的弧.

[性质探索](1)弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线MN切⊙O于点A，AB是弦，点C为优弧ACB上一点，猜想并证明∠MAB与∠ACB的数量关系；

[性质应用](2)如图2，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为点A，B，作直线PD交⊙O于点C，D，过点B作EF//PA，交AC的延长线于点E，交AD于点F.求证：点B为线段EF的中点.

参考答案一、选择题：1.C

2.B

3.B

4.A

5.D

6.A

7.C

8.D

二、填空题：9.−1

10.2或1511.63，8.

12.−12x314.915.416.102

三、解答题：17.解：(1)∵a=1+52，b=1−52，

∴ab=(1+5)(1−5)4=1−54=−1，

a+b=1−5+1−52=118.解：(1)当a=1时，该方程可转化为(x−1)(x2+x−1)=0，

∴x−1=0或x2+x−1=0，

由x−1=0，解得：x=1，

由x2+x−1=0，解得：x=−1±52，

∴方程的解为：x1=1，x2=−1+52，x3=−1−52；

(2)依题意得：x−a=0或x2+ax−a=0，

由x−a=0，解得：x=a，

当x=a是方程x2+ax−a=0的根时，

将x=a代入得a2+a⋅a−a=0

解得a=0或a=12，

当a=0时，方程只有一个实数根x=0，不符合题意，

当a=12时，方程为x2+12x−12=0，解得x1=12，x2=−1，符合题意；

∵原方程恰有两个不相等的实数根，19.解：(1)①由题意可得，函数y=2x+2的互联函数为y=−2x−2(x<0)2x+3(x≥0).

②当−1≤x<0时，函数y=−2x−2单调递减，

∴−2<y≤0；

当0≤x≤3时，函数y=2x+3单调递增，

∴3≤y≤9.

综上，当−1≤x≤3时，它的互联函数y的取值范围为−2<y≤0或3≤y≤9.

(2)①二次函数y=−x2+2x+k的互联函数为y=x2−2x−k(x<0)−x2+2x+k+1(x≥0)，

函数y=x2−2x−k与y轴交点的纵坐标为−k，

函数y=−x2+2x+k+1与y轴交点的纵坐标为k+1，其函数图象的对称轴为直线x=1，当x=1，y=k+2，

作出两函数的大致图象如图所示，

由图可知，当y=p时，要使对应的自变量x都有三个值，则k+1≥−k，解得k≥−12，

1≤p≤1.5的任一p值，当y=p时，对应的自变量x都有三个值，

即直线y=p(1≤p≤1.5)与图象有三个交点，

∴k+1≤1k+2>1.5，解得：−0.5<k≤0.

②当k=1时，y=x220.(1)解：过B作BH⊥EA，BM⊥AC.

∵∠C=30∘，

∴设BM=x，则CB=2BM=2x，

∴CM=3BM=3x.

∴MA=CA−CM=2x−3x.

∵BM2+MA2=AB2，

∴x2+(2x−3x)2=(22)2，

∴x2=44−23，

∴x2=(23−1)2，

∵x>0，

∴x=23−1=3+1，

∵∠BCA=30∘，CA=CB，

∴∠CBA=∠CAB=75∘，

∴∠MBA=∠CBA−∠CBM=75∘−60∘=15∘，

∵∠BMA=∠EDA=90∘，∠ABC=∠AED，

∴∠EAD=∠MBA=15∘，

∴∠BAE=∠CAB−∠EAD=60∘，

∴AH=12AB=2，

∴BH=3AH=6，

∵∠EBH=∠CBA−∠HBA=45∘，

∴△BHE为等腰Rt△，

∴BE=2BH=23，

∴CE=CB−BE=2x−221.(1)解：∠MAB=∠ACB；

证明：如图，连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD，

∵MN与⊙O切于点A，

∴OA⊥MN，即∠MAD=90∘，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90∘，

∴∠MAB=∠ADB=90∘−∠BAD，

∵AB=AB，

∴∠ACB=∠ADB，

∴∠MAB=∠ACB.

(