福建省泉州市剑影实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)

泉州市剑影实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．在二次根式x−2中，x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x＜22．已知ab=2A．32 B．43 C．533．下列根式中与3是同类二次根式的是（）A．0.3 B．9 C．12 D．184．如图，DE是△ABC的中位线，若S△ADE＝1，则S△ABC等于（）A．5 B．4 C．3 D．25．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（）A．100（1﹣x）2＝64 B．100（1+x）2＝64 C．100（1﹣2x）＝64 D．100（1+2x）＝646．把方程x2﹣6x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（）A．3，9 B．﹣3，7 C．﹣3，16 D．3，167．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列选项正确的是（）A．sinA+sinB＜1 B．sinA+sinB＞1 C．sinA+sinB＝1 D．sinA+sinB≤19．对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，则m的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．010．如图，在平面直角坐标系中，过点O的直线AB交反比例函数y=k1x的图象于点A，B，点C在反比例函数y=k2x（x＞0）的图象上，连接CA，CB，当CA＝CB且cos∠CAB=A．k2＝2k1 B．k2＝﹣2k1 C．k2＝4k1 D．k2＝﹣4k1二、填空题（每小题4分，共24分）11．一元二次方程x2＝2x的根是．12．如图，l1∥l2∥l3，l4与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C，l5与l1，l2，l3分别相交于点D、E、F，若AB＝3，BC＝4，DE＝2，那么EF＝．13．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是．14．在△ABC中，若|sinA−32|+(cosB−1215．如图在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AC＝8，则BG的长为．16．已知实数m，n满足：2m2﹣7m+1＝0，n2﹣7n+2＝0，且mn≠1，则2mn+2mn+3n+1的值为三、解答题（共86分）17．（8分）计算：18−418．（8分）解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△FCD与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．（1）在图中标出点P的位置并写出点P的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似△O1A1B1，使它与△OAB的相似比为2：1．20．（8分）如图，某学校计划在长为20m，宽为10m的矩形地面上修建相同宽度的通道（图中阴影部分），余下部分作为劳动实践基地，要使劳动实践基地的面积为171m2，求通道的宽．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，AC＝8，BC＝6．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）当DE＝DC时，求AD的长．22．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；（2）已知方程有一根大于3，求m的取值范围．23．（10分）“抖音直播”一夜之间红遍大江南北，某网络销售平台乘机销售一款户外声卡，平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品盈利为元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变且销售正常的情况下，当每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2088元．24．（12分）已知，A（3，0），点P在x轴上方，且△POA的面积为3，点B在射线OP上，且∠OPA＝∠OAB．（1）求OP•OB的值；（2）不论P在何处，过点B且经过垂直于OP的直线l必经过某一定点，请直接写出这个点的坐标；（3）利用（2）中的结论，求OPPA25．（14分）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF．把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．根据以上操作，得∠EBF＝°．【探究证明】（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM＝MF．【深入研究】若AGAC=1k，请求出参考答案一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACCBACDBAD二、填空题（每小题4分，共24分）11．x1＝0，x2＝2．12．8313．x＝﹣2．14．等边．15．8．16．1413三、解答题（共86分）17．解：原式＝32−22+＝52．18．解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，∴Δ＝16﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，则x=4±219．解：（1）如图所示，点P的位置，由图可知：P（﹣5，﹣1）；（2）如图，△O1A1B1即为所求．20．解：设通道的宽为xm，依题意得：（20﹣x）（10﹣x）＝171，整理得：x2﹣30x+29＝0，解得：x1＝1，x2＝29（不合题意，舍去）答：通道的宽为1m．21．（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；（2）解：设AD＝x，则由题意知：DC＝DE＝8﹣x，∵AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝10，∵△ADE∽△ABC，∴ADAB∴x10解得：x＝5，∴AD＝5．22．（1）证明：Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣2m+1﹣4m+8＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，∴无论m取何值，方程总有实数根；（2）由求根公式得x=−b±∴x1＝1，x2＝m﹣2，∵方程有一根大于3，∴m﹣2＞3，解得m＞5．23．解：（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元，故答案为：2x，（50﹣2x）．（2）根据题意，得：（30+2x）（50﹣x）＝2088．整理，得﹣2x2+70x﹣588＝0．解得x1＝21，x2＝14，∵商场为了尽快减少库存，∴x＝14不符合题意，舍去．∴当降价21元时，销售量较大，此时盈利可达2088元．24．解：（1）∵A（3，0），∴AO＝3，∵∠OPA＝∠OAB，∠AOB＝∠AOP，∴△AOB∽△POA，∴AOOP∴OB•OP＝3×3＝9；（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，∵△POA的面积为3，∴12×3×∴PE＝2，∵∠POE+∠HOB＝90°＝∠HOB+∠OHB，∴∠POE＝∠OHB，∴△OBH∽△PEO，∴OHOP∴OH=OB⋅OP∴过点B且经过垂直于OP的直线l必经过定点（0，4.5）；（3）∵△AOB∽△POA，∴OPPA∴当AB取最小值时，OPPA∵∠OBH＝90°，∴点B在以OH为直径的圆上运动，∴BA的最小值=3∴OPPA25．【操作判断】解：如图，由题意可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，∴∠EBF＝45°，故答案为：45；【探究证明】（1）解：方法一：△BFG为等腰直角三角形，证明如下：由题意可得∠EBF＝45°，∵正方形ABCD，∴∠BCA＝∠ACD＝45°，∵∠EBF＝45°，∴△BHG∽△CHF，∴BHCH∴BHHG∵∠GHF＝∠BHC，∴△BHC∽△GHF，∴∠BCH＝∠GFH＝45°，∴△GBF为等腰直角三角形；方法二：∵∠GBF＝∠GCF＝45°，∴B、C、F、G四点共圆，∴∠BFG＝∠BCG＝45°，∴∠BFG＝∠GBF＝45°，即∠BGF＝90°，∴△GBF为等腰直角三角形；（2）证明：∵△GBF为等腰直角三角形，∴∠BGF＝90°，BG＝FG，∴∠PBG＝∠QGF，∵PQ⊥AB，PQ⊥CD，∴∠BPG＝∠GQF＝90°，∴△PBG≌QGF（AAS），∴∠PGB＝∠GFQ，∵PQ∥AD，∴∠PGB＝∠AEB，∵翻折，∴∠AEB＝∠BEF，∵∠PGB＝∠EGQ，∴∠BEF＝∠EGQ，∵∠BEF+∠EFG＝∠EGQ+∠FGQ＝90°，∴∠EFG＝∠FGQ，∴EM＝MG＝MF；【深入研究】解：方法一：将△AGB旋转至△BNC，连接HN，如图，∴△AGB≌△CNB，∴∠BAC＝∠BCN＝45°，AG＝CN，BG＝BN，∵∠ACB＝45°，∴∠HCN＝90°，∴CH2+CN2＝HN2，∵∠5＝∠6，∠EBF＝45°，∴∠GBH＝∠NBH，∴△GBH≌△NBH（SAS），∴GH＝NH，∴CH2+AG2＝GH2，由（2）知△PBG≌△QGF，四边形APQD为矩形，∵∠BAC＝45°，∴AP＝PG＝DQ＝FQ，设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，∴AG=2a∵AGAC∴AC=2ka∴GH+HC＝AC﹣AG=2a（k∵CH2+AG