江苏省南京市建邺区2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学冲刺试卷(含答案)

2025-2026学年江苏省南京市建邺区九年级（上）第二次月考数学冲刺试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是(

)A.y=1−3x3 B.y=x2−5x 2.一组数据：7，5，9，3，9，15，关于这组数据说法错误的是(

)A.极差是12 B.众数是9 C.中位数是7 D.平均数是83.已知A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是二次函数y=−xA.y1<y2<y3 B.4.若二次函数y=ax2−2ax+c的图象经过点(−1,0)，则方程axA.x=−1B.x1=3，x2=1C.x1=−1，x5.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点P是矩形ABCD内一动点，且∠BPC=90°，连接AP，PD，则△APD面积的最小值为(

)A.52B.4C.3D.6.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为−1，3.与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①2a−b=0；②c=−3a；③当m≠1时，a+b<am2+bm；④若ax12+bx1=ax22A.1个B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共10小题，共20分。7.设x1，x2是方程2x2+3x−4=08.用半径为4，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为

．9.某农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t，且第一年的增长率是第二年的两倍．如果设第二年的增长率为x，则可列方程为______．10.有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为

．11.已知数据x1，x2，…，xn的方差是3，则一组新数据2x1+4，2x12.半径为13cm圆内的两条平行弦分别为10cm和24cm长，则两条平行弦之间距离是

．13.若点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=2，则AC的长为

．14.如图，拱桥形状是抛物线，拱顶到水面距离为2m时，水面宽4m，那么水面下降1m，水面宽度为______m.15.如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形EFGH是△ABC的内接矩形，若EH的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的函数解析式为

．16.若二次函数y=ax2+bx+1的最大值是2024，则y=−a(x+2)2三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

解方程：

(1)x(x−3)−4(3−x)=0；(2)x218.(本小题6分)

如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过E作EF⊥AB交AB于点F．

(1)求证△DEC∽△EFB；

(2)若BC=6，CE=2，求AF的长．19.(本小题6分)

某游乐城销售一种玩具，当售价为50元/件时，每天可以销售40件.现游乐城对该玩具开展酬谢促销活动，通过市场调研发现，该玩具单价每降1元，销量增加4件.若该玩具进价为30元/件．

(1)售价为多少元时，每天的利润为864元？

(2)售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润为多少元？20.(本小题6分)

我市某中学举行十佳歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

(1)根据所给信息填空：

平均数(分)

中位数(分)

众数(分)方差

初中部85______85______

高中部______80______160(2)你觉得高中部和初中部的决赛成绩哪个更好？说明理由．21.(本小题6分)

某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到.某天由甲，乙，丙3名同学检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级．

(1)甲检查初一年级的概率为______；

(2)求他们都不检查自己所在年级的概率．22.(本小题6分)

如图，AD，BC相交于点E，AB//CD//EF，B，F，D在一条直线上.AB=10，CD=15．

(1)求BFDF的值；

(2)求EF的长．23.(本小题6分)

如图，PA是⊙O的切线，A为切点，点B、C、D在⊙O上，且PA=PB．

(1)求证：PB是⊙O的切线；

(2)若∠B+∠D=230°，则∠P=______°.24.(本小题8分)

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的图象经过点A(1,3)，B(−1,−1)．

(1)b=______，c=______(用含有a的代数式表示)；

(2)求证：不论a为何值，该函数图象与x轴总有两个不同的公共点；

(3)设(m,0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当−3<m<0时，结合函数的图象，直接写出25.(本小题8分)

如图1，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点P、D分别是边BC、AC上的点，且∠APD=∠B．

(1)求证：AB⋅CD=CP⋅BP；

(2)如图2，若PD//AB时，求BP的长；

(3)当点P在边BC上运动时，线段AD26.(本小题10分)

【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型——“半角模型”：如图1，在正方形ABCD中，E、F在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF.请你写出线段BE、EF、DF的数量关系：______；

【探索发现】如图2，小明连接对角线BD，与AE、AF交于点M、N，图中与△AMN相似的三角形共有______个，请你选择其中一组证明；

【深入研究】正方形ABCD边长为1，设BE的长为x，MN的长为y，求y与x的函数关系式．

参考答案一、选择题：1.B

2.C

3.D

4.D

5.B

6.C

二、填空题：7.−18.439.3000(1+2x)(1+x)=3630

10.1211.12

12.17cm或7cm

13.−1+14.215.y=−2x16.−2020

三、解答题：17.解：(1)x(x−3)−4(3−x)=0，

x(x−3)+4(x−3)=0，

(x−3)(x+4)=0，

x−3=0或x+4=0，

∴x1=3，x2=−4；

(2)x2+4x−5=0，

(x+5)(x−1)=0，

x+5=0或18.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴CD//AB，

∴∠DCE=∠EBF，

∵DE⊥BC交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，

∴∠DEC=∠EFB=90°，

∴△DEC∽△EFB．

(2)解：∵BC=6，CE=2，

∴AB=CD=BC=6，BE=BC+CE=6+2=8，

∵△DEC∽△EFB，

∴CEBF=CDBE，

∴BF=BE⋅CECD=8×2619.解：(1)设售价为x元时，每天的利润为864元，

由题意得：(x−30)[40+4×(50−x)]=864，

解得：x1=63，x2=27，

答：售价为63或27元时，每天的利润为864元，

(2)设售价为x元时，每天的利润为w元，

由题意得：w=(x−30)[40+4×(50−x)]，

=−4x2+360x−7200，

当x=−b2a=45时，w20.解：(1)填表如下：

平均数(分)

中位数(分)

众数(分)方差

初中部85858570

高中部8580100160(2)答：我觉得初中部的成绩更好，因为初中部和高中部的成绩平均数一样，但是初中部的方差比高中部小，成绩更整齐．

故答案为：85，70，85，100．

21.解：(1)∵共有3个年级，分别是初一，初二，初三，

∴甲检查初一年级的概率为13．

故答案为：13．

(2)设甲，乙，丙分别来自于初一，初二，初三3个年级．甲，乙，丙3名同学各自检查一个年级，所有可能出现的结果共有6种，

即(初一，初二，初三)、(初一，初三，初二)、(初二，初一，初三)、(初二，初三，初一)、(初三，初一，初二)、(初三，初二，初一)，这些结果出现的可能性相等．

所有的结果中，满足他们都不检查自己所在年级(记为事件A)的结果有2种，即(初二，初三，初一)、(初三，初一，初二)，

所以P(A)=22.解：(1)∵AB//CD，

∴AEDE=ABDC=1015=23，

又∵AB//EF，

∴BFDF=AEDE=23.(1)证明：连接OA，OB，OP，

∵PA是⊙O的切线，A为切点，

∴∠PAO=90°，

在△PBO和△PAO中，

PB=PAOB=OAOP=OP，

∴△PBO≌△PAO(SSS)，

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴PB⊥BO，且PB过半径OB的外端，

∴PB是⊙O的切线．

(2)解：连接AB，

在圆内接四边形ABCD中，∠D+∠ABC=180°，

∴∠D+∠PBC=∠D+∠ABC+∠PBA=230°，

∴∠PBA=50°，

∵PB=PA，

∴∠PAB=∠PBA=50°，

∴∠P=180°−(∠PAB+∠PBA)=80°，

故答案为：80．

24.解;(1)2，1−a；

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,3)，B(−1,−1)，

3=a+b+c−1=a−b+c，

解得：b=2c=1−a，

故答案为：2，1−a；

(2)证明：

二次函数的表达式为y=ax2+2x+1−a，

令y=0，则一元二次方程为ax2+2x+1−a=0，

∵Δ=b2−4ac=22−4a(1−a)=4a2−4a+4=(2a−1)2+3，

∵(2a−1)2≥0，

∴(2a−1)2+3>0，

∴一元二次方程ax2+2x+1−a=0有两个不相等的实数根，

∴不论a为何值，该函数图象与x轴有两个公共点；

(3)

a>58或a<0

y=ax225.(1)证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠APD=∠B，

∴∠CPD+∠APB=180°−∠APD=180°−∠B，

∵∠BAP+∠APB=180°−∠B，

∴∠BAP+∠APB=∠CPD+∠APB，

∴∠BAP=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD，

∴ABCP=BPCD，

∴AB⋅CD=CP⋅BP；

(2)解：∵△ABP∽△PCD，

∴PCAB=CDBP，即PCCD=ABPB，

∵PD//AB，

∴△CDP∽△CAB，

∴CDAC=PCBC，即BCAC=PCCD，

∴BCAC=ABBP，

∵AB=AC=6，BC=8，

∴AC=5，

∴86=6BP，

∴BP=92．

(3)解：∵∠APD=∠B=C.∠PAD=∠CAD，

∴△PAD∽△CAP，

∴PACA=ADPA，

∴AD=PA26，

当PA最小时，AD最小，

若PA⊥BC，AD有最小值，此时AP=AB2−BP2=62−42=25，

∴AD=206=103．

故答案为：103．

26.解：(1)EF=BE+DF；

理由：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°，

∴∠ABG=180°−∠ABC=90°，

在△ADF和△ABG中，

AD=AB∠ADF=∠ABG=90°DF=BG，

∴△ADF≌△ABG(SAS)，

∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，

∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠BAG+∠BAE=45°=∠GAE=∠EAF，

在△AGE和△AFE中，

AG=AF∠GAE=∠FAEAE=AE，

∴△AGE≌△AFE(SAS)，

∴GE=EF，

∵GE=GB+BE=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

故答案为：EF=BE+DF；

(2)与△AMN相似的三角形有△BME，△DNF，△ADM，△AEF．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°，

∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，

∴△AMN∽△BME，

∴∠ANM=∠MEB，

∵∠DNF=∠ANM，

∴∠DNF=∠BEM，

∵∠NDF=∠EBM=45°，

∴△DFN∽△BME∽△AMN，

∵∠ADM=∠EBM=45°，∠AMD=∠BME，

∴△DMA∽△BME∽△AMN，

将△AD