新编数学教学论课件 第十四章 中学数学建模及其教学

第14章中学数学建模及其教学PART14目前我国正在开展教育改革，其中，中小学教育改革以课程改革为核心，涵盖了教学内容、学习方式、教学方法和教育技术等各个方面。数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。随着社会的发展，对数学的地位和作用的正确评价也在逐渐形成，并为人们所普遍接受，即数学将深入人们工作、生活的各个领域，发挥巨大的潜能。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出:“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。”不仅把数学建模作为六大核心素养之一,而且将数学建模活动与数学探究活动、数学综合实践活动相融合,突显了数学建模的重要性。《义务教育数学课程标准(2022年版)》也提出要培养学生的模型意识和模型观念②。这无疑对中学数学教学提出了更新更高的要求,在中学开展数学建模教学势在必行。14.1中学数学建模14.2如何在教学中开展数学建模活动目录中学数学建模14.114.1中学数学建模经过多年来我国广大数学教育工作者的不断努力,如今与数学应用密切相关的“问题解决”“大众数学”已深入人心。“数学建模”作为实施课程标准的要求,受到了基础教育界的广泛重视。14.1.1中学数学建模的含义那么到底何谓数学建模呢？1991年由美国数学教师联合会出版的《中学课程中的数学建模——课堂练习资料导引》一书中，对什么是数学建模进行了非常形象清楚的介绍，我们在这里摘录给读者，以供参考。14.1中学数学建模14.1.1中学数学建模的含义多数人直觉地把数学模型理解成物理意义下的模型，通常这是一种物体的尺寸缩小了的复制品，分享原物体的许多性质，如相同的外貌、同样的颜色，甚至和所表示的物体有类似的功能，如模型帆船能飘浮并能靠风力推进。因为这种模型并不具有“母本”物体的所有性质，所以操作方便或易于控制。像大小、重量等特征会妨碍我们对事物进行研究，而实物的模型则易于掌握。可以通过操纵和研究模型，从中获得关于“母本”物体的信息。在许多技术领域和工业研究中，物理模型是一种很有价值的工具。此外，还可以构造理论模型。一个物体和一种现象的理论模型是观察者心目中能确切表示该物体和现象的一组规则和定律。当这种规则和定律用数学表示时，一个数学模型就研制出来了。因此，数学模型是近似表达现象特征的一种数学结构。设计数学模型的过程称为数学建模。14.1中学数学建模14.1.1中学数学建模的含义数学建模是一个系统性的过程，它要用到许多技巧，包括翻译、解释、分析和综合、计算等高水平的认知活动。建模过程包括４个主要阶段：理解问题，通过观察，了解问题的情况，并找出影响该问题的重要因素；简化、假设，排除次要因素，猜测重要因素之间的关系并用数学语言阐明它们，从而得到问题的一个数学模型；求解模型，利用数学工具处理这个模型，得到初步结果；检验模型（必要时修改模型），对得到的初步结果进行翻译、解释，得到问题的正确解决方法。14.1中学数学建模14.1.2建构灵活的数学基础知识《中华人民共和国个人所得税法》(2018年8月31日修正)中给出了个人所得税税率表,如表14.1中学数学建模14.1.2建构灵活的数学基础知识当前,表14.1.1中所称“全年应纳税所得额”,是指居民个人取得综合所得以每一纳税年度收入额减除费用6万元以及专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额。例如某人一年收入为8万元(无其他扣除情况),全年应纳税所得额为2万元,即8万元减去6万元,全年应缴纳个人所得税为600元。请写出个人年收入的个人所得税y关于收入额x(0≤x≤40,单元:万元)的函数表达式,并画出函数示意图;求解当个人年收入额分别为12万元、20万元时,其应纳税额分别是多少?14.1中学数学建模14.1.2建构灵活的数学基础知识《理解问题:利用分段函数的特点,可以非常便利地写出函数表达式。需要注意的是:年收入(x)-6=全年应纳税所得额。简化建模:将实际问题转化为纯数学问题。就此题而言,就是将个人所得税和个人年收入额之间建立起函数关系(单位:万元):14.1中学数学建模14.1.2建构灵活的数学基础知识求解模型:此题属于中学范畴,意在考查学生对题目的理解和处理能力。为便于学生的求解,将个人年收入额的范围限制在40万元以内,学生通过笔算即可得到最终结果,培养学生的运算能力。检验模型:可以通过登录中国人民银行网站,调用个人月收入所得税核算器来检验模型所设函数是否准确。网络是数学建模应用最为便利的信息获取途径,由于数学建模所涉及的知识相当广泛,因此拥有一个强大的信息源对于建模工作者尤为重要。14.1中学数学建模14.1.3中学数学建模的功能现代数学教育学认为,数学教学的任务是形成和发展那些具有数学思维特点的智力活动结构,并且促进数学发现;同时,数学教学又被看作是数学活动的教学。因此,数学建模必然要在中学数学教学中得到反映,并受到广泛的重视。那么,具体来讲,数学建模对中学生能力的培养到底有哪些功能呢?刘沭坊指出:“中学数学建模是发展基础教育的必要,推动着数学教育改革,是培养能力的素质教育,促使新的教学模式的产生。”14.1中学数学建模14.1.3中学数学建模的功能我们认为数学建模的功能大致体现在以下几个方面。1.培养学生“双向”翻译的能力因为数学建模首先要用数学的语言把实际问题翻译、表达成确切的数学问题。通过数学处理,然后又要能把数学问题的解用一般人所能理解的非数学语言表述出来,只有这样才能“从理论分析转回现实语言并使之适于使用”。这“双向”翻译的能力恰是应用数学的基本能力。2.培养学生的想象力、联想力、洞察力和创造能力因为学生面对的建模是一个没有现成答案、没有现成模式的问题,要充分发挥自己的创造性去解决。这就需要从大量的文献资料中去摄取对问题有用的思想和方法,要从貌似不同的问题中窥视出其本质的东西,即需要有丰富的想象能力和联想能力,同时应具有把握问题内在本质的能力,即洞察力。而数学建模的这个过程就是这些能力的综合体现。14.1中学数学建模14.1.3中学数学建模的功能3.培养学生的自学能力和使用文献资料的能力由于建模所需要的很多知识是学生原来没有学过的，而且也不可能有过多的时间由老师来补课，只能通过学生自学和讨论来进一步掌握，这恰是对学生自学能力的培养。而在解决问题过程中，又需要在有限的时间内从浩如烟海的资料中迅速找到和吸取自己所需要的东西，这就大大锻炼和提高了学生使用资料的能力。这两种能力恰是学生毕业后在工作和科研中所永远需要的。14.1中学数学建模14.1.3中学数学建模的功能4.培养学生的计算机应用能力使用计算机来解决问题，在数学建模中是一个必不可少的重要环节，因为对复杂的实际问题，在建模之前往往需要先计算一些东西或直观地考察一些图象，以便据此作出判断或想象来确定模型。更重要的是在形成数学模型后，求解中大量的数学推理运算、计算、画图都需要靠相应的数学软件的帮助才能完成，直至最后论文的编辑排版、打印都离不开计算机，因此数学建模对使用计算机及其软件能力的提高是不言而喻的。14.1中学数学建模14.1.3中学数学建模的功能5.培养学生论文写作与表述的能力数学建模事实上就是一项小型的且完整的科研过程，其最终成果体现为一篇完整的论文，论文要写得清晰、明白、重点突出、引人入胜。在教学的过程中又会要求学生报告自己的论文，阐述和辩解自己的思想、观点。这些要求和锻炼，无疑对培养学生的写作能力、表述能力，将起到积极的作用。6.培养学生相互协作的品质和能力由于数学建模活动往往是以小组为单位进行，其成功与否，取决于大家的密切合作，集思广益，取长补短。因为只有善于倾听别人的意见，才能从不同观点的争论中综合出最优的方案来。这种相互协作的精神，是学生在未来的工作和社会生活中极为需要的。14.1中学数学建模如何在教学中开展数学建模活动14.214.2如何在教学中开展数学建模活动中学数学教学是基础教育,学生的知识、能力、数学素养都很有限,处在一个由低向高、由少到多、由片面到全面的发育过程中。金洁通过实践教学提出,中学数学建模活动应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进形成和发展数学应用意识,提高实践能力。而很多实际问题,其模型的建立及解决,需要较全面、较综合、较高的数学知识和能力,那么,应当用何种方式与方法在中学数学教学中开展数学建模活动呢?14.2.1在课堂教学中适时引入事实上，在我国中学数学课本中，有许多概念和问题解决的方法都是通过实际问题或从实物模型中引入的。如，“指数函数”的概念从一个细胞分裂的模型导入；“对数”概念则是从复利问题模型中引入的；在“排列组合”中，两个基本原理本身就是从实际问题的求解中抽象建立起来的一个数学模型。作为教学第一线的教师，可以从教材中的这些应用因素入手，有意识地挖掘它们，提出或构造一些哪怕很浅的数学建模问题，把他们安排到自己的课堂教学中去。14.2如何在教学中开展数学建模活动14.2.1在课堂教学中适时引入表14.2.1所列举的就是某中学的一位数学老师结合自己的教学安排所添加的应用及建模内容。14.2如何在教学中开展数学建模活动14.2.2在课余作业中继续完成由于课时的限制，某些复杂的建模问题在课堂上完成也许会有困难，对此，教师可在课堂上提出问题、建立模型，而把问题的求解过程留给学生在课余作业中继续完成。例如，上文所述这位教师就曾给学生留过这样的寒假作业：让学生采集应用数学问题，对采集的问题进行分析求解，并把结果写成小论文。开学后，老师得到了如下一些结果。应用数学问题的采集：骗人的足球彩票有奖销售；大、小包装的同种商品的定价；电缆求长；电视塔高和信号覆盖范围的计算；两栖车辆登陆地点的选择；搬家时大衣柜能否过拐角；碳酸饮料哪一种包装赚钱多；社会福利彩票的兑奖率和返还率；旧电视机100元卖给小贩是否合算。14.2如何在教学中开展数学建模活动14.2.2在课余作业中继续完成应用数学的小论文：《澳大利亚网球公开赛单打比赛奖金分配额浅析》《利用神经网络辨别信封上的邮政编码》《从电视塔想到的》《电缆求长及其他》《还本销售是赚还是赔？》《怎样开挖最短的饮水渠？》。在这样的作业中，学生不仅要独自去发现问题、解决问题，还锻炼了数学协作（数学交流）能力，可谓“一举数得”。这种有效培养学生能力的教学方法，值得广大教师借鉴。14.2如何在教学中开展数学建模活动14.2.3在数学活动课中灵活开展数学活动课不受教材、教学进度等的限制，可以大胆开展一些需学生动手做实验、搞社会调查、实地测量的灵活多样的建模活动。例如，某校学生到某超级市场调查了解到，超市在将进货单价为60元的某品牌洗发水按80元一瓶售出时，每月能卖出500瓶。根据市场分析预测，单价每提高1元，其销售量将递减50瓶。应怎样制定洗发水的售出价，才能获得最大利润？学生们经过分析，建立了这样的数学模型：

14.2如何在教学中开展数学建模活动14.2.3在数学活动课中灵活开展将数学建模融入数学教学中的途径是多种多样的,专门讲数学建模的课程不一定是必要的,也不是条件(时间、人力等)所允许的。问题解决中的建模方法和建模理论应该适当地、有节制地逐步进入现有的课程中去,并尽可能地充分利用已有的教材。许多建模问题的类型在我们的教材中早就具备了,只需要把它们作为稍有不同的求解导向就可以变成一个数学建模问题了。汪飞飞、张维忠指出:“未来中国中学数学建模研究,在内容上应当保持均衡化态势,既要关注数学建模的本体研究,也要注重人的数学建模素养发展研究;在方法上需要克服经验化倾向,愈加重视数学建模的理论研究、实践研究与实证研究的融合,在视角上亟待突破狭隘化局限,可以尝试从社会文化视角探究数学建模教学的社会性问题。”14.2如何在教学中开展数学建模活动14.2.3在数学活动课中灵活开展不过数学建模的许多问题都要求能综合应用所学的知识,分析求解过程有时费时较多。因此一些教师认为,让它进入课堂会干扰正常的教学计划和进度,即使有心尝试,也有一些顾虑。其实,从前面的例子可以看到,从新课标的要求看,数学建模内容已经成为中学数学课程体系的一