2025-2026学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l的一个方向向量为(3,3A.π6 B.π3 C.2π2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+A.10 B.12 C.15 D.303.已知双曲线C：x2a2−yA.1 B.2 C.4 D.84.过点(−2,1)的直线l与圆O：x2A.−2或0 B.−12或0 C.−43或05.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1，若a5A.1 B.−1 C.12 6.2025年东南现代农博会⋅花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有(

)A.6种 B.12种 C.18种 D.24种7.已知圆C1：x2−2x+y2=0，圆C2：A.13 B.5 C.13+8.如图，A地在B地北偏东30°方向，两地相距2km，B地与南北走向的高铁线l(近似看成直线)相距4km，已知公路PQ(近似看成曲线)上任意一点到B地的距离等于该点到高铁线l的距离，现要在公路边建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)A.3km B.4km C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(x−2)A.常数项为−64 B.x的系数为−192

C.各二项式系数之和为64 D.10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1A.∠A1MA2=π3 B.M的坐标为(11.如图，由Rt△OAB开始，作一系列的相似三角形，OA=1，∠AOB=30°.设第n个三角形的斜边长为lA.{ln}为等差数列

B.{Sn}为等比数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC的顶点坐标为A(0,4)，B(213.“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为{an}，如图，实线上的数即为{an}的前4项.记Tn=14.一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点处出发，每次随机地选择向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，若移动5次蚂蚁仍在圆x2+y2=3内部，则不同走法共有四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2−2x−3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知直线16.(本小题15分)

已知(1+12x)n=a0+a1x+a217.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，过点(0,4)的直线l与抛物线E：x2=4y相交于M，N两点．

(1)18.(本小题17分)

已知数列{an}满足a1=3，an+1=3an+3n+1(n∈N*).

(1)求数列19.(本小题17分)

经过椭圆中心的弦称为椭圆的直径.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条直径所在直线的斜率之积为−b2a2，则称这两条直径为该椭圆的一对共轭直径.特殊地，若一条直径所在直线的斜率为0，另一条直径所在直线的斜率不存在，也称这两条直径为该椭圆的一对共轭直径.已知椭圆E：x24+y22=1，中心为坐标原点O．

(1)点A(3,22)，B(−3,−22)在椭圆E上，求AB的共轭直径的两个端点坐标；

(2)过点(0答案和解析1.【答案】A

【解析】解：因为直线l的一个方向向量为(3,3)，

所以直线l的斜率为33．

设直线倾斜角为α，且α∈[0,π)

2.【答案】C

【解析】解：a2+a4=a1+a5=3.【答案】C

【解析】解：由x2a2−y24=1可知双曲线的焦点在x轴上，且b2=4，解得b=2．

因为双曲线C：x24.【答案】C

【解析】解：由题意，直线l的斜率不存在时，直线方程为x=−2，与圆O：x2+y2=1不相切；

直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y−1=k(x+2)，整理得kx−y+2k+1=0．

因为直线l与圆5.【答案】B

【解析】解：根据题意，等比数列{an}中，公比q≠1，a5=2，S2=a42，

则有a1q4=2a1+a1q=(a1q36.【答案】B

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦，

剩下两人分别体验另外两个项目，则有C31A22=3×2×1=6种方案，

②漆扇绘梦只有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花中有一个有两人体验，

则有C7.【答案】D

【解析】解：圆C1：x2−2x+y2=0的圆心C1(1,0)，半径r1=1，

圆C2：(x−a)2+(y−b)2=4的圆心C2(a,b)，半径r2=2，

因为两圆外切，所以|C1C2|=(a−1)2+8.【答案】C

【解析】解：以O为原点建立平面直角坐标系，使OB所在直线为x轴，

连接AB，作MM1⊥l，且在B点右侧任取一点H，

因为公路PQ上任意一点到B地的距离等于该点到高铁线l的距离，

所以曲线PQ是抛物线的一部分，设其方程为y2=2px，p>0，

根据B地与南北走向的高铁线l相距4km，可得p=4，

所以抛物线的方程为y2=8x，B(2,0)，设A(x,y)，

根据AB=2km，结合两点间距离公式，可得(x−2)2+y2=2，

因为A地在B地北偏东30°方向，∠ABH=60°9.【答案】BC【解析】解：在二项式展开式中，常数项为C66x0(−2)6=(−2)6=64，故A错误；

含x的项的系数为C65×(−2)5=−192，故B正确；

所有的二项式系数之和为10.【答案】AC【解析】解：如图所示，不妨设以O为圆心，以c为半径的圆与渐近线y=bax交于点M，N．

因为N(−a,−b)，A1(−a,0)，所以∠NA1A2=π2，

因为∠NA1M=2π3，所以∠MA1A2=π6，

因为M(a,b)，A2(a,0)，所以∠MA2A1=π2，

在△MA1A211.【答案】BC【解析】解：在Rt△OAB中，OA=1，∠AOB=30°，

根据三角函数的定义cos∠AOB=OAOB=cos30°=32，

因此l1=OB=OAcos30∘=OA32=233，

又因为三角形相似，因此ln+1ln=cos30°=32，

即ln=l1⋅(32)n−1=233⋅(32)n−1，因此{ln}为等差数列，

因此A选项错误，

S1=12⋅12.【答案】2x【解析】解：设AB中点D(x,y)．

因为A(0,4)，B(2,−2)，

所以x=0+22=1y=413.【答案】40522027【解析】解：在杨辉三角中，第n+2行的第3个数(从第2行开始计数)为an=cn+12=n(n+1)2，

1an=2n(n+14.【答案】400

【解析】解：蚂蚁走5步后，坐标(x,y)满足x2+y2<3，分别设向右、左、上、下的步数为R，L，U，D，则R+L+U+D=5，

因为5是奇数，所以x=R−L，y=U−D必为一奇一偶，所以可能的点为(0,±1)，(±1,0)，

因为点(±1,±1)需x，y同奇，无法在5步内到达，走法为0，

情况1：到达(1,0)，则需U=D，R−L=1，设U=D=a，L=b，则R=b+1，

与(0,1)时类似，走法数是100种，同理根据对称性，到达(−1,0)的走法数也是10015.【答案】(x−1)2【解析】解：(1)曲线方程：y=x2−2x−3中，令x=0时y=−3，可得曲线与y轴的交点是(0,−3)，

令y=0，得x2−2x−3=0，解得：x=−1或x=3，

∴曲线与x轴的交点是(3,0)(−1,0)，

设圆C的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，

将(0,−3)，(−1,0)，(3,0)代入圆16.【答案】358x3和35【解析】解：(1)由题意可得：2Cn2=Cn1+Cn3，

则n(n−1)=n+n(n−1)(n−2)6，

则(n−1)2−7(n−1)+6=0，

又n≥3，

即n=7，17.【答案】因为直线l与抛物线相交于两点，所以直线斜率存在，

不妨设直线l的方程为y=kx+4，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由y=kx+4x【解析】(1)证明：因为直线l与抛物线相交于两点，所以直线斜率存在，

不妨设直线l的方程为y=kx+4，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由y=kx+4x2=4y得x2=4(kx+4)，即x2−4kx−16=0，

所以x1+x2=4k，x1x18.【答案】an=n⋅3【解析】解：(1)因为a1=3，an+1=3an+3n+1，

所以an+13n+1−an3n=1，a13=1，

故数列{an3n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，

则an3n=1+n−1=n，

所以an=n⋅3n；

(2)19.【答案】(1,−62)和(−1,62)

是，理由如下：

由题可知直线l的斜率存在，设直线l：y=kx+1，

由y=kx+1x24+y22=1，得(1+2k2)x2+4kx−2=0，

设A1(x1,y1)，B1(x2【解析】解：(1)因为椭圆E：x24+y22=1，所以a2=4，b2=2，−b2a2=−12，

直线AB的斜率kAB=−22−22−3−3=66，