2025-2026学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.定义域为R的函数y=f(x)，其图象与y轴的交点个数为(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定2.向量a、b分别表示向东和向北方向走10km，则a+b表示(

)A.向东北方向走102km B.向西北方向走102km

C.3.复数z=5i2−i的共轭复数是(

)A.1+2i B.1−2i C.−1+2i D.−1−2i4.双曲线C：x2a2−y2bA.2 B.3 C.2 D.5.过正方体ABCD−A1B1C1A.6条 B.8条 C.12条 D.16条6.已知函数f(x)对任意x∈R有f(x+1)=f(x−1)，且f(x+1)为偶函数，当2<x≤3时，f(x)=log2(x−2)，则f(A.−13 B.13 C.37.已知随机变量X，Y均服从两点分布，且P(X=1)=13，P(Y=1)=12，若P(X=1,Y=1)=1A.112 B.16 C.5128.设n∈N∗，函数f1(x)=xex,A.{an}是递增数列 B.{an}是递减数列 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如下表：甲的成绩乙的成绩环数78910环数78910频数4583频数5393则下列说法正确的有(

)A.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 B.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在区间[π6,2π3A.函数f(x)的最小正周期为2π

B.点(−π12,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心

C.将f(x)的图象向右平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数

D.若y=f(tx)(t>0)在[0,π)11.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线与y轴交于点P，直线y=mx+n与抛物线C交于M(x1,yA.|MN|=y1+y2+2

B.若PM=2PN，则|MF|=2|NF|

C.当n=1时，则∠MPF=∠NPF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={1,3,a2}，B={1,a+2}，若B⊆A，则A=

13.曲线f(x)=xsinx在点(π,f(π))处的切线方程为______．14.已知△ABC是锐角三角形，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c.若b(1+2cosA)=c，则c−3ab的最小值是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2−b2=a16.(本小题15分)

已知圆O：x2+y2=4，当点P在圆O上运动时，作DP⊥x轴，垂足为D，点M满足PD=2DM.(当点P经过圆O与x轴的交点时，规定点M与点P重合)

(1)求点M的轨迹C的方程并写出其简单几何性质(直接写出2个不同类别即可，无需证明)；

(2)圆O的一条直径交轨迹C于A，B两点，当直线AM，BM的斜率k17.(本小题15分)

如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=3，AB=2，把△PBC绕BC顺时针旋转至△QBC，记点P旋转后的对应点为Q．

(1)证明：BC⊥PQ；

(2)当三棱锥B−CPQ体积最大时，求：

(i)点A到平面BCQ的距离；

(ii)平面PAB与平面BCQ18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−1x,g(x)=x1+lnx．

(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)当x>1时，证明：曲线y=f(x)恒在曲线y=g(x)的上方；

(3)当F(x)=(ex−1−bx)(b+blnx−x)恰有四个零点x1，19.(本小题17分)

座位错排问题是一个十分有趣的数学问题.现有编号为1，2，3，…，n的共n个同学及与其对应的编号为A1，A2，A3，…，An的座位，即第k位同学的座位编号为Ak(k∈N∗,k≤n)，定义错排数F(n,m)(n≥m,n∈N,m∈N)为将1，2，3，…，n共n个同学安排在编号为A1，A2，A3，…，An的共n个座位上，其中有m个同学不在其对应座位上的情况数.例如F(1,1)=0，F(2,2)=1.另外，规定F(0,0)=1．

(1)计算：F(3,2)，F(4,4)；

(2)当n=4时，随机地将这4位同学安排在4个座位上，设不在其对应座位上的同学人数为X，在其对应座位上的同学人数为Y，计ξ=|X−Y|，求ξ的分布列及期望；

(3)参考答案1.B

2.A

3.D

4.A

5.C

6.D

7.B

8.D

9.AC

10.BCD

11.BCD

12.{1,3,4}

13.y=−πx+π14.−1315.解：(1)证明：设数列{an}的公差为d，

因为a2−b2=a3−b3=3(a4−b4)，

所以a1+d−2b1=a1+2d−4b1①，

a1+d−2b1=3(a1+3d−8b1)②，

由①得d=2b1，

代入②得a1=3b1，所以原结论得证．

(2)由(1)知，16.解：(1)设点P(x0,y0)，D(x0,0)，M(x,y)，

则PD=(0,−y0)，DM=(x−x0,y)，

因为PD=2DM，所以x0=x，y0=−2y，

又点P在圆O上，所以x02+y02=4，代入得x2+(−2y)2=4，

当点P经过圆O与x轴的交点时，规定点M与点P重合，

所以点M的轨迹为x24+y2=1．

简单几何性质如何：

范围：−2≤x≤2，−1≤y≤1．

对称性：关于原点中心对称，关于坐标轴轴对称．

顶点：(−2,0)，(2,0)，(0,−1)，(0,1)．

离心率：e=32，(写出上面的其中两个即可)．

(2)证明：圆O的直径一定过原点，因为轨迹C为椭圆，

根据圆和椭圆的对称性，A，B两点关于原点对称，

17.解：(1)证明：如图1，取BC中点M，连接PM和QM，

由题意得PB=PC，且QB=QC，所以BC⊥PM，BC⊥QM，

又因为PM∩QM=M，PM，QM⊂平面PQM，所以BC⊥平面PQM，

因为PQ⊂平面PQM，所以BC⊥PQ；

(2)因为BC⊥平面PQM，M是BC中点，所以VB−CPQ=2VB−PQM=2⋅13⋅S△PQM⋅BM=23S△PQM，

因为PM=QM=PB2−BM2=2，所以当PM⊥MQ时，S△PQM最大，此时三棱锥B−CPQ的体积最大，

(i)如图2，设正方形ABCD中心为O，AB中点为N，

由正四棱锥的特征可得ON，OM，OP两两垂直，以ON，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

OP=PM2−OM2=1，直角三角形PMO中，OP=OM=1，所以∠PMO=45°，

因为PM⊥MQ，所以Q(0,2,1)，A(1,−1,0)，B(1,1,0)，C(−1,1,0)，P(0,0,1)，

AB=(0,2,0)，BC=(−2,0,0)，CQ=(1,1,1)，

设平面BCQ的法向量为n1=(x1,y1,z1)，

则n⋅BC=0n⋅CQ=0，即−2x1=0x1+y1+z1=0，

18.解：(1)由f(x)=ex−1x得函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

且f′(x)=ex−1(x−1)x2，令f′(x)=0，即ex−1(x−1)x2=0，∴x=1．

当x>1时，f′(x)>0，当x<0或0<x<1时，f′(x)<0，

∴f(x)在(1,+∞)上单调递增，在(−∞,0)和(0,1)上单调递减．

(2)证明：∵f(x)−g(x)=ex−1x−x1+lnx=ex−1x−e1+lnx−11+lnx=f(x)−f(1+lnx)．

令φ(x)=x−1−lnx(x>1)，

∴φ′(x)=x−1x>0，故φ(x)在(1,+∞)上单调递增．

∴φ(x)>φ(1)=0，即x>1+lnx(x>1)．

由(1)可知f(x)在(1,+∞)单调递增，x>1+lnx>1，∴f(x)>f(1+lnx)，

即f(x)>g(x)(x>1)，即曲线y=f(x)恒在曲线y=g(x)的上方．

(3)证明：令F(x)=0，得b=ex−1x或b=x1+lnx(x>0,x≠1e)，

由题意得直线y=b与两条曲线y=f(x)，y=g(x)共有四个交点．

对于g(x)=x1+lnx,x>0且x≠1e,g′(x)=lnx(1+lnx)2，

当x>1时，g′(x)>0，此时g(x)在(1,+∞)上单调递增，

当0<x<1e时，g′(x)<0，此时g(x)在(0,1e)上单调递减，

当1e<x<1时，g′(x)<0，此时g(x)在(1e,1)上单调递减，

同(2)可证，当119.解：(1)F(3,2)表示将3人排在3个座位上有2人排错，1人在正确位置上，

∴F(3,2)=C31=3，

F(4,4)表示将4人排在4个座位上有4人错排，

没有人在正确的位置上，则F(4,4)表示将4人排在4个座位上有4人排错，没有人在正确位置上，

则F(4,4)=C31(C11+C21)=9．

(2)由题意得ξ的可能取值为0，ξ

0

2

4

P

1

15E(ξ)