北京市五十七中学2025-2026学年高一第一学期科创实验班数学期末考试试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市五十七中学2025-2026学年高一第一学期科创实验班期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，共60分。1.已知集合M={y∈R|y=2x,x≤1}，N={x∈R|y=lg(x+1)}A.M∩N={x|−1<x≤2} B.M∪N={x|0<x≤2}

C.M∪N={x|−1<x≤2} D.M∩N={x|0<x≤2}2.已知复数z=i3i−4，则z的共轭复数z在复平面内对应的点的坐标为(

)A.325,−425 B.325,3.已知过原点且倾斜角为θ的直线与直线x+3y−4=0交于点P，则当θ在π3,2πA.3 B.2 C.3 D.4.“a2=1”是“直线x+ay=1与ax+y=1平行”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若两条直线l1:y=2x+m，l2:y=2x+n与圆A.45 B.210 C.226.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别是棱AD，B1C1的中点，若P为侧面ADD1A1内A.825 B.23057.已知直线x+y−k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，O是坐标原点，且有|OAA.(3,6) B.[8.已知圆M：(x+4)2+y2=4直线l：x+y−2=0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B.则下列说法正确的个数是(

)

(1)四边形PAMB的面积最小值为14

(2)|PA|最短时，弦AB长为473

(3)|PA|最短时，弦A.1 B.2 C.3 D.49.在平面直角坐标系中，直线y=kx+mk≠0与x轴和y轴分别交于A，B两点，AB=22，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点1,1A.42 B.32 C.10.已知直线l1:mx+y−m−3=0与l2:x−my+m−3=0相交于点M，线段AB是圆C:(x+1A.16+42 B.30+82 C.11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线A.线段CA1的三等分点，且靠近点A1 B.线段CA1的中点

C.线段CA1的三等分点，且靠近点12.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点)若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为32的正四棱柱构成，则下列说法正确的是(

)A.一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直

B.该“十字贯穿体”的表面积是322

C.该“十字贯穿体”的体积是5623

D.一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点二、填空题：本大题共8小题，共40分。13.若点M是圆C：x2+y2−4x=0上的任一点，直线l：x+y+2=0与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则▵MAB面积的最小值为

14.若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+215.已知圆C：x−32+y2=9，D是圆C上的动点，点E2,4，若动点M满足DM=216.已知直线l：mx+y+3m−3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若17.已知A−4,0、P−4,2，点Q在⊙C:x−22+y218.已知函数f(x)=2sinωx，g(x)=2cosωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．

①当ω=1时，△ABC面积的最小值为

；

②若存在△ABC是等腰直角三角形，则19.已知△ABC是边长为43的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点，且满足|AP+BP+CP20.已知集合P=x,y∣(x−cosθ)2

①白色“水滴”区域(含边界)任意两点间距离的最大值为1+②在阴影部分任取一点M，则M到坐标轴的距离小于等于3；③阴影部分的面积为8π；④阴影部分的内外边界曲线长为8π．其中正确的有

．三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.已知函数fx=cos2x+φ(1)求φ；(2)设函数gx①求函数gx在0,②求函数gx的单调递减区间．22.在三棱锥P−ABC中，BC⊥AC，BC⊥PC，AC=BC=6，PA=PC=5，D、E分别是AC、PC的中点．

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角A−DE−B的余弦值．23.如图，在四棱锥A−BCFG中，▵ABC是边长为4的等边三角形，四边形BCFG为菱形，∠CBG=60∘，平面ABC⊥平面BCFG，D为棱AB的中点，记平面ABC和平面AFG的交线为l

(1)证明：l//BC；(2)求点D到平面ACF的距离；(3)在线段CG(不含端点)上是否存在一点E，使得直线DE与平面ACF所成角的正弦值为610？若存在，求E24.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a, b, c，atanC−2c(1)求角C的大小；(2)若a=8，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一，求▵ABC的面积S．条件①：cosA=−条件②：BC边上的中线长为21条件③：CA⋅注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．25.已知圆O：x2+y2=r2(r>0)与直线x+2y−5=0相切．

 (1)求圆O的方程；

(2)若过点(−1,3)的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程；

26.已知集合S=a1,a2,a3,⋯,ann≥3(1)若n=4,a1,a2(2)从lTa1,lTa(3)求证：对于满足lTai<n−1i=1,2,3,⋯,n的每一个集合T，集合S中都存在三个不同的元素e,f,g参考答案1.D

2.B

3.D

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.B

10.B

11.B

12.C

13.4−214.(1,3)

15.x−1216.4

17.218.2π；π19.3

20.①②④

21.解：(1)f0=(2)①∵φ=π3∴g==∵0≤x≤34π，当2x+π6=π当2x+π6=π时，即②2kπ≤2x+π6∴gx的单调递减区间为−π12

22.(1)证明：因为BC⊥AC，BC⊥PC，AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC；

(2)解：连接PD，因为PA=PC，D是AC的中点，所以PD⊥AC，

过C作CH//PD，则CH⊥AC，

因为BC⊥平面PAC，CH⊂平面PAC，所以BC⊥CH；

又因为BC⊥AC，

以C为坐标原点，分别以CB、CA、CH为x、y、x轴建立空间直角坐标系，如图所示：

因为AC=6，PC=5，所以PD=4，

因为BC=6，所以C(0,0,0)，B(6,0,0)，A(0,6,0)，D(0,3,0)，P(0,3,4)，

因为E是PC的中点，所以E(0,32,2)，

所以DE=(0,−32,2)，DB=(6,−3,0)．

设平面DEB的法向量为n=(x,y,z)，则DE⋅n=0DB⋅n=0，

即−32y+2z=06x−3y=0，令x=−2，则y=−4，z=−3，所以n=(−2,−4,−3)．

由(1)知，BC⊥23.解：(1)证明：∵四边形BCFG为菱形，∴FG//BC，∵FG⊂平面AFG，BC⊄平面AFG，∴BC//平面AFG，∵BC⊂平面ABC，平面ABC和平面AFG的交线为l，∴l//BC；(2)取BC的中点O，连接OA,OG，∵▵ABC是边长为4的等边三角形，∴OA⊥BC，∵四边形BCFG为菱形，∠CBG=60∘，

∴△CBG为等边三角形，则∵平面ABC⊥平面BCFG，平面ABC∩平面BCFG=BC，

OG⊂平面BCFG，OG⊥BC，∴OG⊥平面ABC，

因为OA⊂平面ABC，所以OG⊥OA，

故OA，OC，OG两两垂直，故以O为坐标原点，以OA,OB,OG所在直线分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，

则O(0,0,0),A(2AC=(−2设平面ACF的法向量为m=(x,y,z)由m令x=1，则y=−3,z=−1，

故平面ACF∴点D到平面ACF的距离d=AD(3)假设在线段CG(不含端点)上存在一点E，

使得直线DE与平面ACF所成角的正弦值为6设CE=λ则DE=∵平面ACF的法向量为m=(1,−3,−1)，

直线DE与平面∴|cos整理得36λ2−37λ+7=0，解得λ=所以在线段CG(不含端点)上存在点E，当CE=14CG或CE=79CG时，

直线

24.(1)因为atan所以sinA因为sinA>0所以cosC=因为C∈0,π，所以C=(2)若选条件①：cosA=−34此时A+C>2π3+若选条件②：BC边上的中线长为21设AC=x，由题意CD=12BC=12由余弦定理有21=x2+16−2⋅x⋅4⋅解得x=5或x=−1舍去，由余弦定理得，AB=此时▵ABC存在且唯一，且▵ABC的面积S=1若选条件③：CA⋅AB=−bc即b2因为C=π3，所以由余弦定理有c2即c2因为c2=56−b即b2−4b+4=0，解得则c=所以▵ABC的面积为12

25.解：(1)∵圆O：x2+y2=r2(r>0)与直线x+2y−5=0相切，

圆心(0,0)到直线x+2y−5=0的距离等于半径，

即−512+22=r，

∴r=55=5，

∴圆O的方程为x2+y2=5；

(2)∵直线l被圆O所截得的弦长为4，

∴圆心到直线的距离d=5−4=1，

斜率不存在时，x=−1，满足题意；

斜率存在时，设方程为y−3=k(x+1)，

即kx−y+k+3=0，

圆心到直线的距离d=|k+3|k2+1=1，∴k=−43，

∴直线l的方程为4x+3y−5=0，

综