广东省北京师范大学东莞石竹附属学校2026届高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

广东省北京师范大学东莞石竹附属学校2026届高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知不等式的解集为，则不等式的解集为()A． B．C． D．2．如果直线m//直线n，且m//平面α，那么n与αA．相交 B．n//α C．n⊂α3．在中，已知，且，则的值是（）A． B． C． D．4．设点是函数图象上的任意一点，点满足，则的最小值为（）A． B． C． D．5．向量，，若，则（）A．5 B． C． D．6．已知，那么（）A． B． C． D．7．已知的内角的对边分别为，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形8．设向量，且，则实数的值为（）A． B． C． D．9．若角α的终边过点P(-3，-4)，则cos(π-2α)的值为()A． B． C． D．10．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，b=1,则_____________12．圆和圆交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是________.13．已知过两点，的直线的倾斜角是，则______．14．函数的单调增区间为_________.15．已知是定义在上的奇函数，对任意实数满足，，则________.16．中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则的值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量.（1）若向量，且，求的坐标；（2）若向量与互相垂直，求实数的值.18．如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点.(1)求的值；(2)试确定点的位置，使得最小.19．下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间与每天获得的利润（单位：万元）的有关数据．星期星期2星期3星期4星期5星期6利润23569（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；（2）估计星期日获得的利润为多少万元．参考公式：20．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.21．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．（1）求证：；（2）求证：．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

首先根据题意得到，为方程的根，再解出的值带入不等式即可.【详解】有题知：，为方程的根.所以，解得.所以，解得：或.故选：B【点睛】本题主要考查二次不等式的求法，同时考查了学生的计算能力，属于简单题.2、D【解析】

利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质进行判断即可.【详解】∵直线m/直线n,且m/平面∴当n不在平面α内时，平面α内存在直线m'//m⇒n//m'，符合线面平行的判定定理可得n/平面α当n在平面α内时，也符合条件，n与α的位置关系是n//α或【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及线面平行的性质，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于基础题.3、C【解析】

由正弦定理边角互化思想得，由可得出的三边长，可判断出三角形的形状，由此可得出的值，再利用平面向量数量积的定义可计算出的值.【详解】，，，，，，为等腰直角三角形，.因此，，故选C.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了平面向量数量积定义的计算，在求平面向量数量积的计算时，要注意向量的起点要一致，考查运算求解能力，属于中等题.4、B【解析】

函数表示圆位于x轴下面的部分．利用点到直线的距离公式，求出最小值．【详解】函数化简得．圆心坐标,半径为2.所以【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．5、A【解析】

由已知等式求出，再根据模的坐标运算计算出模．【详解】由得，解得．∴，，．故选：A．【点睛】本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算．掌握数量积和模的坐标表示是解题基础．6、A【解析】依题意有，故7、A【解析】中，，所以.由正弦定理得：.所以.所以，即因为为的内角，所以所以为等腰三角形.故选A.8、D【解析】

根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m的值．【详解】向量，（m+1，﹣m），当⊥时，•0，即﹣（m+1）﹣2m＝0，解得m．故选D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题．9、C【解析】

由三角函数的定义得，再利用诱导公式以及二倍角余弦公式求解.【详解】由三角函数的定义，可得，则，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及二倍角的余弦公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、D【解析】

根据互斥事件的定义逐个分析即可.【详解】“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A错误.“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故B错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶”均包含中靶两次的情况.故C错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.故选：D【点睛】本题主要考查了互斥事件的辨析,属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】

根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.【详解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.12、【解析】

弦AB的垂直平分线即两圆心连线.【详解】弦AB的垂直平分线即两圆心连线方程为故答案为【点睛】本题考查了弦的垂直平分线，转化为过圆心的直线可以简化运算.13、【解析】

由两点求斜率公式及斜率等于倾斜角的正切值列式求解．【详解】解：由已知可得：，即，则．故答案为．【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．14、【解析】

先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性，结合复合函数的单调性的判断可得出选项.【详解】因为，所以或，即函数定义域为，设，所以在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故填：．【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题.15、【解析】

由奇函数的性质得出，由题中等式可推出函数是以为周期的周期函数，再利用周期性和奇偶性求出的值.【详解】函数是定义在上的奇函数，则，且对任意实数满足，，所以，函数是以为周期的周期函数，，，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查抽象函数求值，利用题中条件推导出函数的周期是解题的关键，在计算时充分利用函数的周期性将自变的值的绝对值变小，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.16、4【解析】

利用余弦定理变形可得，从而求得结果.【详解】由余弦定理得：本题正确结果：【点睛】本题考查余弦定理的应用，关键是能够熟练应用的变形，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）【解析】

（1）因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程.（2）由于已知条件可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题.【详解】（1）法一:设，则，所以解得所以或法二:设，因为，，所以，因为，所以解得或，所以或（2）因为向量与互相垂直所以，即而，，所以，因此，解得【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.18、（1）；（2）见解析【解析】

(1)通过，，可得，从而通过可以求出，再确定的值.(2)法一：设()，可以利用基底法将表示为t的函数，然后求得最小值；法二：建立平面直角坐标系，设()，然后表示出相关点的坐标，从而求得最小值.【详解】(1)，，，，，即，，(2)法一:设()，则，，当时，即时，最小法二:建立如图平面直角坐标系，则，，，，设()，则，当时，即时，最小．【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，数形结合思想及函数思想，意在考查学生的划归能力和分析能力，难度较大.19、见解析【解析】

（1）根据表中所给数据，求出横标的平均数，把求得的数据代入线性回归方程的系数公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程。（2）根据二问求得的线性回归方程，代入所给的的值，预报出销售价格的估计值，这个数字不是一个准确数值。【详解】（1）由题意可得，，因此，，所以，-所以；（2）由（1）可得，当时，（万元），即星期日估计活动的利润为10.1万元。【点睛】关键点通过参考公式求出，的值，通过线性回归方程求解的是一个估计值。20、（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.【解析】

（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．【详解】（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q＝1时，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，∴q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1＝1，得即当n＝1时，d≤2；当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…ak的公差为．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．21、(1)见详解；（2）见详解.【解析】

（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，可求O为AC1的中点，D是棱AB的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC1，根据线面平行的判断定理即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可证平行四边形ACC1A1是菱形，由其性质可得AC1⊥A1C，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面ACC1A1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根据线面垂直的判定定理可证A1C⊥平面ABC1，利用线面垂直的性质即可证明BC1⊥A1C．【详解】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A