北京市19中2026届高一下数学期末检测模拟试题含解析

北京市19中2026届高一下数学期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A．π B．πC．16π D．32π2．点关于直线对称的点的坐标是（）A． B． C． D．3．设集合，则（）A． B． C． D．4．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为()A．6 B．7 C．8 D．95．不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．1 B． C． D．6．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（）A． B． C． D．7．如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是A． B． C． D．8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形9．在中，，且面积为1，则下列结论不正确的是（）A． B． C． D．10．若实数满足约束条件，则的最大值为（）A．9 B．7 C．6 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为_____．12．直线的倾斜角的大小是_________.13．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是14．若直线平分圆，则的值为________.15．数列中，已知，50为第________项.16．数列的前项和为，，，则________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知是同一平面内的三个向量，其中为单位向量.(Ⅰ)若//，求的坐标；(Ⅱ)若与垂直，求与的夹角.18．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间,将统计结果分成组:,,,,,绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值;（2）求辆纯电动汽车续驶里程的中位数;（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程为的概率.19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣b2＝mac，其中m∈R．（1）若m＝1，a＝1，c＝，求△ABC的面积；（2）若m＝，A＝2B，a＝，求b．20．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．（1）求证：//平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．21．已知以点为圆心的圆C被直线截得的弦长为．（1）求圆C的标准方程：（2）求过与圆C相切的直线方程：（3）若Q是直线上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点．试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标：若不是，说明理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，外接球的截面是圆为球的大圆是的外接圆，由图可得球的半径与圆锥的关系．【详解】如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，的外接圆是球的大圆，设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B．【点睛】本题考查球的体积，关键是确定圆锥的外接球与圆锥之间的关系，即球半径与圆锥的高和底面半径之间的联系，而这个联系在其轴截面中正好体现．2、A【解析】

设点关于直线对称的点为，根据斜率关系和中点坐标公式，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，设点关于直线对称的点为，则，解得，即点关于直线对称的点为，故选A.【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解，其中解答中熟记点关于直线的对称点的解法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3、B【解析】

补集：【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算，需要掌握交集、并集、补集的运算。属于基础题。4、C【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选C.5、D【解析】

画出可行域，根据边界点的坐标计算出平面区域的面积.【详解】画出可行域如下图所示，其中，故平面区域为三角形，且三角形面积为，故选D.【点睛】本小题主要考查线性规划可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6、B【解析】

先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可.【详解】解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为，故选B.【点睛】本题考查了古典概型，属基础题.7、D【解析】

模拟程序图框的运行过程，得出当时，不再运行循环体，直接输出S值．【详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环：S=满足条件，进入循环：进入循环：不满足判断框的条件，进而输出s值，该程序运行后输出的是计算：．故选D．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8、D【解析】

利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．【详解】由余弦定理得，则，即，所以.∵∴是等边三角形.故选D.【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，熟练掌握余弦定理是解答本题的关键．9、C【解析】

根据三角形面积公式列式，求得，再根据基本不等式判断出C选项错误.【详解】根据三角形面积为得，三个式子相乘，得到，由于，所以.所以，故C选项错误.所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查三角形面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.10、A【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据的定义把带入即可。【详解】∵∴∵∴①∴②①-②得∴故答案为：【点睛】本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。12、【解析】试题分析：由题意，即，∴．考点：直线的倾斜角.13、2【解析】试题分析：设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为S=αr2=α×22=4解得：α=2考点：扇形面积公式．14、1【解析】

把圆的一般式方程化为标准方程得到圆心，根据直线过圆心，把圆心的坐标代入到直线的方程，得到关于的方程，解方程即可【详解】圆的标准方程为，则圆心为直线过圆心解得故答案为【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心的坐标，属于基础题15、4【解析】

方程变为，设，解关于的二次方程可求得。【详解】，则，即设，则，有或取得，，所以是第4项。【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。16、18【解析】

利用，化简得到数列是首项为，公比为的等比数列，利用,即可求解.【详解】,即所以数列是首项为，公比为的等比数列即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了与的关系以及等比数列的通项公式，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）设，根据向量的模和共线向量的条件，列出方程组，即可求解．（Ⅱ）由，根据向量的运算求得，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】（Ⅰ）设由题则有解得或，．（Ⅱ）由题即，．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，共线向量的条件及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的基本概念和运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用小矩形的面积和为,求得值,即可求得答案;（2）中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标,即可求得答案;（3）据直方图求出续驶里程在和续驶里程在的车辆数,利用排列组合和概率公式求出其中恰有一辆车的续驶里程在的概率,即可求得答案.【详解】（1）由直方图可得:（2）根据中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标.直方图可得:可得:辆纯电动汽车续驶里程的中位数.（3）续驶里程在的车辆数为:续驶里程在第五组的车辆数为.从辆车中随机抽取辆车,共有中抽法，其中恰有一辆车的续驶里程在的抽法有种，其中恰有一辆车的续驶里程在的概率为.【点睛】本题考查根据条型统计图求数据的中位数和根据组合数求概率问题,解题关键是掌握条型统计图基础知识和概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19、（1）；（2）【解析】

（1）当时，由余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可求解．（2）当时，由余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据二倍角的正弦函数公式可求的值，利用正弦定理可求的值．【详解】（1）当时，，，,,．（2）当时，，,，由正弦定理得：,．【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20、（1）见解析（2）【解析】

（1）连接交于点，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中点，连接，由中位线的性质得到，且，可得出平面，于此得出直线与平面所成的角为，然后在中计算即可.【详解】（1）连接，交于点，连接，由底面是菱形，知是的中点，又是的中点，∴.又∵平面，平面,∴平面；（2）取中点，连接，∵分别为的中点，∴，∵平面，∴平面，∴直线与平面所成角为，∵，，∴.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．21、（1）（2）或（3）直线RS恒过定点【解析】

（1）由弦长可得,进而求解即可；（2）分别讨论直线的斜率存在与不存在的情况,再利用圆心到直线距离等于半径求解即可；（3）由QR,QS分别切圆C于R,S两点,可知,在以为直径的圆上,设为,则可